非线性自激振动系统的模态相互作用

1、非线性自激振动系统的模态相互作用张建伟，吴志强天津大学力学系（300072）E-mail: zjw409, wuzhiq摘 要：自激振动在工程中普遍存在，因而降低和抑制其影响是减振研究中重要的课题之一。 针对由最典型的自激振动系统van der Pol振子与具有强迫共振激励的Duffing振子耦合而成的系统，本文详细计算讨论了一阶近似下系统单模态运动、双模态运动的各种分岔模式。研究表明：双模态运动存在时，在不同的参数组合条件下，其分岔可能单边约束的或双边约束的。分析得到的约束分岔图发现，在开折参数平面的某些区域van der Pol自激振动能得到很好抑制，而在另外区域其自激振动得到放大。这些发

2、现对于设计新型自激振动减振器及利用自激振动有非常重要的指导作用。关键词：自激振动，约束分岔，振动控制1、引言模态相互作用，是导致非线性系统复杂动力学行为的原因之一，也是非线性动力学理论研究的重要领域之一。Golubitsky和Schaeffer1对分别具有Z2和O(2)对称性的自治系统模态相互作用分岔做了系统的总结。对于不具有对称性的系统由于分岔方程是多维非线性方程组，完整的理论结果很少，大部分研究以数值计算为主，特别是对于具有外部激励的系统。自激振动现象广泛存在于工程领域，如飞机机翼的颤振问题2，高速切削振动问题3、汽轮发电机组的油膜振动与蒸汽激励振动4。自激振动往往带来危害，人们在其抑制和

3、控制方面也在一直探索5。文6表明，对非自治自激振动系统，可从约束分岔理论7的角度得出其稳态解分岔图谱，这些结果对此类系统的设计具有指导意义。作为初步，本文讨论具有强迫共振激励的Duffing振子与van der Pol振子耦合导致的模态相互作用引起的分岔问题。文章第二部分建立了两个自由度的系统模型，使用多尺度法消除永年项得到平均方程；第三部分利用奇异性理论研究了以上模型的分岔现象。可以看出,在系统中存在着非常丰富的分岔现象。2、系统模型的建立在如图1所示的模型中，质量块1的质量为m1，质量块2的质量为m2；弹簧1为线性弹簧，其弹性系数为k1；弹簧2为非线性弹簧，弹性力为(k2+s)s。阻尼1为

4、非线性阻尼，阻尼2&；阻尼2为线性阻尼，阻尼系数为c2；阻尼3为非线性阻尼，阻尼力为力为(c1s)s- 1 -2&+c4s&3。F为外激励，假设为简谐激励，取值fsin(mt)。 c3s图2-1 系统模型现在分析两个质量块的受力情况，取向上为正方向，容易得出： m1D2(x(t)+k1x(t)=(c1x2(t)D(x(t)c3(D(x(t)D(y(t)c4(D(x(t)D(y(t)3 （2-1） 23m2D(y(t)+k2y(t)=c2D(y(t)y(t)+c3(D(x(t)D(y(t)+c4(D(x(t)D(y(t)3+fsin(mt)使用多尺度法，假设：x(t)=X

5、1+X2,y(t)=Y1+Y2其中：X1=Asin(1T1)+Bcos(1T1),Y1=Esin(2T1)+Fcos(2T1)1=k1,2=m1k2,m=2+ m2A=R1cos(1),B=R1sin(1),E=R2cos(2),F=R2sin(2)2为m2系统的固有频率；R1为m1系统的响应振幅，R2其中1为m1系统的固有频率，为m2系统的响应振幅。可以通过消除永年项，得到平均方程：22222(6c4R224c1+R14c33c4R11)R1D2(R1)=8m1D2(1)=03322(4c2R223c4R226c4R11R224fsin(2T2)4c3R22D2(R2)=8m2234fcos

6、(2T2)+3R2D2(2)=8m22R2- 2 -（2-2）为了得到定常解，需要假设：=T22)=0,D D2(R1)=0,D2(1)=0,D2(R22()=0则由m1m2耦合系统的平均方程为可以得到：R22(4c+3cR22+6cR2224224121+4c2)23+R2R2222(82m2+32)16f=02R2=6c42R2+4(c1+c3)(orR13c2221=0)413c41下面分两种情况讨论： 1、R1=0的单模态解； 2、R10的双模态解。R1=0的单模态解由2-3得到：R22222(4c23+3c4R222+6c4R1221+4c2)+R22(82m2+3R22f22)16

7、=0 R1=0设R22=r，取r为状态变量，为分岔参数，可以得到：g=r222(4c3+3c4r2+4c2)2+r(82m2+3r)216f2gr=2r2422(4c3+3c42+4c2)2+6c4r2(4c3+3c4r2+4c2)+(82m2+3r)2+6r(82m2+3r)gs=16r2m2(82m2+3r)grr=12c422642(4c3+3c4r2+4c2)+18rc42+12(82m2+3r)+18r21、 分岔集化简可得：c4(81c4f2+16(c2+c33)=0其中r>0，化简可得：c4(8(c2+c3)3+27c24f)>0由式3-H1和3-H2得到c40，则：

8、16(c2+c3)3+81c4f2=0c324(8(c2+c3)+27c4f)>0- 3 -（2-3）（3-1）（3-2）3-H1）3-H2）3-H3）3、（ （2、 滞后集：243(32c42)3f4+5184c42(c42+2)2(c2+c3)3f+10242(2c4+)(c2+c3)=0其中： 662226626262 （3-B1）9f2(232c4)264c42(c42+2)(c2+c3)3>03、 双极限点集：空集。取f,为开折参数，其他参数可以假设为： 62626（3-B2）m1=1,k1=1,c1=0.1,=0.1,c3=0.1,c4=0.1,m2=1,k2=2,c2

9、=0.1由于分岔集和滞后集都关于f=0,=0对称，可以设f>0,>0。则可以得到R1=0的转迁集：图3-1 R1=0的转迁集可以得到相应的参数分岔图如下： 图3-2：对应图3-1中-各区域的r参数分岔图4R10的双模态解- 4 -由2-3可以得到：R22(4c+3cR22+6cR22+4c)234224112222222 +R2(82m2+3R2)16f=024(c1+c3)6c2242R=+R212233cc4141为了讨论方便，假设：R1=Z1R2+Z2，并且设R2=r。1) 222（4-1） Z1<0,Z2>0，必须0<r<Z1>0,Z2<

10、0，需要r>Z2，在4.1节分析； Z12)3) Z2，在4.2节分析； Z1Z1>0,Z2>0，只要r>0，在4.3节分析；4) Z1<0,Z2<0，这种情况无解。设R2=r，取r为状态变量，为分岔参数，可以得到： 2ggrgsgrr4r(4+8r)2163=+r(+3r)216f2334(4+8r)264r(4+8r)16=+(+3r)233316 +6r(+3r)31632r(+3r)=3152163=+512r+12(+3r)+18r2334.1 在Z1<0,Z2>0的情况下的奇异性分析为了简化计算，可以对部分系统参数取特殊值，从而确定响

11、应振幅的上下界，然后进行奇异性分析。取f,为开折参数，固定的系统参数为：m1=1,k1=1,c1=0.1,=0.1,c3=0.1,c4=0.1,m2=1,k2=从而0<r<1，由此可以得到： 4,c2=0.1 3- 5 -ggrgsgrr结果： 424r(+r)216=+r(+3r)216f23342424(+r)264r(+r)+(16+3r)255=+33316 +6r(+3r)3163323r(+3r)=3163128128r+12(=+3r)+18r237525（4.1-1） 由于分岔集和滞后集都关于f=0,=0对称，可以设f>0,>0。以下列出为简化1、 分岔

12、集：B1:175f2=0，得到：f=B2: 1 75（4.1-B1）2025f22=0其中：0<r<1，并且： （4.1-B2）r=167521f，即：<f<226751，得到f=6752 2025（4.1-B3）2、 滞后集：H1:6752+64+2400f250625f22+22500f4=0H2: （4.1-H1）2(2048+216002+6834375f2310935000f22+5832000f+5832000f2+1036800f2)=0其中：0<r<1，并且： 1036800f2)(2048216002+10935000f22+6834375

13、f23 （4.1-H2）32768+3456002+102515625f2458320000f22+8294400fr=36(480002+506254+4.96)3、 双极限点集：- 6 -2（4.1-H3）(69984006+16777216f494478400006f2846028800f24+3317764+4718592f22+369056258)(69984006+16777216f1049760000f49766400f+3317764+4718592f22+369056258)=0其中：0<<1，并且： 46224 （4.1-DL1）=(31492800006f22

14、48832000f24+3317764+369056258+69984006+4718592f22+16777216f4) /(722(60754+5762+4096f2)(6752+64)综合以上各种情况，可以得到转迁集分岔图如下：（4.1-DL2）图4.1-1 R10并且Z1<0,Z2>0的转迁集可以得到相应的参数分岔图如下： - 7 -2 图4.1-2 对应图4.1-1中-各区域的r分岔图 若令R1=r1，可以得到如下参数分岔图： 图4.1-3 对应图4.1-1中-各区域的r1分岔图4.2 在Z1>0,Z2<0的情况下的奇异性分析这里固定的系统参数为：m1=1,k

15、1=1,c1=2121121,=,c3=,c4=,m2=1,k2=,c2= 2052010310从而0<r<1，设R2=r,f>0,>0，由此可以得到：- 8 -ggrgsgrr结果： 132r)86=+r(+3r)216f23313132(3r)252r(3r)5=31588+(+3r)2+6r(+3r) 3386+3r)166r(=310467686=+3r)+18r2r+12(52532r(3（4.2-1） 由于分岔集和滞后集都关于f=0,=0对称，可以设f>0,>0。以下列出为简化1、 分岔集：1150f2=0，得到：f=2、 滞后集：H1: 1 1

16、50（4.2-B1）6752+3387800f2101250f22+45000f4=0H2: （4.2-H1）9(2252338)3f4+780(338+6752)2f250(338+6752)2=0（4.2-H2） 其中：r>1，并且：2(151875f24456300f22+342732f2+1755002+87880)r= （4.2-H3） 243(114244+253500+50625)3、 双极限点集：6928380817676697600000000f8101075779584000000(338+6752)(227812547107752+97682)f6+55296000

17、0(12455648437508+7409829375006311621529375485144515300+9541773124)(338+675)f2224 （4.2-DL1）38400(227812547107752+97682)(6752+578)2(338+6752)3f2+(6752+578)4(338+6752)4=0其中：>1，并且：- 9 -=(5634258750006+5603203350004+2415871224002+665832960000f22+38167092496+1901751321600f+207594140625815125292000000f2

18、417714700000000f+2632181760000f)/(8(307546875717100800f2)(338+6752)合并得到：62462 （4.2-DL2） +21596625041414179002+1095120000f2286350888图4.2-1 R10并且Z1>0,Z2<0的转迁集可以得到相应的参数分岔图如下： 2 图4.2-2 对应图4.2-1中-各区域的r分岔图 若令R1=r1，可以得到如下参数分岔图：- 10 - 图4.2-3 对应图4.2-1中-各区域的r1分岔图4.3 在Z1>0,Z2>0的情况下的奇异性分析这里固定的系统参数为：

19、m1=1,k1=1,c1=2121141,=,c3=,c4=,m2=1,k2=,c2= 1051010310设R2=r,f>0,>0，可以得到：ggrgsgrr28262r)+163=+r(+3r)216f2332826228264(+208r(+r)r)=+3151616 +(+3r)2+6r(+3r)3316323r(+3r)=3116485408163r+12(=+3r)+18r2752534r(（4.3-1）分岔集、滞后集、双极限点集都是空集。5、总结：通过给自激振动系统m1添加减振控制器m2的做法，可以有效控制其振动的情况：在理- 11 -想的情况下，如第三章所述，甚至可

20、以完全消除其振动；即使不能完全的消除系统的振动，也可以如4.1节所述通过有效的调整控制系统参数（如激励振幅f）的方法来控制自激振动系统m1的振动。通常情况下，由于系统本身参数的限制，如振幅不小于零，分岔行为都表现为约束分岔。实际的约束分岔与理想的非约束分岔有很大的区别。而且约束的存在使得系统的分岔行为变得更加丰富多彩。参考文献：1 GOLUBITSKY M, SCHAEFFER D. Singularities and groups in birfurcation theory, Vol.1M. New York:Springer-Verlag, 1985.2 任勇生，刘立厚，韩景龙，向锦武。

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23、NG ZhiQiang WUDepartment of Mechanics, TianJin University,TianJin, PRC, 300072AbstractSelf-excited vibrations exist in many engineering problem, thus reducing and suppressing their effects are very important topics in vibration reduction. The system considered here is composed by two subsystems coupled by nonlinear damping. The firs