连接梁的非线性耦合振动分析与实验

1、第22卷第1期2009年2月振动工程学报Vol.22No.1Feb.2009连接梁的非线性耦合振动分析与实验王光远1,郑钢铁1,韩潮2(1.清华大学航天航空学院,北京100084;2.北京航空航天大学宇航学院,北京100191)摘要:采用具有三次非线性刚度的金属橡胶减振器连接两个梁,对其非线性耦合振动进行了分析和实验研究。用格林函数法和谐波平衡法求解了其频域响应。制作了3组实物模型,进行正弦扫描实验,得到上梁中点与激励点之间的加速度传递率,与计算结果对应良好。结合实验与计算结果,讨论了连接参数对系统传递率的影响,发现连接刚度对耦合频率有直接影响,非线性刚度使耦合频率附近的传递率曲线出现了弯曲和

2、跳跃现象,增大阻尼会抑制非线性的影响。关键词:柔性体;耦合振动;非线性振动;正弦扫描实验;中图分类号:TB535+.1文献标识码:A:()076。Sciulli采用传递函数综合方引言工程应用中的隔振器一般都有一定的非线性。例如:减振橡胶具有非线性刚度,并且在动态载荷下表现出粘弹性特性;广泛应用于航天、机械、交通等领域的金属橡胶减振器1,以及类似的钢丝绳减振器2,不仅具有非线性的刚度,还具有成分复杂的非线性阻尼;流体减振器同样也具有非线性刚度和非线性阻尼,并且其特性随激振频率和激振振幅变化3。这些隔振器在振源和被隔振物体之间引入了非线性环节,采用线性模型不能完全描述其动力学特性。在实际应用中,支

3、撑结构和被隔振物体都有一定的柔性,并不是理想的刚体。当柔性较大时,支撑结构和被隔振物体的耦合振动会对隔振效果产生明显的影响。如果忽略上述因素,设计得到的减振器可能无法满足工程应用的要求。因此,进行动力学分析时须同时考虑结构的柔性和隔振器的非线性。梁是基本的柔性体模型,关于两个柔性梁耦合振动的研究起步较早,文献丰富。Dublin等利用差分求解了采用弹簧阻尼器连接的两个非均质梁的谐响应4。Yamaguchi采用弹簧阻尼器和一个小梁作为主动梁的动力吸振器,讨论了吸振器的参数对主动梁稳态响应的影响5。Shankar等基于有限元法和格林函数法对采用拉簧和扭簧连接的梁的能量传法分析了采用一个或两个弹簧阻尼

4、器连接的柔性基础与柔性设备系统的振动模态,在研究中将柔性体简化成梁结构7。Vu和Oniszczuk分别讨论了由均布线弹性阻尼层连接的两个梁的振动模态和动力响应810。Gurgoze和Inceoglu等求解了通过一个或多个双弹簧振子耦合梁的稳态响应11,12。Gao等对两个悬臂梁采用主被动混合隔振器连接的情形进行了实验研究13。Tu等针对一般的柔性隔振系统,基于子结构思想在模态空间中讨论了柔性体隔振不同于刚体的主要特征14。这些文献中的模型都是采用各种形式的线性连接将两个柔性体的振动耦合起来。由于非线性振动的复杂性,目前针对非线性连接应用于柔性系统的研究并不多见。Xiong等采用谐波平衡法求解了

5、柔性基础2非线性隔振器2刚性设备系统的稳态响应,并讨论了非线性参数对系统功率流的影响15。Mikhlin分析了采用非线性弹簧振子作为柔性体动力吸振器的问题,他将柔性体近似等效为一个线弹性弹簧和一个集中质量16。上述文献都是通过适当的等效,求解系统近似的稳态响应。由于非线性连接件的参数控制和动力学建模较为复杂,非线性连接柔性体的动力学实验研究不足,缺少实验的支持。文献中等效方法的合理性、准确度以及一些由非线性引起的现象仍有待验证。为了研究非线性连接与柔性体的耦合振动,本收稿日期:2007210224;修订日期:200820723042振动工程学报第22卷文选取了金属橡胶减振器作为非线性连接件。由

6、文献17可知,金属橡胶具有典型的三次非线性刚度,在小激励幅值条件下,可以采用线性刚度、线性阻尼和三次非线性刚度的组合来描述其动力学特性。本文针对由金属橡胶连接的两个梁,采用格林函数法和谐波平衡法求解了其稳态响应。制作了3组不同参数的实物模型,进行正弦扫描实验,验证了数值计算结果,并结合实验与计算结果讨论了各连接参数对耦合特征的影响。两个金属橡胶的恢复力f1,f2可写为f1=kv2(x4)-v1(x1)+v2(x4)-v1(x1)3+cv2(x4)-v1(x1)f2=kv2(x5)-v1(x3)+v2(x5)-v1(x3)3+cv2(x5)-v1(x3)当系统受到简谐激励时,虽然金属橡胶是非线性

7、的,但是响应通道的波形基本上是简谐的。因此可设ititv1(x,t)=V1e,v2(x,t)=V2e󰃖󰃖(5)󰃖󰃖(6)(7)1频域响应求解非线性连接梁的模型如图1所示。主梁弯曲刚度E1I1,线密度1A1,长度L1;副梁弯曲刚度E2I2,线密度2A2,长度L2。主梁受到简谐的单点激励,主梁和副梁通过金属橡胶连接。在图1中标出。f1=F1eit,f2=F2eit式中V1,V2,F1,F2为复数。代入式(3),得44(x-x1)+11=4-11dx2(x+ext(x-x2)4F1(x-x4)+2V2=-4-E2I2dx(8)F2(x-

8、x5)式中24EiIi(i=1,2)i=iAi󰃗(9)将式(6)和(7)代入式(5)得F1eF2eit=k3V2(x4)-V1(x1)eit+=kV2(x5)-V1(x3)e+3itV2(x4)-V1(x1)3e3itit(10)图1非线性连接梁模型V2(x5)-V1(x3)3e3it其中k3金属橡胶的恢复力可以用线性刚度、三次非线性刚度和粘性阻尼的组合近似描述。当变形为时,恢复力可由下式表出󰃖(1)f=k+3+c式中k,c分别为刚度系数,非线性系数和阻尼系数。设激振力为it(2)fext(t)=Fexte梁的控制方程为24+E1I14=f1(x-x1)+1A1

9、5t25xf2(x-x3)+fext(t)(x-x2)(3)24+E2I24=-f1(x-x4)-2A25t25xf2(x-x5)式中v1,v2分别表示主梁和副梁的挠度。两梁均为自由边界条件,因此有23=0,3=0x2x=0,l1xx=0,l1(4)23=0,3=05x2x=0,l25xx=0,l2=k+ic(11)由式(10)中同次谐波系数相等得3F1=kV2(x4)-V1(x1)+V2(x4)-V1(x1)34V2(x5)-V1(x3)343F2=kV2(x5)-V1(x3)+(12)设G1(x,u)和G2(x,u)是下述方程的解d4Gi(x,u)󰃗dx4-4u)iGi(x

10、,u)=(x-(i=1,2)(13)由叠加原理,方程(8)的解可以表示为V1=E1I1G(x,u)F(u-011lx1)+F2(u-x3)+Fext(u-x2)duV2=-E2I2G(x,u)F(u-01l(14)x4)+F2(u-x5)du积分后得第1期王光远,等:连接梁的非线性耦合振动分析与实验43V1=E1I1F1G1(x,x1)+式(15)(17),(19)(21)组成非线性代数方程组,该方程组不易得到解析解,本文采用牛顿迭代法数E1I1FextG1(x,x2)E1I1F2G1(x,x3)+值求解得到系统的响应。V2=-E2I2F1G2(x,x4)-E2I2F2G2(x,x5)2实验方

11、法本文分别采用3组参数不同的金属橡胶连接两个均质铝梁,组成了3组试件。所采用的梁参数都完全一样,在分别距主梁和副梁左右端点各0115m处,用同一组的两个金属橡胶连接。试件的参数如表1和2所示,金属橡胶的参数由文献17的方法得到。由于单位选取的问题,的量级较大,系统中由非线性刚,系统非线性2,往往仅对结(如惯导的支撑点),因此本文在实验研究中,取副梁中点的加速度与激励点的加速度比值作为系统的传递率进行研究。响应求解过程中,也可以得到这一结果。表1梁参数几何尺寸󰃗mm(长×宽×厚)1000×40×6(kgm-3)弹性模量󰃗GP

12、a密度󰃗702700(15)将式(15)代入式(12)得F1=-F1G2(x4,x4)+F2G2(x4,x5)+E1I1E2I2E2I2F1G1(x1,x1)+F2G1(x1,x3)+FextG1(x1,x2)-4E1I1F1G2(x4,x4)+F2G2(x4,x5)+E2I2E2I2F1G1(x1,x1)+F2G1(x1,x3)+FextG1(x1,x2)3(16)F2=-F1G2(x5,x4)+F2G2(x5,x5)E1I1E2I2E2I2F1G1(x3,x1)+F2G1(x3,3+t3,x)4E1I12x,x4F2G2(x5,x5)+E2I2E22F1G1(x3,x1)+

13、2G1(x3,x3)+FextG1(x3,x2)3(17)由文献18可知,式(13)的解Gi(x,u)可以设为如下形式Ai1ch(ix)+Ai2sh(ix)+Gi(x,u)=Ai3cos(ix)+Ai4sin(ix)(0xu)(18)Ai5ch(ix)+Ai6sh(ix)+Ai7cos(ix)+Ai8sin(ix)(uxli)表2金属橡胶参数(105󰃖-1)组别k󰃗第1组2148第2组4153第3组118913󰃖-3)󰃗󰃖(󰃖-1)-1-413282100-5155151194-1107145128

14、由位移、转角、力矩的连续性条件得Gi(x,u)x=u+=Gi(x,u)x=u+x=u-dGi(x,u)󰃗dx=dGi(x,u)󰃗dx+x=u-d2Gi(x,u)󰃗dx2x=u=d2Gi(x,u)󰃗dx2x=u-图2激振器和试件(19)由方程(13)得到剪力的不连续性条件d3Gi(x,u)󰃗dx3x=u+-d3Gi(x,u)󰃗dx3x=u-=1(20)由边界条件可以得到另外4个方程,当取自由边界条件时dGi(x,u)󰃗dxdGi(x,u)󰃗dx322x=0,li分别对每

15、组试件进行正弦扫描实验,实验原理如图3所示。由计算机发出指令,使信号处理仪产生振动信号,经过功率放大器放大,使激振器产生振动,在主梁的中点处进行激励。加速度传感器a1放在振动台台面上测试振动台的振动信号;加速度传感器a2放在副梁的中点,测试系统的响应信号。在实验中,保持激振台的激励加速度幅值恒定为014g,频率范围为51000Hz,进行扫描,获得a2通道在这一频段内的幅频曲线和相频曲线,即可得到=0(21)=0x=0,li44振动工程学报第22卷图3实验原理副梁中点相对于激励点的加速度传递率。3结果及讨论311,并与实验结果进行对照,如图4所示。计算结果与实验结果对应良好,峰值频率和幅值非常接

16、近,说明所采用的模型以及计算方法是合理的。表3给出了实验中得到的3组试件的传递率峰值频率,可见3组频率在低频段有明显的对应关系,高频段相差较大。以第1组为例进行分析,数值求解得到峰值频率对应的振型,如图5所示,为了比较主梁和副梁的响应,以同一基线绘制其振型。可见各阶振型基本对应于两自由梁各阶振型的同相以及反相组合。而第7阶振型与其它各阶不同,两梁的振型明显不同于自由梁,说明此时金属橡胶与梁的振动产生耦合。表3峰值频率󰃗Hz阶次12356789第1组1333115147235363492693768第2组1335117152249364541706773第3组1543125157

17、265368648753-图4实验与计算得到的传递率将3组实验结果进行对照,可见金属橡胶参数的变化对传递率有显著的影响。但由于难以定制确定参数的金属橡胶试件,无法针对某一特定参数进行对比实验,有必要采用数值方法进行对照分析。312连接参数的影响由第1组和第2组实验结果比较可见,金属橡胶刚度越大,耦合频率越高。第3组试件中,由于金属橡第1期王光远,等:连接梁的非线性耦合振动分析与实验45较大影响。刚度变弱会使高频段幅值显著降低。图7比较了只有阻尼变化,其余参数不变时数值计算得到的3组传递率。可见增大连接阻尼会使耦合频率邻近的峰值明显减小,对其它峰值也有抑制作用。阻尼的变化对峰值频率影响很小。图7

18、阻尼对传递率的影响由于连接的非线性,实验中传递率曲线出现了类似于单自由度杜芬系统的弯曲和跳跃现象,并且在耦合频率附近,现象较为明显。图8为实验得到的第1组试件在耦合频率附近的传递率,可见曲线有明显的弯曲现象。通过计算得到非线性无阻尼以及图5第1组振型胶刚度过大,耦合频率已经超出了所研究的频段。其余参数不变,改变连接刚度进行数值计算,如图6所示,刚度变化除影响峰值频率外,对幅值也有非线性有阻尼情况下的传递率,结果如图9所示。可见无阻尼时,传递率曲线有明显的跳跃现象;加入较大的阻尼后,传递率曲线弯曲现象变弱,跳跃现象消除。图8实验中的弯曲现象4结论图6刚度对传递率的影响针对工程应用中减振器的非线性

19、特性和减振结46振动工程学报第22卷ergiesoftwocoupledbeamsbyfiniteelementandgreenfunction(receptance)methodJ.JournalofSoundandVibration,1995,181(5):801838.7DinoSciulli.DynamicsandcontrolforvibrationisolationdesignD.VirginiaPllytechnicInstituteandStateUniversity,1997.8VuHV,OrdonezAM,KarnoppBH.Vibrationofadoublebeamsy

20、stemJ.JournalofSoundandVibration,2000,229(4):807822.9OniszczukZ.Freetransversevibrationsofelasticallyconnectedsimplysupporteddouble2beam(2):387403.10OvibrationsofansimplysupportedJ.ErdoganG,JournalofSoundandInceogluS.BendingcomplexsystemJ.JournalofSoundandVibration,2000,232图9计算得到的弯曲与跳跃现象构的柔性,性耦合振动进行

21、了研究。制作了3组试件,。实验结果与计算得到的传递率对应良好。从实验与计算结果可以得到如下动力学现象:(1)降低耦合刚度,可以降低高频振动的幅值;(2)由于非线性的影响,耦合振动频率附近的传递率曲线出现了弯曲和跳跃现象;(3)增大阻尼会削弱非线性的影响,减弱传递率曲线的弯曲程度,当阻尼较大时,跳跃现象会消失。参考文献:1李宇明,彭威,白鸿柏,等.金属橡胶材料宏观和细观力on,2003,264:273286.11GurgozeM,vibrationsofbeamscoupledbyadoublespring2masssystemJ.JournalofSoundandVibration,2001,

22、243(2):361369.12InceogluS,GurgozeM.Bendingvibrationsofbeamscoupledbyseveraldoublespring2masssystemsJ.JournalofSoundandVibration,2001,243(2):370379.13GaoJX,ChengL.Modelingandcontrolofpowerflowinadouble2beamsystemJ.Thin2WalledStructures,2005,43:751771.14TuYQ,ZhengGT.Onthevibrationisolationofflexiblest

23、ructuresJ.TransactionofASME:JournalofAppliedMechanics,2007,74:415420.15XiongYP,XingJT,PriceWG.Interactivepowerflowcharacteristicsofanintegratedequipment2nonlinearisolator2travelingflexibleshipexcitedJ.JournalofSoundandVibration,2005,287:245276.16YuriVMikhlin,ReshetnikovaSN.Dynamicalinteractionofanel

24、asticsystemnonlinearabsorberJ.Vibration,2005,283:91120.17王光远,郑钢铁,韩潮.金属橡胶动力学建模的频域方andessentially学模型J.机械工程学报,2005,41(9):3841.2龚宪生,谢志江,骆振黄,等.非线性隔振器阻尼特性研究J.振动工程学报,2001,14(3):334338.3何玲,郑钢铁.流体隔振器中干摩擦对隔振特性影响分析J.振动工程学报,2007,20(2):118122.4MichaelDublin,HansRFriedrich.Forcedresponseoftwoelasticbeamsinterconn

25、ectedbyspring2dampersystemsJ.JournaloftheAeronauticalSciences,1956,9:824829,887.5YamaguchiH.Vibrationsofabeamwithanabsorberconsistingofaviscoelasticbeamandaspring2viscousdamperJ.JournalofSoundandVibration,1985,103(3):417425.6ShankarK,KeaneAJ.Astudyofthevibrationalen2JournalofSoundand法J.宇航学报,2008,29(

26、2):499504.18MohamadAS.TablesofGreensfunctionsforthetheoryofbeamvibrationswithgeneralintermediateappendagesJ.InternationalJournalofSolidsandStructures,1994,31(2):257268.第1期王光远,等:连接梁的非线性耦合振动分析与实验47AnalyticalandexperimentalstudyofcouplingvibrationofnonlinearconnectedbeamsWANGGuang2yuan,ZHENGGang2tie,HANChao112(1.SchoolofAerospace,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China;2.SchoolofAstronautics,BeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics