第三讲 二维随机变量及其分布

1、第三讲 多维随机变量及其分布考试要求1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.一、 各种分布与随机变量的独立性1. 各种分布(1) 一般二维随机变量 F (x, y)=P X £ x, Y &#

2、163; y , xÎ (¥, +¥), yÎ (¥, +¥)的性质F (x, y)为联合分布函数 1) 0 F (x, y) 1 , "xÎ (¥, +¥), yÎ (¥, +¥); 2) F(¥, y ) = F(x, ¥) =0, F(+¥,+¥) =1;3) F (x, y)关于x, y 均为单调不减函数；4) F (x, y)关于x, y 均分别右连续. (2) 二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联

3、合概率分布律 PX = xi , Y = yj = pi j , i, j =1, 2 ,××× , pi j ³ 0, .边缘分布律 pi · = PX = xi =, i =1, 2 ,××× , p · j = P Y = yj =, j =1, 2 ,××× , 条件分布律 PX = xi |Y = yj =, P Y = yj | X = xi =. (3) 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度f(x, y)为联合概率密度 1° f(x,

4、y) 0, 2° .设( X, Y) f(x, y) 则分布函数: ;边缘概率密度: , .条件概率密度: , . (4) 随机变量的独立性和相关性X和Y相互独立 Û F (x, y)= FX (x) F Y (y);Û pi j = pi · ´ p · j (离散型)Û f (x, y)= f X (x) f Y (y) (连续型)【注】1° X与Y独立, f (x), g (x) 为连续函数 Þ f (X)与g (X)也独立. 2° 若X1, ××××

5、;, Xm, Y1, ××××, Yn相互独立, f , g分别为m 元与 n元连续函数 Þ f (X1, ××××, Xm)与g (Y1, ××××, Yn)也独立.3° 常数与任何随机变量独立. 3. 常见的二维分布(1) 二维均匀分布 (X, Y ) U (D), D为一平面区域. 联合概率密度为 (2) 二维正态分布 (X, Y ) N (1 , 2, s12 ,s22, r ), ¥ <1, 2 < +¥, s1&

6、gt;0, s2 > 0, | r | <1. 联合概率密度为性质:( a ) X N (1, s12 ), Y N (2, s22 )( b ) X与Y相互独立 Û rX Y =0 , 即 X与Y不相关.( c ) C1X+C2Y N (C1 1+ C2 2, C12 s12 + C22s22 +2C1C2 r s1 s2 ).( d ) X关于Y=y的条件分布为正态分布: 【 例1 】 设A，B为事件，且P(A), P(B|A), P(A|B) 令 X, Y(1) 试求(X, Y)的联合分布律；（2）计算Cov( X, Y )；(3) 计算 .【 例2 】设随机变量X

7、与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X, Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处. Y X【 例3 】设随机变量X与Y独立同分布, 且X的概率分布为 记.(I) 求(U, V)的概率分布;(II) 求(U, V)的协方差Cov(U, V).【详解】(I) 易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且,故(U, V)的概率分布为: VU1 212 0 (II) ,而 , .故 .【 例4】 设随机变量在区间(0, 1)上服从均匀分布, 在的条件下,随机变量在区间上服从均匀分布, 求() 随机变量和的联合概率密度; () 的概率密度; () 概率

8、. 二、 二维(或两个)随机变量函数的分布1 分布的可加性(1) 若XB(m, p), YB(n, p), 且X与Y相互独立，则 X+Y B (m+n, p).(2) 若XP(1), YP(2), 且X与Y相互独立，则 X+Y P (1+2).(3) 若XN(), YP(), 且X与Y相互独立，则 X+Y N ().一般地，若XiN(), i=1, 2, , n, 且X1，X2，Xn相互独立，则Y=C1X1+C2X2+CnXn+C仍服从正态分布，且此正态分布为 其中C1，Cn为不全为零的常数.2. 两个随机变量函数的分布. 【 例5 】 设X与Y相互独立, 且 则 【 例6】 设X与Y相互独立, 其密度函数分别为: 求Z2XY 的概率密度.【 例7】设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 (I) 求；(II) 求Z+的概率密度.【详解】(I) .(II) 方法一： 先求Z