电力系统非线性振荡研究

1、第22卷第5期2002年5月电力自动化设备May.2002ElectricPowerAutomationEquipment17电力系统非线性振荡研究张强(南京工程学院电力工程系,江苏南京210013)摘要:振荡在电力系统运行中时有发生,由于自身的非线性属性,在振荡演变过程中可能出现混沌和次谐分支的现象。用Melnikov方法确定产生混沌和次谐分支的条件,并揭示了它们的内在关系。从而,对电力系统振荡的机理有了进一步的认识,。关键词:电力系统;非线性振荡;混沌;次谐分支中图分类号:TM711文献标识码:A(0017-03,近年来,研究1,2。析方法。有弱周期扰动项的具有同宿或异宿轨道二阶常微分方程

2、3,4。对于这类系统,可建立二维Poincar映射。Melnikov方法是用于判定这类系统的二维Poincar映射具有Smale马蹄变换的解析方法。按照动力系统理论,如果一个平面映射存在Smale马蹄变换,则这个映射具有反映混沌属性的不变集。所以,可用Melnikov方法判定系统具有Smale马蹄变换意义下的混沌。同时,如果二阶常微分方程具有一族周期轨道,那么,当这个系统带有周期扰动时,Melnikov方法还可用于判定次谐分支轨道的存在。本文应用Melnikov方法不仅分析了电力系统振荡在Smale马蹄意义下产生混沌的条件,还给出了次谐轨道存在的条件,以及它们之间的关系。),消去时间后可变为一

3、个三维自治系统。2振荡分析,对式(2)中的,作变换:,其中01,且时间仍用t表示,则得:=ydt(3)=-sinx-(y-cost)dt对于式(3),当=0时,它是一个保守的Hamilton系统,系统总的机械功率为(4)H(x,y)=y2/2+(1-cosx)=h此时,式(3)在二维相平面上有3种轨道:异宿0l轨道,振动型周期轨道i和旋转型周期轨道,0x2arcsinth(t)(t)=0(5)0y(t)=2sech(t)ix(t,k)=arcsinksn(t)i:(6)iy(t,k)=2kcn(t)lx(t,k)=2arcsinsn(t/k)ll(7)y(t,k)=2/kdn(t/k)0式中对

4、应h=2;i对应h=2k22,0k2,其旋转周期为2kK(k)。式(6)(7)中的sn(t)和cn(t)分别是椭圆正弦和余弦函数,sn(t)是第一类椭圆积分的反函数,即sn(t)(9)t=2220(1-)(1-k)221数学模型采用文献2的数学模型,即(t)=(t)dt(t)=-Pssin(t)-dtH(t)+Pm+PecostHHH(1)式中H,D为等值转动惯量和等值阻尼系数;Ps,Pm为电磁功率和机械功率;Pe为扰动功率幅值;为扰动功率的频率。经变换=tH/Ps(t)后,有)=(t),y()=Ps/H,x(T(k)=4K(k)=4i1-2=yd=-sinx-y+cosd(2)=D式中/(P

5、sH),=Pm/Ps,=Pe/Ps,=H/Ps。收稿日期:2001-07-13;修回日期:2001-09-17而cn(t)可由公式cn(t)=-sn2(t)得出。dn(t)也是一种椭圆函数,与sn(t)的关系为dn(t)=-k2sn2(t)。下面用Melnikov方法35对系统(2)进行分析。18电力自动化设备02002年211马蹄的产生对异宿线+(h=2),其Melnikov函数为M+(t0)=+-0-y+(t)+cos(t+t0)y+(t)dt=(10)+-8+2/2)cost0ch(根据Melnikov方法,M0(t0)具有简单零点的条件为+(11)-8+2/2)cost0=0ch(从而

6、,有-ch/4对异宿线-0,M-(t0)=第二类完全椭圆积分。当参数,满足2E(k)-kK(k)chK(kdef(21)Rm()ii()即为出现时,存在奇数阶次的次谐周期解,Rm奇数次谐振动的阈值。将,的值代入后,得:E(k)-kK(k)DP/H(22)schPs(k)lh2/k22)21,kK(k)。对任何互质正+-t)cos,lm/(n)(23)T=2kK(k)=mT/n=2k由m,n确定。计算由m,n决定的次谐轨道的Melnikov函数m/n(t0)=Ml-(14)(t+t0)y0-(t)dt=-8-2/2)cost0ch(同理,有(/2)(15)-+ch/4综合式(13)(15)后,有

7、对于充分小的0,当参数,满足:def/2)ch(R0()(16)+/4,0)的稳定流时,式(3)的Poincar映射的鞍点(形和不稳定流形发生横截相交,并形成异宿横截2环,出现Smale马蹄变换意义下的混沌,R0()为出现马蹄变换的阈值。将,之值代入式(16),有(17)ch(Ps)2DPs/H+Pm/4212次谐轨道的存在性21211振动型周期轨道i(h=2k2E(k)+k/4E(k)k)ch(kK(kdefRm()l(25)l()为出现奇数时,存在奇数阶的次谐周期解,Rm次谐周期轨道的阈值。代入,之值后,得:DPs/H+Pmk/4E(k)E(k)ch()(t0)=mTi-y(t)+icos

8、(t+t0)y(t)dt=与t0无关的常数,当n1,m为偶数时;2-8E(k)-kK(k)+0+(20)/chK(k)cost022621213马蹄变换阈值与次谐阈值的关系当m时,k1,k0,有E(k)=1,K(k)=/2,从而有下面的极限存在il()=limRm()=R0limRm()=mm(27)ch()可以证明,对于任意给定和足够接近1的k(即充分大的m),有il()R0(28)Rm()Rm()这样,对任意,随着不等式(17),(22)和(26)左边的比值逐渐增大时,系统从振动型周期轨道开始产生奇数次的次谐分支,在周期趋于无穷时进入混沌,然后才产生旋转轨道的次谐分支。PskK(k)当n=

9、1,m为奇数时式中k=-k2,E(k)=3仿真结果本文利用MATLAB软件中的Ode函数进行仿真计算。对式(1),取H=100,=0.5,Ps=100,D=2-k2sin2d为第5期张强:电力系统非线性振荡研究19和Pm=20。下列4幅图中的曲线分别对应Pe=2,4,32和33时的功角(t)曲线。计算结果表明,图1和图2属于振动型轨道,由式(22)可知,图2中含有奇数次的次谐分支;图3属于混沌轨道;图4则属于旋转型轨道,功角随时间t的增加趋于无穷大。这与上节的分析相吻合。4结语混沌和次谐分支是系统振荡演变过程的不同阶段。应用Melnikov方法能够判定系统混沌和奇数阶次谐分支轨道的存在,并得出

10、它们之间的内在关系。此外,系统还存在从偶数阶次谐分支进入混沌的过程4。然而,Melnikov方法却得不到这样的结果,这是Melnikov方法的不足之处,故该理论还有待进一步发展。参考文献:1贾宏杰,余贻鑫,王成山.电力系统混沌现象及相关研究J.中国电机工程学报,2001,21(7):26-30.2张卫东,张伟年.电力系统混沌振荡的参数分析J.电网技术,2000,24(12):17-20.ZHANGWei2dong,ZHANGWei2nian.Analysisofparametersforchaoticpowersystems.PowerSystemTechnology,2000,24(12):

11、17-20.3刘曾荣.混沌的微扰判据M.上海:上海科技教育出版社,1994.M.北京:科学出版社,2000.5李骊.强非线性振动系统的定性理论与定量方法M.北京:科学出版社,1997.(责任编辑:苏理)作者简介:张强(1959-),江苏常州人,副教授,研究方向为电力系统稳定分析与控制、电力系统最优潮流(E2mail:zhangqiang)。StudyonnonlinearoscillationsofelectricpowersystemZHANGQiang(NanjingInstituteofTechnology,Nanjing210013,China)Abstract:Thesystemos

12、cillationhappensoccasionallyduringtheoperationofelectricpowersystem.Becauseofitsnonlinearcharacteristics,chaosandsubharmonicbifurcationsmayoccurintheprocessofoscillation.AmethodusingMelnikovsfunctiontodeterminetheoccurringconditionsofchaosandsubharmonicbifurcationsispresentedandtheirinternalrelationshipsarerevealed.Therefore,themechanismsofelectricpow