由上次课讨论我们已经获得了非惯性系中的动力学方程有

1、由上次课讨论我们已经获得了非惯性系中的动力学方程：有了这条非惯性系动力学方程，我们就可以利用它来解决非惯性系中的动力学问题。四、例题 请大家翻到课文P44上的例题，给大家3分钟时间看一下这个例子的解。这个例题很简单，在普通力学中也许早已做过，尽管这个例子可以说是简单的不可再简单的了。但有没有意义呢？当然是有一定意义的，课本举这样简单的例子是有它的目的的。大家看了这个例题的解后，大家有没有发现课本举这个例子的主要目的是什么？（这个问题让学生来回答）这个例子的主要目的是说明了：1、同一质点动力学问题可以在惯性系中研究，也可以在非惯性系中研究，它研究的结果是一样的。2、在非惯性系中，只要加上适当的惯

2、性力，就仍然能用牛顿运动定律来解决动力学问题。另外，我们通过这个例子还可以看出两种方法同样都很方便地解出结果，但这仅仅是对象这样简单的问题而言的，可是在有些问题中采用非惯性系的动力学方法往往比采用惯性系的力学方法要来得明了和简便的多，不过本章是要求我们学会用非惯性系力学方法来求解。例1一升降机向上以匀加速上升，求此升降机中单摆的周期T=?这个例题用非惯性系力学方法就要比惯性系力学方法简便的多。根据本章的要求我们只采用非惯性系的力学方法，至于惯性系的力学方法在这以前我们已经解过不少的题目了，是比较熟悉的，现在就暂时不采用这种方法。采用非惯性系力学来处理这个问题的第一步要做的工作是什么？第一步要做

3、的工作是确定研究对象和动、定坐标系，对这个问题我们很自然就会取地面为固定坐标系即惯性系，选升降机为运动参照系。它以加速度上升，当然它是非惯性系，动坐标系就固定在升降机上，动坐标原点0就放在升降机的顶部与摆锤另一头相固结，如上图所示。第一步工作完成了，接着第二步是找出惯性力和真正的力。先找研究对象所受的其他物体对它作用的真正的力，本题的研究对象当然是摆锤，虽然质量是未知的，但我们总可以先假设它为m，则此研究对象所受的真正的力有，绳子对它的拉力.还有没有其它的力呢？没有了，只有这两个力是可以找出施力物体的真正的力，真正力找好了，接下去再找惯性力，找惯性力时为了避免找漏掉，我们对四项惯性力要一项一项

4、地去找（现在我们还不太熟悉，那么先把四项惯性力都写出来）有哪四项惯性力？大家应该要写得出来：，我们对照起来一项一项地找。动坐标是固定在升降机上的，而升降机相对地面是作匀加速度平动的，动坐标系的=0，因此后面这三项惯性力都等于零。而动坐标系的原点 o/是随升降机一起以加速度上升的,这项惯性力是存在的，它就等于=-m，即它的大小就等于ma，它的方向与相反 ，画在图上就是，这种找惯性力的方法也就是我们上面提到过的所谓图示法。在非惯性系中加了惯性力之后，就可以象惯性系一样来处理了，也就是说第三步和惯性系中应用牛顿第二定律一样，我们就应用非惯性系动力学方程列出研究对象的运动微分方程。因为，此题要求的是单

5、摆的周期，而单摆的周期可由单摆的简谐运动微分方程求得。单摆的振动方程通常是用如图所示的角作为变量的。所以，此题的动坐标系选用极坐标比较方便。我们由极坐标的分量表达示：可得非惯性系中质点m的运动微分方程为:这是径向运动微分方程，质点的横向运动微分方程：由此式可得当根据我们普通力学的简谐振动知识，由此运动微分方程很容易看出单摆的周期：如果再利用（1）式的话还可以求出绳的张力f。例2：有一质量为m的小环，套在半径为a的大圆环上，并且可沿大圆环滑动，小环与大圆环之间无摩擦。而大圆环在水平面内以匀角速度绕环上某点o转动，求小环在大圆环切线方向的运动微分方程。解：此题要我们求的是小环相对大圆环的切向运动微

6、分方程，而大圆环又以角速度绕o点转动，显然这个题目是属非惯性系动力学问题，它的解题目步骤与前一个例子完全一样，第一步也同样是确定研究对象。1、 确定研究对象，选定动坐标系固定坐标系如图所示就固定在定点o上，解非惯性系力学问题的关键是取动坐标系，动坐标系的选择带有任意性，当然它的基本原则是不变的，动坐标系一定要固定在运动参照物上。现在，我们先取大圆环的中心为动坐标系的原点o/，oo/连线为动坐标系的x/轴，垂直于它们轴为y/轴，这样就使得动坐标系与大圆环相对固定了。动坐标系确定了，我们就可以着手2、找四项惯性力。动坐标系是固定在大环上的，所以它随在环转动的角速度，而题意告诉我们。那么，上面的第二

7、项惯性力显然就不存在，又动坐标的原点o/取在大环的中心，它也要以角速度作匀速圆周运动，第一项惯性力是有的，它的大小就等于小环的质量m乘以o/相对定坐标系的加速度的大小，它的方向沿着oo/向外的方向（如图所示），第三项惯性力用矢积的定义可以判断它是沿o/m的方向的，同样可以判断科氏惯性力也是沿着o/m方向<见图所示>，四项惯性力都找出来了，真正的力还没有找出来，那么还得继续找出小环所受的真实的力。垂直于大圆环平面在黑板上所画的图就是垂直于黑板面的真实的力与所要求的问题无关，我们在这里可以不去考虑它，只要考虑大圆环平面上的作用力就可以了，由于小环与大环之间无摩擦，所以在大圆环的平面内作

8、用在小环上的真实的力必定是垂直于大圆环的切线，指向大环中心o/的，此力对小环沿大环切线运动显然也没有贡献，也可不考虑。3、真正的力和惯性力都已找出来了，那么就可以和惯性系一样列出运动微分方程。根据图上所画的力把它们分解到大圆环的切线方向上，即可得小环在大环切线方向上的运动微分方程为：这就是我们所要求的结果，此题还有另一种解法。解法二：如果动坐标不这样取，而是将动坐标系的原点取在固定坐标系的原点o，建立如下所示的动力坐标系，当然x/y/与大环是相对固定的。动坐标系这样选取可不可以呢？这当然是可以的。只是由于动坐标系变了，那么质点m所受的惯性力也就要随之变了。现在我们来看在此动坐标系中这四项惯性力

9、是怎样的？动坐标原点和固定坐标原点重合，所以动坐标原点相对静坐标的加速度，那么此时上面的第一种惯性力就不存在了，但在此情况下，动坐标仍然以恒定的角速度随着大圆环一起绕o点转动。第二项惯性力也仍然是不存在的。虽然，这里的也是表示小环相对动坐标系的位置矢径，但与解法一中的是不同的，这一点我们要注意到。再来找第三项惯性力，根据矢量叉积的定义知这个惯性力的大小就等于，它的方向离开动坐标原点沿着的方向，所以这项惯性力是离开动坐标原点的离心惯性力。根据右手法则判断的科氏惯性力是垂直于大圆环的切线方向的。与所求的问题无关可以不考虑。至于小环所受的真正的力与动坐标系的选择是无关的，所以它与解法一样就不再重复分

10、析了。3、列方程：当小环到大环中心o的连线与x/轴的夹角为，那么小环在大环切线方向上的运动微分方程就是：我们从图上容易看出将上式代入（1）有得到的结果与解法一是一样的。通过对这个例题的求解，可见，它说明了惯性力与动坐标系的选择有关，选择不同的动坐标系，质点所受的惯性力就不同，惯性力的不同，非惯性系中质点的运动微分方程也自然会不同，但最终的结果必定是相同的，因为实际问题只可能有一个确定的解。如果解得的结果不同的话，那么可以肯定其中必有一个是错误的。到此为止，我们上面所举的几个例子采用的都是图示法找惯性力，分析法还没用上，为此下面再举一个例子，用分析法来找出惯性力。由于这个例子比较大，就给它另列一

11、节，即第五节：§5.地球自转所产生的影响我们以前曾经讲过：严格地来说，地球不是惯性参照系，这因为地球既有自转又有公转，它是个转动参照系，因此说地球是一个非惯性系，地球的公转角速度比之自转角速度要小的多，大约要小10-2的数量级，要小两个数量级，因此地球公转所产生的影响就更小，我们今天不考虑地球公转的影响，今天只考虑地球自转所产生的影响，考虑地球绕地轴自转时，我们就取地心参考系作为惯性系，那么，地球在这样的参考系中，可以看作为是作匀速定轴转动，这就是说：可以认为它的自转角速度是沿着地轴的一个恒矢量，即=0,它的自转角速度的大小是可以计算得到的，大家可能一下子就可以计算出来，地球自转一周

12、所需的时间是一天，而一天等于24小时，24×60×60=86400秒，那么自转角速度的大小就等于：这样做对不对？这样做可以是可以的，是不是很对了呢？从实际情况来看它是不够严格的，我们平常所说的一天叫一个太阳日，地球在自转过程中还要受地球公转的影响，一个太阳日并非是地球刚好自转一周的时间，一个太阳日比自转周期要长。为明确起见，画个简图说明。什么叫太阳日呢？地球一边自西向东自转，同时还要绕着太阳公转。设地球在D处时，地球上的A点正对太阳，当地球上这点在下次正对太阳时，这样的过程：从DB叫做太阳日，此时地球绕地轴转过的角度不是正好，而是比还要多转过如图所示的这样一个角度，也就是说

13、从DC这位置才是，地球自转所经历的时间叫做恒星日，由天文计算得一个恒星日为86164秒，所以地球的自转角速度大小：弧度/秒，尽管地球自转角速度如此之小，但是在某些要求比较高的问题中还必须要考虑到它的影响，地球自转所产生的影响不仅从理论上可以计算得到，而且也可以通过实验测出，现在我们就从理论上来讨论由于地球自转而引起的几个典型的结果。一、 重力随纬度的变化重力随纬度的变化是由于地球自转引起的惯性离心力作用的结果，关于重力随纬度的变化情况，在这里只作简单地讨论，我们通常都说地面上物体所受的重力就是地心引力，重力的方向通过地心，这种说法只是在忽略了地球自转运动的情况下的近似讲法。而实际上物体所受的1

14、、重力不是地心引力2、在地面上的铅垂线不通过地心这都是由于地球的自转而引起的。如图所示，在地心纬度为入的地面上用细线挂一质量为m的小球，当质点相对地面静止时AB线就为此地的铅垂线，由于地球的自转，铅垂线AB的沿长线并不通过地心，而与AD有一个夹角，在这里我们就将动坐标取在地面上，动坐标的原点就放在小球上，先分析小球所受的真正的力，然后再分析惯性力，小球m受到的真正的力有地心引力-表示真正的重力，细线的张力T，它的大小就是我们在地面上用弹簧秤称得小球的重量，则它为mg通常称它为重力，严格地来讲应该称它为表观重力或视重，小球所受的真正的力只有这两个，接下去我们也同样对四项惯性力一一地找后面三项惯性力都没有，只有第一项惯性力，它的大小为，它的方向是垂直于地轴向外的，它也就是所谓的惯性离心力。受力分析好了，就可根据非惯性系动力学方程列出小球的运动微分方程分量表达式。这就得到了铅垂线偏离地心的角度与纬度入的关系，和重力加速度随纬度变化的关系。我们由这个关系式就能看出在地球的两极重力加速度最大，g=g/，在赤道上g最小，物体的重力是如果我们做生意的话，想多赚钱的话，最好把赤道上的东西拿到两