数学分析第二型曲线积分课件精编版

1、最新资料推荐2第二型曲线积分教学目的与要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别.教学重点，难点：重点：第二型曲线积分的定义和计算公式难点：第二型曲线积分的计算公式教学内容：第二型曲线积分一第二型曲线积分的意义在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。例如一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L从点A移动到点B,求力F(x,y)所作的功(图20-2)。为此在曲线AB内插入n1个分点M1,M2，Mn,，与A=M0,B=Mn一起把有向曲线AB分成n个有向小曲线段Mi,Mi(i=1,2，n),若记小曲线段MiMi的弧长为与，则分割T的细度为IT=maxAsi。i色刃i设力

2、F(x,y)在x轴和y轴方向的投影分别为P(x,y)与Q(x,y),那么F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)。又设小曲线段MiMi在x轴与y轴上的投影分别为Axi=xi-xi与Ayi=yi-yi，其中(xi,yi)与(xi_i,y-)分别为分点Mi与Mi的坐标，记LMiMi处i,Ayi),于是力F(x,y)在小曲线段Mi,Mi上所作的功Wi：F(i,i)p(i,i”xiQ(i,i”yi,其中(，)为小曲线段Mi.Mi上任一点。因而力F(x,y)沿曲线AB所作的功近似的等于nnnW=Wi；：p(i,i)xiQ(i,i)：yiiii1i1当细度T|t0时，上式右边和式的极限就应该是所求的功。

3、这种类型的和式的极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。定义1设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线上。对L的任一分割T,它把L分成n个小曲线段MnMi(i=1,2,n)其中M 0 = A,M n = B。记各小曲线段M i,M i的弧长为Asi,分割T的细度|t| = maxi si o 1i _n6又设T的分点Mi的坐标为(为，yj,并记。在每个小曲线段M-Mj上任取一点(&,、)，若极限nmJ Q(i 4i, i)；yn物p(i,i”xii4存在且与分割T与点(匕，、)的取法无关，则称此极限为函数P(x,y),Q(x,y)沿有向曲线L上的第二型曲线积分，记为P(x,y)

4、dx+Q(x,y)dy或JP(x,y)dx+Q(x,y)dy(1)LAB上述积分也可写作LP(x,y)dxLQ(x,y)dy或ABP(x,y)dxQ(x,y)dyABAB为书写简洁起见，(1)式常简写成Pdx+Qdy或Pdx+Qdy若L为封闭的有向曲线，则记为lPdxQdy(2)若记F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),ds=(dx,dy),则(1)式可写成向量形式LFds或Fds(3)于是，力F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)沿有向曲线L：AB对质点所作的功为W=P(x,y)dx+Q(x,y)dy。倘若L为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z

5、)为定义在L上的函数，则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分，并记为LP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz,(4)或简写成pPdx+Qdy+Rdz。当把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y)与ds=(dx,dy,dz)看作三维向量时，(4)式也可表示成(3)式的向量形式。第二型曲线积分与曲线L的方向有关。对同一曲线，当方向由A到B改变为由B至iJA时，每一小曲线段的方向都改变。从而所得的Axi,Ayi也随之改变符号，故有ABPdxQdy-BAPdxQdy而第一型曲线积分的被积表达式只是函数f(x,y)与弧长的乘积，它与曲线L的方

6、向无关。这是两种类型曲线积分的一个重要区别。类似于第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些重要性质:1.若 f Pidx+Qidy(i =1,2，k)存在，则ABjZ qPi dx+ qQi dy 也存在，且L3)A Jkk/k、k(GPdx+qQidy=ci(Pdx+Qdy)iA)i1)T其中q(i=1,2，k)为常数。2.若有向曲线L是由有向曲线L1,L2,Lk首尾相接而成，且JPdx+Qdy(i=1,2,，k)存在，则jPdx+Qdy也存在，且LLk/Pdx+Qdy=fPdx+Qdy。二第二型曲线积分的计算Li与第一型曲线积分一样，第二型曲线积分也可化为定积分来计算。设平面曲线尸L:,

7、Kt)其中邛W(t)在k,P】上具有一阶连续导函数，且点A与B的坐标分别为代(3卅0)与(中伊卢(P”又设p(x,y)与Q(x,y)为L上的连续函数，则沿L从A到B的第二型曲线积分LP(x,y)dxQ(x,y)dy=,.Pt,1t：tQ：t,ttdt(6)仿照1中定理20.1的方法分别证明PPP(x,y)dx=pPR(t州(t严Vdt,1Q(x,y)dx=Q0P(t州(ttgt,由此便可得公式(6),这里不再赘述了。对于沿封闭曲线的第二型曲线积分(2)的计算，可在L上任意选取一点作为起点，沿L所指定的方向前进，最后回到这一点。例1计算xxydx+(y-x)dy,其中L分别沿如图20-3中路线(

8、i)直线AB;(ii) ACB(抛物线：y=2(x1)2+1)；(iii) ADBA(三角形周界)(iv) +八段如，x=1+t解(i)直线AB的参数方程为，tw0,1。y=1+2t故由公式(6)可得1 .11c25Qxydx+(yx)dy=11+t(1+2t)+2tdt=(1+5t+2t2dt=(ii)曲线ACB为抛物线y=2(x1)2+1,1ExW2,所以fxydx+(yx)dy=fx2(x-12+1】+2(x-1)2+1-x4(x一1向xACB12 3210=(10x3-32x2+35x-12dx=o13(iii)这里L是一条封闭曲线，故可从A开始，应用上段的性质2,分别求沿AD,DB和

9、BA上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分。由于沿直线AD:x=x,y=1(1ExE2)的线积分为23嘉xydx+(y-x)dy=hxydx=xxdx=-。沿直线DB:x=2,y=y(1EyE3)的线积分为3(xydx+(y-x)dy=f(y-x)dy=f(y2)dy=0。DBDBI256沿直线BA的线积分可由(i)及公式(5)得到xydx(y-x)dy=-xydx(y-x)dy-BAAB所以3八Lxydx(y一x)dy-DB(y-x)dy=。例2计算xdy+ydx,这里L:（i）沿抛物线y=2x2,从。到B的一段（图20-4）；(ii)沿直线段OB:y=2x；(iii)沿封闭曲线OABO。

10、解(i)(xdy+ydx=xx(4x)+2x2dx=6x2dx=：=2。.,_、.1-(ii) xxdy+ydx=(2x+2x)dx=4=2。(iii) 在OA一段上，y=0,0MxMl;在AB一段上，x=1,0MyM2;在BO一段上与(ii)一样是y=2x从x=1至ijx=0的一段。所以10Axdy十ydx=j0dx=0,2ABxdyydx=11dx=2,boxdyydx-xdyydx二-2,(见(ii)。因此qxdy+ydx=L+十=0十22=0。LOAABBO对于沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与(6)式相仿。设空间有向光滑曲线L的参量方程为x=x(t),L:，y=y(t),t

11、P,Z=z(t),起点为(x(a),y(a),z(o()，终点为(x(P),y(P),z(P),则BriLPdxQdyRdz=P(x(t),y(t),z(t)x(t)Q(x(t),y(t),z(t)y(t)R(x(t),y(t),z(t)z(t)dt。这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致。例3计算第二型曲线积分I=xydx+(yx)dy+x2dz,其中L是螺旋曲线x=acost,y=asint,z=bt,从t=0到t=兀上的一段。解由公式（7）,32.22.22,2t12八I=0(qcostsint+acost-asintcost+abcos)dt=-a()13.312.212.，Z1._l=|asint-asint+a(1+b)t+sin2tl：322、212=万a(1+b)n。例4求在力F(y,x,x+y+z)作用下，I i)质点由A沿螺旋线L1到B所作的功(图20-5)，其中II :x=acost,y=asint,z=bt,0MtE2n；(ii)质点由A沿直线12到B所作的功。解如本节开头所述，在空间曲线L上力F所做的功为W=产ds=yydx-xdy+(x+y+z