计算机控制系统的经典分析方法

1、计算机控制系统的经典分析方法计算机控制系统的经典分析方法令令 ，则则 由此可得由此可得 和和 的基本对应关系：的基本对应关系： 映射为映射为 的，的，左半平面映射在左半平面映射在 当当 S 平面的点沿虚轴由平面的点沿虚轴由 变化到变化到 时，时，Z 平面的相角平面的相角也从也从 变化到变化到 ，。S 平面可分为许多宽度为 的平行带，其中 的带称为，其余均为。 s平面中的周期带与z平面中相对应的单位圆 n等线（等衰减）映射 s平面上的等 垂线，映射到z平面上的轨迹，是以原点为圆心、以 为半径的圆等等 线（等频率）映射线（等频率）映射 在采样周期T 确定的情况下，s平面上的等 水平线，映射到 z

2、平面上的轨迹，是一簇从原点出发的射线，其相 角 ，以实轴正方向为基准 等阻尼 线映射 s平面上的等阻尼 线可用式 描述 映射到z平面为 【解】 实部相同而虚部相差 的整数倍的点均映射为同一点11010j OSOReZIm0.533101,1321jss 、。例例1 如图所示，在如图所示，在 S 平面有三个点，分别为：平面有三个点，分别为： （1）直接求特征方程的根来判别稳定性（2）修正的Routh稳定性判则 劳斯古尔维茨判据为连续系统的稳定判据，可以通过一种变换（双线性变换）将离散系统特征方程对应的单位圆内的根映射位为左半平面的根，这样就可用Routh判据来分析离散系统的稳定性。 设离散系统的

3、特征多项式为【证证】引入双线性变换引入双线性变换11 11zzwwwz或可以将可以将 转化为转化为 ，然后就可借助劳斯判据，然后就可借助劳斯判据判断稳定性。判断稳定性。 1iz0iewR例2 设采样系统的特征方程为 根据劳斯判据根据劳斯判据 在在 w右右 半平面有半平面有两个根，故该采样系统有两个根在单两个根，故该采样系统有两个根在单位圆外，因此系统不稳定位圆外，因此系统不稳定 例3 如图所示的系统，为保证系统闭环稳定，放大系数的倍数 K 的取值范围。该系统的广义对象为该系统的广义对象为（3）。0.)(1110 nnnnazazazaz设离散系统的设离散系统的为为 构造构造 Jury： 从第从

4、第3 行开始，所有奇数行行开始，所有奇数行n用以下公式计算：用以下公式计算：第第(n2)行系数第行系数第(n1)行系数行系数 上两行末列系数之商上两行末列系数之商 若特征方程式中 a00，则只有当Jury表中所有奇数行第一列系数均大于零时，该方程的全部特征根才位于单位圆内。即 例例4 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为 构造Jury表 其奇数行首列系数有两个小于零，故系统其奇数行首列系数有两个小于零，故系统，且有，且有 2 2 个根位于单位圆外。个根位于单位圆外。：例例5 已知系统特征方程为已知系统特征方程为试判断其稳定性。试判断其稳定性。【解】【解】 系统满足必要条件系统满足必要条件可

5、见奇数行首列系数均大于零，故系统稳定可见奇数行首列系数均大于零，故系统稳定构造Jury表： （最后一行不必再判断）0)(212 azazz 0)1(0)1(设系统特征方程为设系统特征方程为系统稳定的必要条件为系统稳定的必要条件为0122 a为使系统稳定，须满足为使系统稳定，须满足由此可推得即 这等价于这等价于由此可得二阶离散系统稳定充要条件的简便形式：由此可得二阶离散系统稳定充要条件的简便形式： 已知如图所示采样统，已知如图所示采样统， ，试讨论试判断采样周期为，试讨论试判断采样周期为 1s或或4s 时，闭环时，闭环系统的稳定性。系统的稳定性。将采样周期 代入上式，得到特征方程为求得采样周期

6、时系统的闭环极点为闭环极点的模为 显然，极点 和 均位于 z 平面的单位圆内，所以闭环系统是稳定的。 将采样周期 代入上式，得到特征方程为sT4求得采样周期 时系统的闭环极点为闭环极点的模为 显然，极点 位于z平面的单位圆内，所以闭环系统是不稳定的。 n连续系统的定义为上述误差的终值，即采样系统的定义为，即 ： 1 1、离散系统稳态误差的定义、离散系统稳态误差的定义 2、线性定常系统稳态误差的计算、线性定常系统稳态误差的计算 连续系统通常按系统连续系统通常按系统来分类，来分类，根据映射关系，根据映射关系，的积分环节，即的积分环节，即 ，映射至映射至 为为，所以采样系统则按其开环脉冲传函在所以采

7、样系统则按其开环脉冲传函在z =1 处的极点个数来分类处的极点个数来分类，分别有分别有 、系统。系统。如图所示的单位反馈系统闭环误差传函由此可得(1)(1)终值定理法终值定理法 根据终值定理，系统在采样时刻的稳态误差为 与与及及的特性均有关的特性均有关。则稳态误差可表示为则稳态误差可表示为其中其中 为稳态为稳态)(1)(ttr 111)( zzR其 Z 变换为(2)(2)静态误差系数法静态误差系数法 n对系统，开环传函 在 处无极点，即不含积分环节， Kp 为有限值，所以；n对系统，开环传函 在 处有一个极点，即含有一个积分环节， Kp 为无穷大，所以；n对于的系统，开环传函 处有多个极点，即

8、含有多个积分环节， Kp 为无穷大，所以； 其中 为r (t) = t 其其 Z 变换为变换为稳态误差稳态误差 。其中 为)()()1(lim1212zGzDzTKza 221)(ttr 322)1(2)1()( zzTzR 其其 Z 变换为变换为稳态误差稳态误差 *sse)( 1)(ttrttr)(2/)(2ttr)1/(1pKvK/1aK/1000例8 计算机控制系统的如下图所示。设采样周期 秒，试确定系统分别在单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线函数输入信号作用下的稳态误差。 10.T 解 系统的开环z传递函数为 系统闭环特征方程为 令 代入上式，求得 由于系数均大于零，所以系统是稳定的。先求

9、出静态误差系数： 静态速度误差系数为静态加速度误差系数为ssp101eK单位阶跃输入信号作用下： ssv110.110eK单位斜坡输入信号作用下 ： ssa1eK单位抛物线输入信号作用下： 令 ，此时误差完全由扰动信号 引起，即由终值定理可求得扰动作用下的由终值定理可求得扰动作用下的设设扰动作用点在被控对象上，则有扰动作用点在被控对象上，则有n8 位 （单极性），其分辨率为 当 输入小于 0.0039 时， 则处于而输出为零。对单位反馈系统，若 , 由于的，当输出 时，其误差信号 将进入A/D 的死区，从而 的转换结果为零，此时存在稳态误差这不是由系统原理引起的误差，而是。如图所示与其相应的，

10、分析其稳态误差。0I IIIIIvKaK000 KKKpK系统类型系统类型与与的关系为的关系为传函的一般形式的开环传函n对 系统，误差系数误差系数n对系统，误差系数误差系数n类似地也可求得 系统的误差系数 与比较，二者完全一致，而与 无关。尽管采样系统的稳态误差系数的计算公式中包含了 ，但实际计算中公式中的 与系统开环脉冲传函的 相对消，因此。【注】 以上结论只对成立，其它情况不一定能完全对消 T。计算机控制系统的响应特性分析也包括动态响应和稳态响应的分析 通常动态性能指标包括延迟时间td、上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts、最大超调量 等，其定义均与连续系统一致。 稳态响应是时间 时系

11、统的输出状态。一般认为输出进入稳态值附近5或3的范围内就可以表明动态过程已经结束。 尽管动态性能指标的定义与连续系统相同，但在 Z 域分析时，只能针对的值，而在采样间隔内，系统的状态并不能被表示出来，因此不能精确描述和表达采样系统的真实特性。在采样周期较大时，尤其如此。例9 已知计算机控制系统如下图所示，设采样周期T=1s ，试分析系统的单位阶跃响应特性。解 广义z传递函数为 闭环z传递函数为 系统闭环极点为 ，模为 ， 因此系统是稳定的系统的输出的z变换为 系统的输出的终值为 系统在单位阶跃输入作用下的过渡过程具有衰减振荡的形式，系统是稳定的。其超调量为40%，且峰值出现在第三、四个采样周期

12、之间，约经过12个采样周期结束过渡过程，系统稳态值为1。s平面绘制闭环系统根轨迹的特征方程：形式完全相同！形式完全相同！s 平面绘制根轨迹的所有规则z平面都适用，绘制方法完全相同。z平面绘制闭环系统根轨迹的特征方程：但应注意: z平面上的稳定边界是单位圆而不是一条直线 例10 系统如下图所示，设采样周期T=1s,且试绘制系统的根轨迹，并确定系统临界稳定时的K值。 解 系统的开环传递函数为系统的根轨迹如下图所示。Z 平面的临界放大系数由根轨迹与单位圆的交点求得，为 。 连续系统的频域特性连续系统的频域特性在正弦信号作用下，系在正弦信号作用下，系统的统的。此定义同样适用于离散系统，只是对应的输入输出。此定义同样适用于离散系统，只是对应的输入输出信号均为信号均为。即离散系统频率特性相当于考察脉冲传函当 z 沿单位圆变化时的特性。线性计算机控制系统的频率特性可按下式计算1 计算机控制系统频率特性绘制方法 (1)数值计算法 例11 已知连续传递函数 ，相应的z传递函数为 ，设采样周期为T=1s ，试求其频率特性。 ， 解 连续环节频率特性为 211(j ) =arctan(2 )j2+141G离散