抛物线的几何性质1

1、抛物线的几何性质抛物线的几何性质 前面我们已学过椭圆与双曲线前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质的几何性质,它们都是通过标准方它们都是通过标准方程的形式研究的程的形式研究的,现在请大家想想现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么及准线是什么?一、复习回顾：图图 形形方方 程程焦焦 点点准准 线线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px 2px2py2py )0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pFy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）二、二、 练习练习：填空（顶

2、点在原点，焦点在坐标：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）轴上） 方程方程焦点焦点准线准线开口方向开口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42开口向开口向右右开口向开口向左左开口向开口向上上开口向开口向下下yox)0,2(pFP(x,y)一、一、抛物线抛物线的的几何性质几何性质抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。延伸。1、范围范围由抛物线由抛物线y2 =2px（p0）220pxy而而0p 0

3、 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为0 x ( , )x y关于关于x轴轴对称对称( ,)xy 由于点由于点 也满也满足足 ，故抛物线，故抛物线(p0)关于关于x轴轴对称对称.( ,)xyy2 = 2pxy2 = 2px2、对称性、对称性yox)0,2(pFP(x,y)定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的的顶点顶点。yox)0,2(pFP(x,y)由y2 = 2px （p0）当当y=0时时,x=0, 因此抛物线的顶点顶点就是坐标原点（0，0）。注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有双曲线有两个顶点不同。两个顶点不同。、顶点、顶点

4、（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对

5、称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔（2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做

6、抛物线的线段叫做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：),(00yx（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。例例：已知抛物线关于：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点在坐标原点，并且经过点M M（，），求（，），求它的标准方程，并用描点法画出图形它的标准方程，并用描点法画出图形。因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点标原点，并且经过点M M（，）

7、（，），2 2解：解：所以设方程为：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点又因为点M M在抛物线上在抛物线上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：24yx（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：2 224yx作图：作图：(1)列表列表（在第一象限内列表）（在第一象限内列表）x01234y(2)描点描点：022.83.54(3)连线连线：11xyO课堂练习：课堂练习：求适合下列条件的抛物线的方程：求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点顶点在原点，焦点F F为（为（0 0，5 5）; ;（2）顶点在原点，关于顶点在原点，关于x x轴对

8、称轴对称, ,并且并且经过点经过点M(5,-4).M(5,-4).20 xy2165yx2探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射

9、后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。的理论依据。例例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为口圆的直径为60cm,灯深灯深40cm，求抛物线，求抛物线的标准方程及焦点的位置。的标准方程及焦点的位置。FyxO解：如图所示，在探照灯的轴截解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，反光镜的顶点与原点重合，x轴轴垂直于灯口直径。垂直于灯口直

10、径。AB 设抛物线的标准方程是：设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点由已知条件可得点A的坐标是的坐标是（40，30），代入方程可得），代入方程可得230240p22(0)ypx p454p所求的标准方程为所求的标准方程为焦点坐标为焦点坐标为2252yx45(,0)824l例例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离时，拱顶离水面水面2米，水面宽米，水面宽4米米. 水下降水下降1米后，水面宽多少？米后，水面宽多少？xoy若在水面上有一宽为若在水面上有一宽为2米米,高高为为1.6米米的船只，能否安全通过拱桥？的船只，能否安全通过拱桥？思考题思考题2BA（2,2

11、）x2=2y6x B（1，y） y=0.5B到水面的距离为到水面的距离为1.5米米不能安全通过不能安全通过y=3代入得代入得26水面宽例题例题3例例4,已知直线已知直线x-y=2与抛物线与抛物线 交于交于A、B两两 点，那么线段点，那么线段AB的中点坐标是的中点坐标是 。24yx(4,2)(三）、课堂练习：三）、课堂练习： 1、已知抛物线的顶点在原点，对称、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴为x轴，焦点在直线轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那上，那么抛物线通径长是么抛物线通径长是 . 2、一个正三角形的三个顶点，都在抛、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线物线 上，其中一个顶点为坐标上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为原点，则这个三角形的面积为 。24yx1648 35.点点A的坐标为的坐标为(3，1)，若，若P是抛物线是抛物线 上的一动上的一动点，点，F是抛物线的焦点，则是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为的最小值为( )(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 24yx4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线焦点在直线x-2y-4=0上上.(2)焦点在轴焦点在轴x上且截直线上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为所得的弦长为15.6、已知、已知Q(4