第4章-多项式插值方法

1、14.1 引言引言 4.2 Lagrange插值多项式插值多项式 4.3 Newton插值多项式插值多项式 4.4 分段低次插值分段低次插值2则称则称P(x)为为f (x)的的插值函数插值函数。这时，我们称。这时，我们称a,b为为插值插值区间区间， 称称 为为插值节（结）点插值节（结）点，称（，称（4-14-1）为）为插值条件插值条件，f (x)为为被插函数被插函数。求插值函数。求插值函数P(x)的方法称的方法称为为插值法插值法。 4.1 4.1 引言引言 定义定义 4.14.1 设设 y= f(x) 在区间在区间a,b上连续，在上连续，在a,b内内n+1个互不相同的点个互不相同的点 上取上取

2、值值 。如果存在一性态较好的简单函数。如果存在一性态较好的简单函数P(x)，使，使得得 010,()nnxxxaxxb 01,nyyy()(0,1,)(41)iiP xyin01,nxxx3 从几何上看，插值法就是确定一个简单曲线从几何上看，插值法就是确定一个简单曲线为为y=P(x) ，使其通过给定的，使其通过给定的 n+1个点个点 ， 并用它近似已知曲线并用它近似已知曲线 y=f (x).(,),0,1,iixyin 图图2-12-14 特别地，当特别地，当P(x)为次数不超过为次数不超过n次的代数多项式时，次的代数多项式时，相应的插值法称为相应的插值法称为多项式插值多项式插值；当；当P(x

3、)为三角多项式为三角多项式时，相应的插值法称为时，相应的插值法称为三角插值三角插值；当；当P(x)为分段解析为分段解析函数时，相应的插值法称为函数时，相应的插值法称为分段插值分段插值。其中三角插值。其中三角插值主要用于处理周期函数。本章仅介绍最基本的多项式主要用于处理周期函数。本章仅介绍最基本的多项式插值插值。 定理定理 4.14.1 在在 n+1 个互异点个互异点 上满足插上满足插值条件值条件 (4-1) 的次数不超过的次数不超过n次的插值多项式次的插值多项式Pn(x) 存在且存在且惟一惟一。 01,nxxx5记实系数多项式记实系数多项式 0( )(42)nknkkP xa x 即有即有 0

4、000111111(4 2)1nnnnnnnayxxayxxayxx 10110(,)()0ninnijijAVxxxxx 因因所以，解存在且惟一，这说明由式所以，解存在且惟一，这说明由式 (4-2) 表示的表示的 Pn(x)存在且惟一，证毕。存在且惟一，证毕。 证明：证明：64.2 Lagrange4.2 Lagrange插值多项式插值多项式 4.2.1 4.2.1 线性插值与二次插值线性插值与二次插值 设给定函数设给定函数 两点两点 ， 经过这两点的经过这两点的多项式插值就是直线多项式插值就是直线( )yf x0011(,),(,)xyxy011010110( )xxxxL xyyxxxx

5、 称给定称给定 为线性插值多项式。称为线性插值多项式。称为关于点为关于点 的线性插值基函数，其在节点处满足的线性插值基函数，其在节点处满足：1( )L x01,xx01010110( ),( )xxxxlxlxxxxx 1,()0,ijijl xij 7 4.2.1 4.2.1 线性插值与二次插值线性插值与二次插值 假定插值节点为假定插值节点为 ， ， ，要求二次插值多项式，要求二次插值多项式2x1x0 x),(2xL 几何上几何上 是通过三点是通过三点 的抛物线的抛物线. .)(2xL),(),(),(221100yxyxyx).2, 1,0()(2 jyxLjj 可以用基函数的方法求可以用

6、基函数的方法求 的表达式，的表达式，)(2xL),(0 xl),(1xl)(2xl是二次函数，是二次函数，);2, 1(,0)(, 1)(000 jxlxlj);2,0(,0)(, 1)(111 jxlxlj).1 ,0(,0)(, 1)(222 jxlxlj8 4.2.2 4.2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 1(),0,1,(44)0ijijijl xi jnij 0()naxxb 解解 的零点为)(,110 xlxxxxiniinjijjixxxl0)()(中含有因式而此因式已为而此因式已为n次多项式，故应有次多项式，故应有为待定系数injijjiiAxxAxl0)()(),

7、 1 , 0()(nixli求的求的n+1个次数个次数 次的插值多项式次的插值多项式满足满足 n901()()niiiijj ijl xAxx 再由 01()inijj ijAxx 得得00 1()( )(, , )()njij iijjxxl xinxx 00045( )( )()nnnjni iiiij iijjxxLxy l xyxx 称为称为n次拉格朗日（次拉格朗日（LagrangeLagrange）插值基函数）插值基函数或称为或称为拉格朗日基本插值多项式拉格朗日基本插值多项式。( (据之，我们可构造据之，我们可构造多项式多项式 10它称为它称为n次拉格朗日插值多项式。次拉格朗日插值多

8、项式。 引进引进 n+1 次与次与n n次多项式函数为次多项式函数为10( )()(4.2.10)nnjjxxx 1( )( )/()inixxxx 0( )( )()niniiiixLxyx n次拉格朗日插值多项式可表示为次拉格朗日插值多项式可表示为11误差估计定理误差估计定理 注注 （1 1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式之以误差估计式 11( )( )(1)!nnnMRxxn 4.2.2 4.2.2 插值余项与误差估计插值余项与误差估计 定理定理4.2 设设f(x)的的n+1阶导数阶导数 在在a,b存在，存在，则对任何则

9、对任何 ，插值余项满足，插值余项满足(1)1( )( )( )( )( ), , (1)!nnnnfRxf xLxxxa bn ( )( , ).xa b 其其中中(1)( )nfx a,bx 12 （2 2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使 尽可能小，以减小误差。尽可能小，以减小误差。 )(1xn(1)( )=(),( )0,knf xxknfx 若若那那么么 0( )( )0,nkkniiiRxxx l x 0( ),0,1, .nkkiiix l xxkn 0( )1.niil x 特别地，当特别地，当k=1时时13例例4.14.1：已知函数：已

10、知函数 x -1 0 1 y 1.25 0.75 1.25 2L ( )x求求3001122( )( )( )( )P xlx ylx ylx y 解解：1200102()()1( )(1)()()2xxxxlxx xxxxx 而而0211012()()( )(1)(1)()()xxxxlxxxxxxx 0122021()()1( )(1)()()2xxxxlxx xxxxx 142001122012( )() ( )() ( )() ( )1.25 ( )0.75 ( )1.25 ( )L xf x lxf x lxf x lxlxlxlx 255(1)0.75(1)(1)(1)883142

11、x xxxx xx 15例例 4.2 给定函数表给定函数表试分别用线性插值和抛物插值求试分别用线性插值和抛物插值求ln 1.46的近似值并估计误差。的近似值并估计误差。 x1.21.31.41.51.61.7lnx0.1823220.2623640.3364720.4054650.4700040.530628解解作线性插值作线性插值 得得010110101)(xxxxyxxxxyxL 377868. 05 . 1ln4 . 15 . 14 . 146. 14 . 1ln5 . 14 . 15 . 146. 146. 1ln 414 . 125 . 14 . 121012. 6)5 . 146.

12、 1)(4 . 146. 1(! 251002. 05102. 01)(lnmax RxxMxx误误差差为为16378402. 06 . 1ln)5 . 16 . 1)(4 . 16 . 1 ()5 . 146. 1)(4 . 146. 1 (5 . 1ln)6 . 15 . 1)(4 . 15 . 1 ()6 . 146. 1)(4 . 146. 1 (4 . 1ln)6 . 14 . 1)(5 . 14 . 1 ()6 . 146. 1)(5 . 146. 1 (46. 1ln 37843643.046.1ln 精精确确值值为为7289.02 )(lnmax4 .135,14 .13 xx

13、xxM52101 . 4)6 . 146. 1)(5 . 146. 1)(4 . 146. 1(! 37289. 0 R误误差差为为 作抛物插值作抛物插值 6 . 15 . 14 . 1210 xxx取取)()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL 174.3 Newton4.3 Newton插值多项式插值多项式问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优缺点？缺点？优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。

14、缺点：当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，缺点：当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化整个公式也将发生变化. .问题：如何改进？问题：如何改进？184.3 Newton4.3 Newton插值多项式插值多项式 4.3.1 4.3.1 均差的定义和性质均差的定义和性质定义定义：称 为函数 关于点 的一阶均差一阶均差. 100110()(),fxfxfxxxx )(xf01,xx120101220,fxxfxxfxxxxx 称为 关于点 的二阶均差二阶均差.)(xf012,xx x 一般地，称11011010,nnnnnfxxxfxxxfxxxxx 为 的 阶均差

15、阶均差n)(xf（均差也称为差商差商）.194.3 Newton4.3 Newton插值多项式插值多项式 4.3.1 4.3.1 均差的定义和性质均差的定义和性质利用如下均差表来计算均差：利用如下均差表来计算均差：0011012212012332312301234434234123401234()1st2nd3rd4th()(),(),(),(),kkxf xxf xxf xf xxxf xf xxf xxxxf xf xxf xxxf xxxxxf xf xxf xxxf xxxxf xxxxx 表21均差均差均差均差（）（）（）（）20解解 根据给定函数表造出均差表根据给定函数表造出均差表

16、 给出给出 的如下函数表，的如下函数表，由此计算由此计算 关于点关于点0,2,4,80,2,4,8的三阶均差的三阶均差 . .()fx()fx例例9 9-39-39-3-310108 84 42 20 0kx)(kxf-2.875-2.875-18-18-39-394 40.9843750.9843755 512129 98 8-6.5-6.5-3-32 210100 0三阶均差三阶均差二阶均差二阶均差一阶均差一阶均差kx)(kxf0, 2, 4, 8f21均差的性质：均差的性质：时恒为零。次多项式，当时为当阶均差函数次多项式，则其为若）（nkknnkxxxPknxPknn,)(210的任一排

17、列），为排列顺序无关，即有由此知，均差与节点的kiiixxxfxxxfxxxfxxxfkiiikkikjijjiikk10,(,)124()()(,) 1 (1010001010这性质又称为均差关于自变量的对称性均差关于自变量的对称性。22 根据均差定义，把根据均差定义，把 看成看成 上一点，上一点，x ,a b000,()()(),fx xfxfxxx 010001011012212,(),(),fxxxxfxxfx xxfx xfx xxxxfxxxxx 010101 , ,().nnnnf x xxf xxxf x xxxxx 可得可得4.3 Newton4.3 Newton插值多项式插

18、值多项式 4.3.2 Newton4.3.2 Newton均差插值多项式均差插值多项式23只要把后一式代入前一式，就得到只要把后一式代入前一式，就得到 0010( )(),()f xf xf xxxx 01201,()()f xxxxxxx ( )( ),nnNxRx 0010()(),()nNxfxf xxxx 01201,()()f xxxxxxx 其中其中 0101,()()nnf xxxxxxx 01 ,( )nnf x xxx 0101,()(),nnf xxxxxxx 4.3.2 Newton Newton均差插值多项式均差插值多项式2401( )( )( ) ,( ),nnnnR

19、xf xNxf x xxx （*） 是同是同LagrangeLagrange余项定义的余项定义的. )(1xn 显然，由确定的多项式显然，由确定的多项式 满足插值条件满足插值条件，()nNx且次数不超过且次数不超过n n 的多项式，其所给出形式的系数为的多项式，其所给出形式的系数为00 1,(, , ).kkaf xxkn 称称 为为牛顿（牛顿（NewtonNewton）均差插值多项式）均差插值多项式. ()nNx 系数系数 就是均差表就是均差表4-14-1中主对角线上的各阶均差，中主对角线上的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.ka 4

20、.3.2 Newton Newton均差插值多项式均差插值多项式25 但（但（3.73.7）更有一般性，它在）更有一般性，它在 是由离散点给出的是由离散点给出的情形或情形或 导数不存在时也是适用的导数不存在时也是适用的. .ff （* *）为插值余项，由插值多项式惟一性知，它与）为插值余项，由插值多项式惟一性知，它与拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的. . 事实上，利用均差与导数关系式就可以证明事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点. 牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加插值节点时，只要在原来插值多

21、项式的基础上增加一项插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项即可即可.),(,)()()(10 xxxxfxNxfxRnnnn（3.7） 4.3.2 Newton Newton均差插值多项式均差插值多项式26例例4.3：已知：已知x0.400.550.650.800.901.05y0.410750.578150.696150.888111.026521.25386。计计算算试试利利用用。计计算算求求)596. 0()()2()596. 0(),()1(25fxNfxN270 0.40 0.410751 0.55 0.57815 1.11602 0.65 0.69615 1.1860 0

22、.28003 0.80 0.88811 1.2757 0.3583 0.1974 0.90 1.02652 1.3848 0.4336 0.214 0.0345 1.05 1.25386 1.5156 0.5260 0.231 0.034 0 k xk yk 一阶一阶 二阶二阶 三阶三阶 四阶四阶 五阶五阶 )80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 0(034. 0)65. 0)(55. 0)(40. 0(197. 0)55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(5 xxxxxxxxxxxN63192.0)596.0()596.0(5 Nf

23、6320. 0)596. 0()55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(22 NxxxxN解解: (1)(2)与与0.596最接近的三个节点最接近的三个节点65. 055. 040. 0210 xxx28例例 4.4 给定表格函数给定表格函数 x12345f(x)0.50.1751.31-1.49510.36 （1）试用二次牛顿均差插值法求）试用二次牛顿均差插值法求 f (2.8) 的近似值；的近似值； （2）设）设 f (x)=-1.166 已知，试用（已知，试用（1）中构造的插值多项）中构造的插值多项 式求式求 x 的近似值。的近似值。172

24、8. 0)2 . 1()2 . 0(8 . 09 . 0)48 . 2)(38 . 2)(28 . 2(1 , 4 , 3 , 2)8 . 2()8 . 2(3982. 1)38 . 2)(28 . 2(97. 1)28 . 2(135. 1175. 0)8 . 2(22 fNfN解解 (1) 选取节点选取节点x=2,3,4)(,)(,)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxN k xkf (xk)一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差020.1751.135-1.97-0.9131.31-2.0805-1.0724-1.495-0.665310.529929.

25、342647. 1929. 30749.12985.1097. 1166. 1)3(297. 12135. 1175. 0)2(212 xxxxxxxx故故所所求求解解为为，舍舍去去），（超超出出区区间间，解解得得整整理理得得）（）（由由30解 由于是由于是3 3次函数次函数, ,所以取靠近所以取靠近0.450.45的的4 4个点产生均差表个点产生均差表. . 例4.5 根据给定数据根据给定数据( (见课本第见课本第6565页的表页的表) )，用，用3 3次牛顿插值次牛顿插值多项式计算多项式计算 f(0.45)(0.45)的近似值的近似值, ,并估计近似误差并估计近似误差. . 4.3.2 N

26、ewton4.3.2 Newton均差插值多项式均差插值多项式 一阶一阶 二阶二阶 三阶三阶 0.2 0.587785 0.4 0.951057 1.816360 0.6 0.951057 0.00000 -4.540900 0.8 0.587785 - 1.816360 -4.540900 0.00000()iixf x313(0.4( )0.5( 0.540900)(0.6)(0.000001.8871)785(0.2)6360Nxxxx 于是于是 4(0.45)(0.45)0.985114fN 按牛顿插值公式，将数据代入得按牛顿插值公式，将数据代入得32为了估计误差，增加一个靠近为了估计

27、误差，增加一个靠近0.450.45的插值点的插值点0.00.0，在均差，在均差表后加一行（均差与节点排列无关）表后加一行（均差与节点排列无关）. . 一阶一阶 二阶二阶 三阶三阶 四阶四阶 0.2 0.587785 0.4 0.951057 1.816360 0.6 0.951057 0.00000 -4.540900 0.8 0.587785 - 1.816360 -4.540900 0.00000 0.0 0.000000 0.734733 -4.251817 -0.722708 3.613540()iixf x33因此，截断误差因此，截断误差 3044(0.45),(0.4596)0.0024.Rfxx 事实上，给定的函数是事实上，给定的函数是 因此可计算实际误差因此可计算实际误差 3sin 0.45(0.45)0.002574N 由此可见，误差估计是相当有效的。由此可见，误差估计是相当有效的。sinx 34 4.4 4.4 分段低次插值分段低次插值 4.4.1 Runge4.4.1 Runge现象现象问题：问题：根据区间根据区间 上给出的节点做出的插值多项式上给出的节点做出的插值多项式),(xLn,ba在次数在次数 增加时逼近增加时逼近 的精度是否也增加的精度是否也增加? ?n)(xf 事实上，对于有些函数，插值