七年级数学绝对值知识精讲 人教义务代数

1、七年级数学绝对值知识精讲 人教义务代数【基础知识精讲】绝对值的概念一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作.因为一个数可以是正数，可以是负数，也可以是，由此得到绝对值的代数意义是：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小，由于距离总是正数或零，所以有理数的绝对值不可能是负数，即对于任意的有理数a,总有绝对值的求法求一个数的绝对值，就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a.若a>0,则a;若a=0, 则=0;若a<

2、0, 则=-a.在具体求一个数的绝对值时，只要首先判明它的正负，就可以利用上面的结论，求出它的绝对值有理数大小的比较学习了绝对值之后，有理数大小的比较法则就完整了，也可以不借助于数轴了“正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小”比较两个负数的大小，初学是比较困难的，开始解答这类问题，一定要分步去做：（）先求出两个负数的绝对值；（）比较两个绝对值的大小；（）写出正确的判断【重点难点解析】1.本节的重点是绝对值的概念；难点是如何求负数的绝对值和比较负数的大小2.从绝对值的几何意义可以看出，绝对值的实质是“距离”这里的“距离”是以单位长度为度量单位的，是一个非负的量非负性

3、是绝对值的重要特性，要去掉绝对值符号，一定要弄清绝对值符号里面的数的数性，再去判断如数a表示有理数，则=a,便是一个错误的结论，需要分类考虑解题难点关键在于，先确定一个有理数的正负，再求它的绝对值例 已知，求a.分析：在数轴上离开原点距离为的数有两个：一个是，另一个是-所以a的值是与-这一对相反数解：， a=2注：绝对值是的数一定是绝对值为正数a的有理数共有两个，是两个互为相反数a和-a例 比较和的大小分析：比较两个负分数的大小，按法则，先要求出它们的绝对值，并比较绝对值的大小，这两个分数的绝对值是两个异分母的正分数，要比较它们的大小，需通分解：， > -<-注：两个有理数比较大小

4、，当它们都是负数时，必须通过比较出它们的绝对值大小来确定它们的大小但一定要注意，因为是两个负数，那么它们的绝对值越大，说明在数轴的左边离原点的距离越远，因此它的值越小例 分类讨论的值的情况分析：对于有理数a,有三种情况，可为正数、负数和.当a的正数时，是它本身，所以；当a为负数时，是它相反数，所以=；当a为0时，为0，但分母为零，没有意义.解：当a>0时，=1； 当a<0时，=-1； 当a=0时，无意义.注：只知道a是有理数，不知道它属于正数、负数或0这三种情况的哪一种时，这三种情形都有可能出现，所以按不同情况进行讨论.例4 判断下列各式是否正确：（1）；（2）；（3）（4）a.解

5、：正确的是（1）、（2）、（4）,（3）题错误，因为只有非负数的绝对值才能等于它本身，当没有明确a-1表示的数是正或负的前提下，不能得到，第（4）小题以具体的正数、负数或0代入，就可以验证它是对的.【难题巧解点拨】例1 如果已知a<0,化简分析：应先化简里面的a<0, -a>0, ,再化简a-(-a)=a+a=2a, a<0, 2a<0.根据负数的绝对值是它的相反数得解：注：绝对值一定是非负数，在去掉绝对值的符号时，必须先考虑绝对值内代数式的符号.例2 已知若a>0,b<0,试把a,-a,b,-b四个数用“<”号按从小到大的顺序连接起来.分析:可

6、用特殊值法,设a=2,b=-3,所设数字一定要符合a>0,b<0,的条件.那么a=2,-a=-2.b=-3,-b=3, 从小到大的顺序为-3,-2,2,3即从小到大顺序为b,-a,a,-b.解:b<-a<a<-b.例3 有理数a,b,c,d,使则的最大值是多少?分析:由题意可知肯定大于0,而 abcd为负数,在a,b,c,d四个数中，负数的个数可能为1个或3个，当负数为1个时，=2，当负数为3个时，=-2.解: a,b,c,d四个数中至少有一个负数.的最大值是2.例4 若a,b互为相反数,c,d互为倒数,m 的绝对值是2,求a2-b2+÷(1-2m+m2

7、)的值.分析:解决本题的关键在于正确理解相反数、倒数、绝对值的概念，利用概念进行解题.解：由已知条件得：a+b=0,cd=1,m=2.原式=（a+b）(a-b)+ =0·(a-b)+当m=2时，原式值=1；当m=-2时，原式值=.【典型热点考题】例1 定出下列各数的绝对值:3, -3.2 +3.2 -, a-1解:=3 , , 注:,有多重绝对值符号时,可从里向外逐步化简; 要化简 的绝对值符号,关键是确定a-1是正数、负数，还是0，因此要分几种情况计论.例2 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数=3，求代数式a+b-cdx+的值.解：a与b互为相反数 a+b=0c与d互为倒数 cd

8、=1又 =3 x=3 当x=3时原式=0-1×3+=-2 当x=-3时原式=0-1×（-3）+=2 代数式a+b-cdx+的值当x=3时为-2，当x=-3时为2.注：此题将相反数、倒数、绝对值等概念综合在一起，关键是将已知的语言，写成数学表达式，只有做好这一点，才能找到解题的途径.例3 已知且b<a，求a、b的值.解：由=3，知a=3或-3由=4，知b=4或b=-4例4 有理数a,b在数轴上的位置如图（2-10）所示，试比较a,b,-a,-b的大小，并用“>”号把它们连接起来.分析：由图可以看出数轴上表示数b的点在原点的右边，数a的点在原点的左边，并且表示数b的

9、点在表示数a的点的右边，可知b>a，由相反数绝对值的定义可在数轴上把-a.-b表示出来，如图（2-11），利用数轴就可比较它们的大小了.解：法一：b>-a>a>-b. 法二：a<0,b<0, -a>0,-b<0,a>-b. a<0,-b<0, a>-b, b>-a>a>-b.【同步达纲练习】（时间45分钟，满分100分）1画出数轴，观察并回答下列问题（1）绝对值等于2的数有几个？是什么数？（2）绝对值小于3的整数有哪些数？（3）绝对值不大于4的正整数是哪些数？2填空题（1）绝对值等于它的相反数的数是 数；

10、（2）绝对值最小的有理数是 ；（3）-3的绝对值是 ；绝对值等于3的数是 ，它们互为 数；（4）绝对值小于4且不小于2的整数有 个，它们是 ；（5）绝对值大于1且不大于3的负整数有 个，它们是 ；（6）若=a,则a是 数；若>a，则a是 数.3用“>”号或“<”号填空（1）-3 -4（2）-（-4） -（3）- -（4）- -3.144.选择题(1)一个数的绝对值是正数,则这个数是( )A.不等于零的有理数; B.正数;C.任意有理数;D.非负数.(2)下列各式中,正确的是( )A.->0;B. ;C.- >-D.(3)若=1,则a( )A.是正数或负数;B.是正

11、数;C.是有理数;D.是正整数.(4)如果=-a,那么( )A.-a一定是负数;B.-a一定非负数;C.一定是正数;D.- 不能是零.(5)下列各式的结论,成立的是( )A.若=,则m=nB.若m>n,则>C.若>,则m>nD.若m<n<0,则>.【素质优化训练】1.把每题中的三个数用“<”号按从小到大的顺序连接起来：（1）-0.1,-;（2）-5,-5,-5.2.说出符合下列条件的字母a所表示的有理数各是什么数?(1);(2)(3)a>-a;(4)3.填空题(1)如果=0,那么m=;如果=4,那么n= .(2)如果,那么a=;如果那么a=

12、 .(3)如果a=-7,b=-15,那么= ;如果a=3,b=-4,则-=.(4)若则x= ,y= ;(5)如果a=4,b=-3,c=-1,那么 ; 3-2= .4.试比较2a和3a的大小.5.如果=4, =3,且a>b,求a,b的值.【生活实际运用】少年科技组制成一台单项功能计算器,对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算,其运算的过程是:输入第一个整数x1,只显示不运算;接着输入x2后则显示的结果,以后每输入一个整数都进行与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现小明将1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入,全部输完后显示结果的最大值是多少?参考答案：【同步达纲练习】1（1）两个，±2；（2）0，±1，±2；（3）1，2，3，4；2（1）非正，（2）0；（3）3；±3，相反数（4）4，±2，±3；（5）2，-2，-3；（6）非负，负3（1）>；（2）>（3）>（4）<.4(1)A; (2)C; (3)B; (4)B; (5)D.【素质优化训练】1（1）-<-0.1