《离散型随机变量的均值与方差》导学案

1、第6课时 离散型随机变量的均值与方差i. 理解离散型随机变量的均值(或期望)与方差的意义2会求离散型随机变量的均值、方差，并能对结果作岀判断与选择第一层级知识记1Z与理解一预拳n 不看护讲加谋鼻辄代承*b哥韋吧“知识体系梳理0«9«»在一次选拔赛中，甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8,9,10的概率分别为020.6,0.2;射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4,0204如果你是教练，如何比较两名射手的射击水 平，选拔谁呢？通过本节课的学习，我们就会得到答案.I 知识导学问题1:离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列

2、为XX1X2XiXnPP1P2PiPn则称E(X)=为随机变量 X的均值或 ，它反映了离散型随机变量取值的.称D(X)=为随机变量X的方差，它刻画了随机变量 X与其均值E(X)的,其算术平方根* %； j为随机变量X的,问题2:利用方差判断随机变量的离散程度的标准方差越，波动性越,即离散程度越 ；方差越，波动性越，即离散程度越.问题3:两点分布：设变量X只取0,1两个值，并且P(X=0)=1-p, P(X=1)=p，则E(X)=,D(X)=.问题4:(1)若随机变量X服从参数为n,p的二项分布，即 XB(n,p),则E(X)=,D(X)=若随机变量 X服从参数为N,M,n的超几何分布，则E(X

3、)=学习交流1. 样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3 .若该样本的平均值为1,则样本方差为().A.】B-c. 一D.22. 已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)=6.3,则a的值为().X4a9P0.50.1bA.5B.6C.7 D.83. 已知随机变量X的概率分布如下表X-101PJLJL则X的方差为.4签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个 求X的数学期望.第二眉级思童探究与创新寻学区系幌护讲重点难点探究离散型随机变量的均值根据历次比赛或者训练记录，甲、乙两名射手在同样的条件下进行射击，成绩分布如下射手8环9环

4、10环甲0.30.10.6乙0.20.50.3试比较甲、乙两名射手射击水平的高低Q»«-离散型随机变量的方差若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0vp<1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数(1) 求方差D(X)的最大值;(2) 求 Vm 的最大值.»SE离散型随机变量的均值与方差A、 B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示A机床次品数X10123概率P0.70.20.060.04B机床次品数X20123概率P0.80.060.040.10问哪一台机床加工质量较好 ？才 少能力牝岂力鼻丼牝思维拓展应用应用一随机

5、抽取某厂的某种产品 200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4 件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为X.求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；盒用二某篮球运动员投篮命中的概率p=0.6.(1) 求一次投篮时投中次数X的期望和方差(2) 求重复5次投篮时投中次数Y的期望与方差用三甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2,0.6,0 2射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4,020.4.用击中环数的期望与方

6、差比较两名射手的射击水平1. 已知 XB(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则 n,p 的值分别是().A.100 和 0.08B.20 和 0.4C.10 和 0.2D.10 和 0.82. 同时抛两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X,则D(X)等于().15155A. -B.C.D.5,b=X-101121Pabc3. 已知离散型随机变量 X的分布列如下表 若E(X)=0,D(X)=1,则a=4. 一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项,其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分, 不选或错选得0分,满分是100分.学生甲选对任一题的概率为 0.8,求

7、他在这次测试中成绩的均值和标准差 .全新视角拓展(2014年四川卷)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么岀现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独(1) 设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.(2) 玩三盘游戏，至少有一盘岀现音乐的概率是多少？(3) 玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比.分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.考题变式(我

8、来改编):第四层扱总结评价与反思_模型(-均值-反映了机娈童脱慣喷，用岂(X)*阖概恋-方一它机变債X与苴均值氏巧的，用。的農咸4建用科吧*附母直雹化思维导图构建两曲分布，若陆机蚩量JF眼从鑫数为p前两虑井布赠駅无)=，巩界=-三项分布_若园机变宜T眼丛肆数为gp的二项分布"则嘉 E(X)=,D(X)=T趙几拘分布若離机变量;r眼从鑫數为时"jw严的超几耐井布,则 恣)=瞥一学习体验分拿答案第6课时离散型随机变量的均值与方差知识体系梳理问题1：Xipi+X2p2+Xipi+Xnpn 数学期望平均水平§： (Xi-E(X)2pi平均偏离程度 标准差问题2：大大大小小

9、小问题 3:p p(1-p)问题 4:(1) np np(1 -p)(2)n基础学习交流1. D 由题意知a+0+1 +2+3 =5X1,解得a=-l.所以样本方差为=2,故选D.2. C 由分布列性质知:0.5+0.1+b=1, b=4EX)=4 X.5+aX).1+9 X0.4=6.3, a=,故选 C.3. 直接由期望公式得 E(X)=，然后利用方差公式可得 D(X)=(-1- )2X+(0- )2X+(仁)2X=.4. 解:由题意可知 X可以取 3,4,5,6,则 P(X=3)= = ,p(X=4)= ,P(X=5)= = ,P(X=6)=.由数学期望 的定义可求得E(X)=5.25.

10、重点难点探究探究一：【解析】设甲、乙两名射手射击一次所得的环数分别为X、Y,则E(X) =8 X0.3+9 X0.1+10 X.6=9.3;E(Y)=8 X0.2+9X0.5+10 X0.3=9.1 .由于E(X)>E(Y),这就是说甲射击所得的环数的数学期望比射手乙稍高一些，所以甲的射击水平高一些.【小结】离散型随机变量均值的实际意义是其取值的平均程度，在实际问题中这个平均程度能给我们的决策等提供一定的帮助，能对一些问题作岀判断.探究二：【解析】随机变量 X的所有可能取值为0,1，并且有P(X=1)=p,P(X=0) = 1-p.从而 E(X)=0 X1-p)+1X p=pD(X)=(

11、0-p)2X(1 -p)+( 1-p)2X p=pp2.(1) D(X)=p-p2=-(p2-p+ )+ =-(p- )2+ , 0<p< 1, 当 p=时,D(X)取得最大值，最大值为 /.(2) 烹=-"P -=2-(2p+), '-0<p<1, p+之2当 2p=,即 pb时取等号.因此，当 p千1 时，-?琴 取 得最大值2-2版.【小结】本题考查了随机变量的分布列、期望、方差等与其他知识的联系，要求对两点分布的分布列、期望、方差公式运用熟练.探究三：【解析】EX1)=0 X0.7+1 X0.2+2 XD.06 + 3X3.04=0.44,E(

12、X2)=0 X0.8+1 X0.06+2 X0.04+3 X0.10=0.44, EX1)=E(X2).又DX1)=(0-0.44)2 X0.7+(1-0.44)2 X0.2+(2-0.44)2X0.06+(3-0.44) 2X0.04 =0.6064,D(X2)=(0-0.44) 2 X0.8+(1-0.44)2X3.06 +(2-0.44) 2 X0 04 +(3-0.44)2 X3.10 =0.9264, D(X1)< D(X2),故A机床加工较稳定、质量较好.【小结】E(X)是一个常数，由随机变量X的概率分布唯一确定，即随机变量X是可变的，而E(X)是不变 的,它描述X取值的平均

13、状态.随机变量的方差和标准差既反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，也反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.思维拓展应用应用一 ：(1)由于1件产品的利润为 X，则X的所有可能取值为6,2,1，-2,由题意知125£0204P(X=6)=0.63, P(X=2)=0.25, p(X=1)=0.1, p(X=-2)=0.02.故X的分布列为：X621-2P0.630.250.10.02(2)1件产品的平均利润为E(X)=6 X).63+2 >0.25 + 1 >0.1 +(-2) >0.02=4.34

14、(万元).应用二:(1)X的分布列为：X01P0.40.6则 E(X)=0 >0.4+1 ».6=0.6,D(X)=(0-0.6)2 ».4+(1-0.6)2 >0.6=0.24.(2)Y服从二项分布，即丫B(5,0.6),EY)=np=5 >.6=3,D(Y)=5 >0.6 ».4 = 1.2.应用三：由题意得 E(X 甲)=8 >0.2+9 >0.6+10 ».2=9,D(X 甲)=(8-9)2».2+(9-9)2».6+(10-9)2 ».2=0.4;同理有 E(X 乙)=9,D(X

15、 乙)=0.8.由上可知E(X甲)=E(X 乙), D(X甲)<D(X 乙).所以，可以看出甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右,但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环的次数多些.基础智能检测1 .D 由 E(X)=np=8,D(X)=np(1-p)=1.6,得 n=10, p=0.8.2. C / XB10, ), D(X)= np(1-p)=10 xx=.3. 士 ；由题意知：-：= 解得血.4. 解:成绩的均值为 E(Y)=E(2X)=2E(X)=2 >50 ».8=80(分);成绩的标准差为越癖=加逊'$= -=2占：笑篥工爲=4'(分).全新视角拓展(1)X 可能的取值为 10,20,100, -200 .根据题意有：P(X=10)=人)1 和-)2=,P(X=20)=瓏")2 >(1-.)1 =-,P(X=100)=磅勒)3«1- )°=.,P(X=-200)=煖 X )映1-)3=一,所以X的分布列为：X1020100-200PcJAI(2)设“第i 盘游戏没有出