微积分学基本定理定积分计算续

1、§5 微积分学基本定理定积分计算（续）教学目的：熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。重点难点：重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。教学方法：讲练结合。本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一 变限积分与原函数的存在性设在上可积，根据定积分的性质4，对任何，在上也可积.于是，由 （1）定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积分： . （2）与统称为变限积分.注意，在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量写成，以免与积分上、下限的相混淆. 变限积分所定义的函数有着重要的性质由于因此下面只讨论变上限积分的情形

2、 定理99 若在上可积，则由(1)式所定义的函数在上连续 证 对上任一确定的点，只要，按定义式(1)有 因在上有界，可设于是，当时有 当时则有由此得到 即证得在点连续由的任意性，在上处处连续 口 定理910 (原函数存在定理) 若在上连续，则由(1)式所定义的函数在上处处可导，且 （3） 证 对上任一确定的，当且时，按定义式（1）和积分第一中值定理，有 由于在点连续，故有 由在上的任意性，证得是在上的一个原函数 口 本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了的一个原函数正因为定理910的重要作用而被誉

3、为微积分学基本定理 此外，又因的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当为连续函数时，它的任一原函数必满足 若在此式中令，得到，从而有再令,有这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.定理911 (积分第二中值定理) 设函数在上可积.()若函数在上减,且,则存在 ,使 ()若函数在上增,且,则存在 ,使 推论 设函数在上可积, 若函数为单调函数,则存在,使 积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具 二 换元积分法与分部积分法 定理912 (定积分换元积分法) 若函数在上连续，在上连续可微，且满足 ，则有定积分换元公式： （9） 证 由于(9)式两边的被积函数都是连续函数，因此它们的

4、原函数都存在设是在上的一个原函数，由复合函数微分法 可见是的一个原函数根据牛顿一莱布尼茨公式，证得 从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果(9)式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了.注 如果在定理912的条件中只假定为可积函数，但还要求是单调的，那么（9）式仍然成立.（本节习题第14题）例 计算解 令，当由变到时，由0

5、增到1，故取应用公式(9)，并注意到在第一象限中，则有 例2 计算解 逆向使用公式(9)，令当由变到时，由1减到0，则有 例3 计算解 令，当从变到时，从0增到1.于是由公式（9）及得到 对最末第二个定积分作变换，有 它与上面第三个定积分相消故得 事实上，例3中的被积函数的原函数虽然存在，但难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式(9)，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值 换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5，6，7等题 定理9.13 (定积分分部积分法)若为上的连续可微函数，则有定积分分部积

6、分公式： （10）证 因为是在上的一个原函数，所以有+ .移项后即为(10)式 为方便起见，公式(10)允许写成 （）例4 计算解 例5 计算和解 当时，用分部积分求得 移项整理后得到递推公式：由于重复应用递推式(11)便得 令，可得因而这两个定积分是等值的由例5结论(12)可导出著名的沃利斯(Wallis)公式： 事实上，由把(12)代人，得到由此又得因为所以而故得（即式）.三 泰勒公式的积分型余项若在上、有阶连续导函数，则有 这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明下面应用公式导出泰勒公式的积分型余项.设函数在点的某邻域内有阶连续导函数令，（或）利用(14)式得 ，其中即为泰勒公式的阶余项由此求得， 这就是泰勒公式的积分型余项 由于连续，在上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将式写作，其中这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项 如果直接用积分第一中值定理于(15)，则得，