两个平面垂直的判定和性质(二)

1、两个平面垂直的判定和性质（二）    教学目标1使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明并能应用判定定理和性质定理解决简单问题；2通过两个定理的两种引入方式，培养学生观察，归纳、猜想、证明的科学思维方式及辩证思维能力教学重点和难点性质定理的引入及证明教学用具两个互相垂直的平面，一根直的细木棍教学设计过程师：上一节课我们学习了面面垂直的定义和判定面面垂直的定理如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直判定定理是用来判定两个平面垂直的方法请问判定定理是如何叙述的呢？生：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直师：好应用定理的关键是在其中

2、一个平面中寻找另一个平面的垂线下面我们一起来解决上节课留的思考题（板书）如图，四边形BCDE是正方形，AB面BCDE，则图中所示7个平面中，有几对平面互相垂直？生：共7组AB面BCDE，所以  面ABE面BCDE，面ABC面BCDE，面ABD面BCDE，且ABBC，ABCE，ABCD又正方形BCDE，所以  BCBE，所以  BC面ABE因为  面ABC面ABE，因为  DE/BC，所以  DE面ABE，故  面ADE面ABE又  CDBC，因为  CD面ABC，所以  面ACD面ABC又

3、60; CEBD，所以  CE面ABD，故  面ACE面ABD师：通过对本题的研究，我们对判定定理有了更深入的理解下面我们一起来研究面面垂直有哪些性质生：两个平面互相垂直，所成的二面角是直二面角师：很好这是由定义的双重性得到的，定义既提供了两个平面垂直的判定方法，又指出了两个平面互相垂直的性质上节课我们由线面垂直，推出面面垂直，也就是面面垂直的判定定理那么现在从面面垂直出发，能否得到线面垂直呢？（取出教具，并拿细木棍在其中一个面上移动）生：当根与棱垂直时，根与另一平面垂直师：很好如果棍与棱不垂直时，棍与面垂直吗？生：不垂直师：好也就是说只有当棍与棱垂直时，棍才与面垂直那么是

4、不是与棱垂直，就一定与面垂直呢？（保持棍与棱相交且垂直，将棱移开平面，使之与平面不垂直）生：不是，棍必须在平面内师：意思是说当棍在面内时，如果棍与棱垂直，则它与面垂直好，请你整理一下刚才的想法，该怎样叙述这个命题的内容呢？注意面面垂直的大前提生：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面师：很好，下面我们一起来完成命题的证明先分析命题的条件和结论，然后画出图形，再结合图形，用符号语言叙述已知，求证生：已知如图，=AB，CD ，CDAB求证：CD师：这个命题的结论是线面垂直考虑已学过的判定线面垂直的方法有哪些，由本题的已知看看哪个方法最适合生：由已知CDAB，AB在内

5、，想证CD，只需在内再找一条直线与CD垂直师：很好但内没有这样的直线应该怎样作出这条直线呢？生：因为，根据定义作出这个二面角的平面角，就是90°在平面内，过D作DEAB，因为  CDAB，所以  CDE是-AB-的平面角，又  ，所以  CDE=90°，即  CDDE又  AB ，DE ，故  CD师：好利用两个平面垂直的定义，作出直线CDAB，最终证明了AB它就是面面垂直的性质定理也可称为线面垂直的判定定理（板书）剖析：（1）面面垂直线面垂直（2）为判定或作出线面垂直提供依据师：这个定理由面面垂直出发，

6、借助于线线垂直，结论是线面垂直给我们提供了解决线面垂直的一种新的思路-寻找面面垂直这一点也是这一定理最突出的作用师：下面继续来看，保持面面垂直的条件不变，交换一下命题的条件和结论，看看结论是否有价值（与学生一起分析得出）师：命题1，由AB ，CD，可得CDAB，与的大前提无关，不做研究命题2，条件重复，去掉CDAB这个结论正确吗？（取出教具，保持棍与面垂直，将棍移出平面，引导学生说出棍上必须有一个点在面上，才可以保证棍在面内）师：好，修改一下命题（擦去ABCD，添加C，或D）师：现在的命题正确吗？要证直线在平面内，直接证法是依据公理1，需要在直线上找到两点在平面内已知只有一点C，再找合题意的点

7、很困难应该采用什么对策？生：利用反证法假设CD ，过点C作CEAB于E因为  ，所以  CE又CD与CE确定平面，令=a，则CDa，CEa所以在平面内，有两条直线CD，CE，同时垂直直线a，这与平面几何定理矛盾！所以  CD 师：很好这也是面面垂直的一个性质，它的作用是判定直线在平面内用语言叙述就是：（板书在命题1的位置）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内师：请同学们打开书p41书上给出了面面垂直的两个性质定理我们看一下定理的证明看书的同时，指出书上所用的证明方法是同一法，有唯一性定理做保证定理内容是：经过空间一点有

8、且只有一条直线与一个平面垂直师：上面我们研究了面面垂直的两个性质定理定理1是判定线面垂直的有效方法，性质2是判定直线在平面内的一种方法从应用上看，定理1更广泛一些例  垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面已知：，=a，求证：a师：本题条件是面面垂直，结论是线面垂直选择适当的判定线面垂直的方法，给出证明证法一：设=b，=c，在内任取一点P，作PMb于M，PNC于N因为  ，所以  PM，PN因为  =a，所以  PMa，PNa，所以  a证法二：任取Pa，过点P作b因为  ，所以  b ，因为  ，因

9、此  b ，故  =b由已知  =a，所以  a与b重合，所以  a证法三：设于b，于C在内作bb，所以  b同理在内作CC，有C，所以  bc，又b ，c ，所以  b又  b ，=a，所以  ba，故  a师：这道题的三种证法，从三个不同角度入手，解决了线面垂直的问题，证法一利用线线垂直得面面垂直的判定定理证法二通过面面垂直的性质利用同一法证法三则利用线线平行解决线面垂直问题师：好，我们用两节课的时间完成了面面垂直的判定和性质定理的推导和证明到此，有关垂直的内容可以做一小结我们知道，立体几何中，主要依靠线面关系的不断转化解决问题由线线垂直到线面垂直，再到面面垂直；也可由面面垂直到线面垂直，再到线线垂直以线面垂直为核心，结合线与面之间垂直和平行的关系，可以得到有关垂直的结构图（与同学一起小结）师：结合已知，灵活的应用这些定理，就可以寻找到解题思路，从而顺利的解决有关垂直的位置关系的问题思考题1如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，（正三棱柱指底面为正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱）EBB1，且BE=EB1求证：截面A1EC侧面AC12影响异面直线上两点间距离的因素有哪些，如何求出异面直线上两点间距离课堂教学设计说明本节课的重点内容是面面垂直的两个性质定理定