全国高中数学联赛模拟试题(六)

1、全國高中數學聯賽模擬試題（六）（命題人：秦永 苟春鵬）第一試一、 選擇題：（每小題6分，共36分）1、 在複平面上，非零複數z1、z2在以i對應的點為圓心，1為半徑的圓上，的實部為零，argz1=，則z2=（A）（B）（C）（D）2、 已知函數在1,2上恒正，則實數a值的範圍為（A）（B）（C）（D）3、 已知雙曲線過點M(-2,4)，N(4,4)，它的一個焦點為F1(1,0)，則另一個焦點F2的軌跡方程是（A）（y0）或x=1（y0）（B）（x0）或x=1（y0）（C）（y0）或y=1（x0）（D）（x0）或y=1（x0）4、 已知正實數a、b滿足a+b=1，則的整數部分是（A）1（B）2（

2、C）3（D）45、 一條筆直的大街寬是40米，一條人行道穿過這條大街，並與大街成某一角度，人行道的寬度是15米，長度是50米，則人行道間的距離是（A）9米（B）10米（C）12米（D）15米6、 一條鐵路原有m個車站，為適應客運需要新增加n個車站（n1），則客運車票增加了58種（注：從甲站到乙站需要兩種不同的車票），那麼原有車站的個數是（A）12（B）13（C）14（D）15二、 填空題：（每小題6分，共36分）1、 長方形ABCD的長AB是寬BC的倍，把它折成無底的正三棱柱，使AD與BC重合折痕線EF、GH分別交原對角線AC於M、N，則折後截面AMN與底面AFH所成的角是 2、 在ABC中，

3、a、b、c是角A、B、C的對邊，且滿足a2+b2=2c2，則角C的最大值是 3、 從盛滿a公升（a1）純酒精的容器裏倒出1公升，然後填滿水，再倒出1公升混合溶液後又用水填滿，如此繼續下去則第n次操作後溶液的濃度是 4、 已知函數f(x)與g(x)的定義域均為非負實數集，對任意x0，規定f(x)*g(x)=minf(x),g(x)若f(x)=3-x，g(x)=，則f(x)*g(x)的最大值為 5、 從1到100的自然數中，每次取出不同的兩個數，使它們的和大於100，則可有 不同的取法6、 若實數a > 0，則滿足a5-a3+a=2的a值屬於區間：；其中正確的是 三、 （20分）求證：經過正

4、方體中心的任一截面的面積不小於正方體的一個側面的面積四、 （20分）直線Ax+Bx+C=0（A·B·C0）與橢圓b2x2+a2y2=a2b2相交於P、Q兩點，O為坐標原點，且OPOQ求證：五、 （20分）某新建商場建有百貨部、服裝部和家電部三個經營部，共有190名售貨員，計畫全商場日營業額（指每日賣出商品的總金額）為60萬元，根據經驗，各部商品每1萬元營業額所需售貨員人數如表1，每1萬元營業額所得利潤如表2商場將計畫日營業額分配給三個經營部，同時適當安排各部的營業員人數，若商場預計每日的總利潤為c（萬元）且滿足19 c 19.7，又已知商場分配給經營部的日營業額均為正整數萬

5、元，問這個商場怎樣分配日營業額給三個部？各部分別安排多少名售貨員？表1 各部每1萬元營業額所需人數表部門百貨部服裝部家電部人數542表2 各部每1萬元營業額所得利潤表部門百貨部服裝部家電部利潤0.3萬元0.5萬元0.2萬元第二試一、 （50分）矩形ABCD的邊AD=l·AB，以AB為直徑在矩形之外作半圓，在半圓上任取不同於A、B的一點P，連PC、PD交AB於E、F，若AE2+BF2=AB2，試求正實數l的值二、 （50分）若aiR+（i=1,2,n），且2nN求證：三、 （50分）無窮數列cn可由如下法則定義：cn+1=|1-|1-2cn|，而0c11（1）證明：僅當c1是有理數時，數列自某一項開始成為週期數列（2）存在多少個不同的c1值，使得數列自某項之後以T為週期（對於每個T=2,3,）？參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案ACABCC二、填空題：1、；2、；3、；4、；5、2500；6、三、證