矢量分析与场论讲义ppt课件

1、.1 场的概念场的概念（Field）.一一、场的概念场的概念 场是用空间位置函数来表征的。场是用空间位置函数来表征的。若对全空间或其中若对全空间或其中某一区域某一区域 V 中每一点中每一点 M, 都有一都有一 个个数量数量 (或或矢量矢量) 与与之对应之对应, 则称在则称在 V 上确定了一个上确定了一个 数量场数量场 (或或矢量场矢量场). 场都是矢量场。场都是矢量场。 例如例如: 温度场和密度场都是数量场温度场和密度场都是数量场, 重力场和速度重力场和速度若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，就称为就称为稳定场稳定场，否则，称为，否则，称为不稳定

2、场不稳定场。 .注注 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质进行计算和研究它的性质. 2.2.场的性质是它本身的属性场的性质是它本身的属性, , 和坐标系的引进无关和坐标系的引进无关. . 场的特点：场的特点：分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器 进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况；进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况；具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。.3、描述方法、描述方法 函数表示法：借助一定坐标系下的函数来

3、表示场的分函数表示法：借助一定坐标系下的函数来表示场的分布。对矢量场，用布。对矢量场，用 ；数量场常用；数量场常用 表述。表述。A x y z( , , ) u x y z( , , )几何表示法，也叫图示法：用能反映场性质和分布的一几何表示法，也叫图示法：用能反映场性质和分布的一族曲线或曲面表示场的分布特征，分别称为矢量线（像族曲线或曲面表示场的分布特征，分别称为矢量线（像电力线、磁力线）；等值面（像等温面，等位面）。电力线、磁力线）；等值面（像等温面，等位面）。.二、数量场、矢量场的描述方法二、数量场、矢量场的描述方法 以下讨论中总是设它对每以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数。

4、个变量都有一阶连续偏导数。因此给定了某个数量场就等于给定了一个数性函数因此给定了某个数量场就等于给定了一个数性函数 ( , , ),uu x y z 在引进了直角坐标系后在引进了直角坐标系后, 点点 M 的的位置可由坐标确定。位置可由坐标确定。同理同理,每个矢量场都与某个矢性函数每个矢量场都与某个矢性函数 ( , , )( , , ) i( , , ) j( , , ) kxyzA x y zAx y zAx y zA x y z 并假定它们有一阶连续偏导数。并假定它们有一阶连续偏导数。 相对应相对应. 这里这里 为所定义区域上的数性函数为所定义区域上的数性函数, ,xyzAAA.数量场的等值

5、面（数量场的等值面（线线）：）： 是由场中使是由场中使u u取相同数值的点所组成的曲面。取相同数值的点所组成的曲面。 （c c值不同对应不同等值面）值不同对应不同等值面）( , , )()u x y zc c 为为常常数数 等值等值面面3c 1c 2c 其方程为其方程为(,)u x yc 等值线等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快在某一高度上沿什么方向高度变化最快？直观表示数量直观表示数量u u在场中的分布。在场中的分布。.以温度场为例：以温度场为例：热源热源等温面等温面等值面举例等值面举例可以看出：可以看出：数量场的函数是单值函数，各等值面数量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。是

6、互不相交的。. 矢量场的矢量线：矢量场的矢量线： 矢量线上每一点处曲线与对应于该点的矢量相切。矢量线上每一点处曲线与对应于该点的矢量相切。 直观描述矢量在场中的分布情况。直观描述矢量在场中的分布情况。2. 矢量线连续分矢量线连续分布，一般互不相交。布，一般互不相交。图图2 矢量线矢量线ArMxyzol观察：观察：1.1.在曲线上的每一点在曲线上的每一点M处，处， 场的场的矢量矢量都位于该点处的都位于该点处的切切线线上（如图所示），称其为上（如图所示），称其为矢量线矢量线。例：静电场电力线。例：静电场电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等。、磁场的磁力线、流速场中的流线等。.MA ( r )dr

7、rO 矢量线的微分方程矢量线的微分方程： M点位置点位置矢量线矢量线l 微分微分 ijkxyzAAAA rijkxyz lrijkdddxdydz 场矢量场矢量l.矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的 成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程dzdydx,xyzdxdydzAAA 在场矢量在场矢量 不为零的条件下，由线性微分方程组的理不为零的条件下，由线性微分方程组的理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场中每论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两一点

8、有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两条矢量线没有公共点。条矢量线没有公共点。A 例例2 2 求矢量场求矢量场M(2, 1,1) 通通过过点点Axziyz jxyk22() 的的矢量线方程。矢量线方程。. 【例1】 设点电荷设点电荷q q位于坐标原点，它在空间一点位于坐标原点，它在空间一点M( (x,y,z) )处所产生的电场强度矢量为处所产生的电场强度矢量为 式中，式中，q、均为常数，均为常数， r=xi+yj+zk为为M点的位置点的位置矢量。求矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图的矢量线方程并画出矢量线图。qErr34 整理求解作图整理求解作图矢量的直角矢量的直角坐标系方程坐标系方程

9、矢量线的矢量线的微分方程微分方程解题过程：解题过程：.zyxyC x1 图图 点电荷的电场矢量线点电荷的电场矢量线 (P27)(P27)zC y2 .2 2、方向导数、方向导数 方向导数是数性函数方向导数是数性函数 在一点处沿任意方向在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关，的方向有关，一般来说，在不同的方向上一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示它并不是矢量。如图所示， 为场中的任意方向为场中的任意方向，M0是这个方向线上给定的一点是这个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近为同一线上邻近的一点。的一

10、点。lu M()lMul0 lM0Mll . 为为M0 0和和M之间的距离之间的距离，从从M0 0沿沿 到到M的增量为的增量为若下列极限若下列极限存在，则该极限值记作存在，则该极限值记作 ，称之为数量场称之为数量场 在在M0 0处沿处沿 的方向导数。的方向导数。luu Mu M0()() llu Mu Mull000()()limlim l u M()Mul0 l uuuulxyzcoscoscos l(cos,cos,cos ) .例题例例1 1 求函数求函数M(1,0,1)在在点点处处沿沿uxyz222 方向的方向的方向导数。方向导数。lijk22 例例3 3 设设M x y z( , ,

11、 ) 为为点点处处的的矢矢径径r r的的模模，rxyz222 试试证证：rgradrrr 例例4 4 求数量场求数量场M(2, 1,1) 在在点点处处的的梯梯度度uxyyz23 方向的方向的方向导数。方向导数。lijk22及及在在矢矢量量.3 3、梯度、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场沿某一确定方向取得沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数，在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。则可引进梯度概念。u M()在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过一点在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过一点 梯度：梯度：（场在某点的梯度为一矢量）它的

12、大小等（场在某点的梯度为一矢量）它的大小等于所有方向导数的最大值，它的方向为取得最大值于所有方向导数的最大值，它的方向为取得最大值的方向。的方向。uuugraduijkuxyz 梯度梯度(Gradient).cos( , )uG lGG ll Gijkuuugraduxyz 梯度、方向导数与梯度、方向导数与等值面等值面ul Guc1 cc21 nl当当 , ,即即 与与 (, )0G l lGcosicosj cos kl ul 方向一致时方向一致时, , 为最大。为最大。u0,llu0,ll 沿沿 增增加加沿沿 降降低低ugradu lgradugradu llcos(, ) .方向导数与梯

13、度的关系：方向导数与梯度的关系： 是等值面是等值面 上上p p1 1点法线方向单位矢量。它指点法线方向单位矢量。它指向向 增长的方向增长的方向。 表示过表示过p p2 2 点的任一方向。点的任一方向。 易见，易见，nl uc1 up p , p p, p pp p .cos1210101200 当当时时p1p0p2nl等值面等值面 等值面等值面uc1 uc2 .所以所以即即p pPp ppu( p )u( p )ulimlp pu( p )u( p )coslimp pucosn1211012101201010 uucosln p1p0p2nl等值面等值面 等值面等值面uc1 uc2 .该式表

14、明：该式表明：即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。影。 梯度的概念重要性在于，它用来表征数量场梯度的概念重要性在于，它用来表征数量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。4、 算符（哈密顿算符）算符（哈密顿算符） 算符既具有微分性质又具有方向性质算符既具有微分性质又具有方向性质。在任在任意方向意方向 上移动线元距离上移动线元距离dl， 的增量的增量 称为方向微称为方向微uuucosn lgradu llnn u( M )ludu.分，即分，即显然，任意两点显然，任意两点 值差为值差为ududlu dll

15、 BBAAuuu dl . 总结：数量场梯度的性质总结：数量场梯度的性质（1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。该方向的投影。（2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面的法向有两个）的法向有两个）（3）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数量场也随之确定，最多相差一个任意常数量场也随之确定，最多相差一个任意常数. 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等

16、值面（或切平面）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。例例1 1 三维高度场的梯度三维高度场的梯度图 三维高度场的梯度例例2 2 电位场的梯度电位场的梯度图 电位场的梯度 梯度、方向导数与梯度、方向导数与等值面等值面ul Guc1 cc21 nl.高度场的梯度 与过该点的等位线垂直；与过该点的等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数；数值等于该点的最大方向导数；补充：补充： 梯度的物理意义梯度的物理意义 数量场的梯度是一个矢量数量场的梯度是一个矢量, ,是空间坐标点的函数是空间坐标点的函数; ; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向梯

17、度的方向为该点最大方向导数的方向, ,即与等值线（面）相垂直的方向，它即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向指向函数的增加方向. . 梯度的大小为该点数量函数梯度的大小为该点数量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数的最大变化率，即该点最大方向导数; ;u例1 三维高度场的梯度 与过该点的等高线垂直；与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最大变化率；数值等于该点位移的最大变化率； 指向地势升高的方向。指向地势升高的方向。图 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度电位场的梯度 指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。图 电位场的梯度.3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 .1、通

18、量、通量 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场场 方向通过方向通过 的流量是的流量是dQ，而，而dQ是以是以ds为底，以为底，以v cos为高的斜柱体的体积，即为高的斜柱体的体积，即称为矢量称为矢量 通过面元通过面元 的通量。的通量。 对于有向曲面对于有向曲面s，总可以，总可以将将s分成许多足够小的面元分成许多足够小的面元 ，于是于是v ds dQv cosdsv ds dsvnds ds v .通过曲面通过曲面s的通量的通量f f即为每一面元通量之和即为每一面元通量之和对于闭合曲面对于闭合曲面s，通量，通量f f为为sv dsf f sv dsf

19、 f 向量场向量场 沿选定方向的曲面沿选定方向的曲面S的面积分的面积分A定义定义()SSA dSPdydzQdzdxRdxdy 定定侧侧称为称为 向曲面指定一侧穿过曲面向曲面指定一侧穿过曲面S的的通量通量。A.例题例例1 1 设由矢径设由矢径构构成成的的矢矢量量场场中中，rxiyjzk 圆锥面圆锥面xyzzH H222(0) 及及平平面面曲面曲面S。rSS 试试求求矢矢量量场场 从从 内内穿穿出出 的的通通量量。P55 3. 求矢量场求矢量场Axyziyxzjzxyk323 （） （） （+ +）所围成的封闭所围成的封闭的的散散度度。有一由有一由. 如果曲面如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由

20、闭合是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是： n000SA dS A.（）0 0 0 （）（）表示有净的矢量表示有净的矢量线流入，闭合面线流入，闭合面内有吸收矢量线内有吸收矢量线的的负源负源；表示有净的矢量表示有净的矢量线流出线流出，闭合面闭合面内有产生矢量线内有产生矢量线的的正源正源；表示流入和流出表示流入和流出闭合曲面的矢量闭合曲面的矢量线相等或没有矢线相等或没有矢量线流入、流出量线流入、流出闭合曲面闭合曲面.闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的

21、源的关系合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系 若若S S 为闭合曲面，可根据净通量为闭合曲面，可根据净通量 的的大小判断闭合面中源的性质大小判断闭合面中源的性质: :dSASf f 0 ( (有正源有正源) ) 0 ( (有负源有负源) ) = 0 ( (无源无源) ).sA dsV V 2、散度、散度 设封闭曲面设封闭曲面s所包围的体积为所包围的体积为 ，则，则 就是矢量场就是矢量场 在在 中单位体积的平均通量，或者中单位体积的平均通量，或者 平均发散量。当闭合曲面平均发散量。当闭合曲面s及其所包围的体积及其所包围的体积 向向 其内某点其内某点 收缩时，若平均发散量的极限值存在，收缩时，

22、若平均发散量的极限值存在， 便记作便记作()A M MV V 0divlimsVA dsAV 称为矢量场称为矢量场 在该点的在该点的散度散度( (div是是divergence的缩写的缩写) )。()A M . 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当散的强弱程度，当div ，表示该点有散发通量表示该点有散发通量0A 的正源；当的正源；当div ，表示该点有吸收通量的负源；，表示该点有吸收通量的负源；当当div ，表示该点为无源场。，表示该点为无源场。0A 0A kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 则则(

23、, , )A x y z 设设矢矢量量场场的散度为的散度为定理定理 zRyQxPAdiv A 重重点点散度散度(Divergence)的表达式的表达式. 直接从散度的定义出发，不难得到矢量场直接从散度的定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲 面所包含体积中矢量场散度的积分。面所包含体积中矢量场散度的积分。 上式称为上式称为矢量场的矢量场的Gauss定理定理。 ssVA ddivAdV 积分的积分的Gauss定理定理注：它能把一个闭合曲面的面积分转为对注：它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。该曲面所包围体

24、积的体积分，反之亦然。.推论推论2 2 若处处散度为若处处散度为0 0，则通量为，则通量为0.0.推论推论3 3 若某些点（或区域）上有散度不为若某些点（或区域）上有散度不为0 0或不存或不存 在，而在其他点上都有散度为在，而在其他点上都有散度为0 0，则穿出包围这些点，则穿出包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，为一常（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，为一常数。数。电学上的高斯定理：电学上的高斯定理： 穿出任一封闭曲面穿出任一封闭曲面S S的电通量，的电通量，等于其内各点电荷的代数和。等于其内各点电荷的代数和。 高斯定理高斯定理sVA dsAdV .4 矢量场的环量及旋度矢量场

25、的环量及旋度(Rotation).1. 1. 矢量场的环量矢量场的环量定义：定义：线矢量线矢量l: 矢量场矢量场A中的中的 一条一条封闭封闭的有向曲线的有向曲线 环量环量：（图：（图2 2）性质：性质： 是标量是标量 0，l 内有旋涡源内有旋涡源 =0，l 内无旋涡源内无旋涡源cosllA dlAdl 图2 矢量场的环量矢量场的环量(P56(P56) zxyOldlAP.定义定义线积分线积分向量场向量场 沿空间有向闭曲线沿空间有向闭曲线 l 的的AllA dlPdxQdyRdz 称为称为 沿闭曲线沿闭曲线l的环量的环量。A环量的表达式环量的表达式nPlS 图图3 闭合曲线方向与面元的闭合曲线方

26、向与面元的 方向示意图方向示意图 (P59)(P59)定义定义：若：若 存在，则存在，则 称此极限为矢量场称此极限为矢量场 A沿沿l之正向的环量之正向的环量 在点在点P处沿处沿n方向的方向的 环量面密度。环量面密度。SPlimS .性质：性质：l围成的面元法矢量围成的面元法矢量 旋涡面的方向旋涡面的方向矢量矢量R在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密度度方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密度的值度的值 旋度的定义旋度的定义定义：固定矢量定义：固定矢量R为矢量为矢量A的旋度，记作的旋度，记作 ：

27、rot A=R重合，最大重合，最大夹角，中间值夹角，中间值垂直，垂直， 0 0R旋度矢量旋度矢量.PlnrotA旋 涡 面图图4 旋度及其投影旋度及其投影 旋度矢量旋度矢量R在在n方向的投影方向的投影:lnSPA dllimrot AS .涡量（或环量面密度）0limlSA dlS PnAa称为矢量场 在某点 绕 方向的涡量.旋度 xyzxyzrotAAxyzAAA ()nrotA a .定义定义 向量场向量场的旋度定义为的旋度定义为A( x,y,z) AArot RQPzyxkji 旋度旋度( (Rotation or Curl) )kyPxQjxRzPizQyR)()()( 简单地说简单地

28、说, ,旋度旋度是个矢量，它的物理意义是个矢量，它的物理意义是场在该矢量方向上旋转性的强弱。是场在该矢量方向上旋转性的强弱。6.l利用环量与旋度利用环量与旋度( (它可以从整体上描述场旋它可以从整体上描述场旋ldlA转的强度转的强度) )，我们可以用向量的形式重写，我们可以用向量的形式重写Stokes公式公式。 SdSA SdSArot8.小结小结1、散度散度（流出的量）（流出的量） 发散源发散源 通量即该矢量通量即该矢量(的垂直平面分量的垂直平面分量)穿过平面的大小穿过平面的大小 一般点的散度为一般点的散度为0 ，散度不为，散度不为0的点表示该点有提供源的点表示该点有提供源 (source)

29、 散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从Gauss公式公式理解理解 散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）源场（有正源或负源）矢量场矢量场.2、旋度（旋度（没有流出的量）没有流出的量） 旋涡源旋涡源 旋度即该矢量旋度即该矢量( (的平行平面分量的平行平面分量) )沿平面的大小密度沿平面的大小密度( (即大即大小小/ /面积面积) ) 旋度不为旋度不为0 0表示有量在该平面表示有量在该平面“逗留逗留” 旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可

30、以从StokesStokes公公式里理解式里理解 旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场旋场 .一、无旋场一、无旋场0VAAAV 定定义义：若若在在区区域域 内内，矢矢量量场场 的的旋旋度度处处处处为为零零（即即），则则称称 为为 内内的的无无旋旋场场。0lA dlAV 沿沿任任意意闭闭合合回回路路的的环环量量为为零零（即即 ）则则称称 为为 内内的的保保守守场场。AAuAV 若若 可可表表示示为为 ，则则称称 为为 内内的的有有势势场场。几种重要的矢量场几种重要的矢量场.12V（ ）若若 为为线线单单连连通通（区区域域），有有势势

31、场场无无旋旋场场（ ）有有势势场场保保守守场场VllVS线线单单连连通通：对对 内内任任何何一一条条简简单单闭闭合合曲曲线线 ，都都可可以以作作出出一一个个以以 为为边边界界，且且全全部部位位于于区区域域 内内的的曲曲面面 ，即即任任一一闭闭路路都都可可以以收收缩缩为为一一点点。无旋场无旋场有势场有势场保守场保守场0lA dl .空心球体空心球体环面体环面体.二、无源场二、无源场0VAAAV 定定义义：若若在在区区域域 内内，矢矢量量场场 的的散散度度处处处处为为零零（即即），则则称称 为为 内内的的无无源源场场或或管管形形场场。矢量管：矢量线构成的管形曲线（矢量线与曲面重合）矢量管：矢量线构

32、成的管形曲线（矢量线与曲面重合）1S2S3S.,VAABA 定定理理2 2 若若 为为面面单单连连域域 若若矢矢量量场场 可可表表示示为为 为为管管形形场场:VSVV面面单单连连通通内内任任一一简简单单闭闭合合曲曲面面 所所包包围围的的全全部部点点都都在在 内内, ,即即 内内没没有有 洞洞.矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理 空间区域空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即即

33、：isAAA:0,0,iiisssAAAAAA其其中中满满足足代代表表单单独独由由发发散散源源确确定定的的场场满满足足代代表表单单独独由由漩漩涡涡源源确确定定的的场场.三、管形场与有势场三、管形场与有势场 式知道式知道, 此时沿任何封闭此时沿任何封闭曲面的曲面积分都等于零曲面的曲面积分都等于零. 中作一矢量管中作一矢量管 (图图2), 即由矢量线围成的管状的即由矢量线围成的管状的 若一个矢量场若一个矢量场 的散度恒的散度恒 A为零为零, 即即 我们曾我们曾 div0,A 称称 为无源场为无源场. 从高斯公从高斯公 A我们又把我们又把 称作称作管形场管形场. 这是因为这是因为, 若在矢量场若在矢

34、量场 AA3S2S2图图1SA12,SS3S曲面曲面. 用断面用断面 去截它去截它, 以以 表示所截出的管表示所截出的管 .的表面的表面, 这就得到了由这就得到了由123,SSS所围成的封闭曲面所围成的封闭曲面 S. 于是由于是由(1)式得出式得出123dddd0.SSSSASASASAS 外外侧侧外外侧侧外外侧侧而矢量线与曲面而矢量线与曲面3S的法线正交的法线正交, 所以所以3d0,SAS 外侧外侧12dd0,SSASAS 外外侧侧外外侧侧.这等式说明了流体通过矢量管的任意断面的流量是这等式说明了流体通过矢量管的任意断面的流量是 间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于间单连通区域内沿任

35、何封闭曲线的曲线积分都等于 12dd . SSASAS内内侧侧外外侧侧相同的相同的, 所以把场所以把场 称为称为管形场管形场. A若一个矢量场若一个矢量场 的旋度恒为零的旋度恒为零, 即即 我们在我们在 Arot0,A 前面称前面称 为无旋场为无旋场. 从斯托克斯公式知道从斯托克斯公式知道, 这时在空这时在空 A零零, 这种场也称为这种场也称为有势场有势场. 这是因为当这是因为当 rot0A 时时, .由定理由定理1推得空间曲线积分与路线无关推得空间曲线积分与路线无关, 且存在且存在某函数某函数( , , )u x y z, 使得使得dddd ,uP xQ yR z即即 grad( ,).uP

36、 Q R则必存在某个势函数则必存在某个势函数 v, 使得使得-grad.vA这也是一这也是一 个矢量场是某个数量场的梯度场的充要条件个矢量场是某个数量场的梯度场的充要条件. 通常称通常称v= -u 为为势函数势函数. 因此若某矢量场因此若某矢量场 的旋度为零的旋度为零, A.若一个矢量场既是管量场若一个矢量场既是管量场, 又是有势场又是有势场, 则称这个矢则称这个矢 量场为量场为调和场调和场. 若若 是一个调和场是一个调和场, 则必有则必有 A20,uuu 即必有即必有u 满足满足 2222220.uuuxyz这时称函数这时称函数 u 为为调和函数调和函数.也有也有v= -u 为调和函数。为调

37、和函数。 0,.AuA 且且显然显然.(1)若线积分若线积分 的值在的值在G内与路径无关，内与路径无关，dsAAB )()(其中其中A, B 为为G 内任意两点；内任意两点；则称则称 为为保守场保守场, ,A(2)若在若在G内恒有内恒有 , ,则称则称 为为OAArot A无旋场无旋场; ;有势场有势场，并称，并称 为为 的势函数的势函数. .uA定义定义6 6设向量场设向量场31),(),(RGGCzyxA (3)若存在若存在G上的函数上的函数 ，使，使 , ,则称则称 为为uuA A12.定理定理4),()(1GCMA 设设G 是单连域，是单连域，3R 则以下四个命题则以下四个命题等价等价

38、： 是无旋场，即是无旋场，即;OAArot A 沿沿G内任意简单闭曲线内任意简单闭曲线 C 的环量的环量 ccRdzQdyPdxdsA0与路径无关；与路径无关； 是一保守场，即在是一保守场，即在G内线积分内线积分A )()(BAdsA13.RdzQdyPdxdu 使使 是一有势场，即在是一有势场，即在G内存在内存在 ，Au作证明作证明.它可以看作是它可以看作是 Green 公式的推论公式的推论.4 以下我们只对定理以下我们只对定理4的的2D空间的情况空间的情况定理定理4 定理定理设区域设区域),(,12 CjQiPAR 则以下四个命题等价：则以下四个命题等价： 在在 内内,处处成立处处成立 ;

39、yPxQ 14. 定理定理4( (及定理及定理 ) )的重要性在于：的重要性在于：4 给出场论中的一个具有实际意义及数学意给出场论中的一个具有实际意义及数学意 义的重要结论，即：义的重要结论，即：无旋场无旋场有势场有势场保守场保守场0 dsAC 给出了数学上判定保守场的多种方法；给出了数学上判定保守场的多种方法； 特别还给出了求特别还给出了求势函数势函数的方法：相当于的方法：相当于求某些二元函数的原函数的方法，同时求某些二元函数的原函数的方法，同时为解为解全微分方程全微分方程提供了一种有效的方法。提供了一种有效的方法。.例例1验证矢量场验证矢量场22222(cos )2Axyz ix zy j

40、x yzk 是有势场，并求其势函数是有势场，并求其势函数.解解因因xxyxyxyx )33(6)63(222,632xyxP 2233xyQ 所以，所以， 为有势场。为有势场。A 以下介绍两种求以下介绍两种求势函数势函数方法。方法。在积分与路径无关条件下，选择在积分与路径无关条件下，选择特殊路径，用线积分求势函数法特殊路径，用线积分求势函数法.方法方法1 1.例例4验证向量场验证向量场jxyixyxA)33()63(222 是有势场，并求其势函数是有势场，并求其势函数.解解因因xxyxyxyx )33(6)63(222,632xyxP 2233xyQ 所以，所以， 为有势场为有势场。A 以下介

41、绍两种求以下介绍两种求势函数势函数方法方法。在积分与路径无关条件下，选择在积分与路径无关条件下，选择特殊路径，用线积分求势函数法特殊路径，用线积分求势函数法.方法方法1 1.dyxydxxyxyx)33()63(22),()0 , 0(2 此例选积分路径由此例选积分路径由, ),()0 ,()0 , 0(0yxMxMO ),()0,0(),(yxQdyPdxyxuyxo)0,(0 xM),(yxM xOMdxx0023沿沿yxyx2333 yMMdyxy0022)33(沿沿即：即：yxyxyxu2333),( 是是 的一个原函数的一个原函数 ( 力函数力函数 )。QdyPdx 0, 0 ydy

42、xxdx , 0.势函数一般表达式为：势函数一般表达式为：332( , )(3).v x yxyx yC 用用偏积分偏积分求势函数求势函数.要求函数要求函数, ),(yxu,QdyPdxdu 使使即即dyxydxxyxdu)33()63(222 xyxxu632 )(a)(b2233xyyu 亦即亦即先对先对 式，视式，视 为定数，两边对为定数，两边对 积分：积分：)(ayx)(323yyxxu )(c方法方法2.这个积分这个积分“常数常数”当然可能是当然可能是 y 的函数，的函数，故记作故记作,)(y 将将(c)式两端对式两端对 y求导求导, 并与并与(b)式比较，得：式比较，得：22233

43、)(3xyyxyu ,3)(2yy 3231323( , )3.( , )(3).u x yxx yyCv x yxx yyC 代入代入 (c) 式式Cyy 3)( .()slA dSA dl0lsA n sA dl .方向相反方向相反大小相等大小相等结果抵消结果抵消. 0-3 矢量场的旋度矢量场的旋度 斯托克斯定理斯托克斯定理Rotation of Vector Field, Stokes Theorem.1、矢量场、矢量场 的环流的环流 在数学上，将矢量场 沿一条有向闭合曲线L（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分称为 沿该曲线L的循环量或流量。2 2、旋度旋度 设想将闭合曲线缩小到其内某

44、一点附近，那么)(xALl dAcA.以闭合曲线L为界的面积 逐渐缩小， 也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向 ，且通常L的正方向与 规定要构成右手螺旋法则，为此定义nSLl dAsl dALs0limnnsl dAAALslimrot0.称为矢量场 的旋度（rot是rotation缩写）。 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot称为无旋场。3、斯托克斯定理（、斯托克斯定理（Stokes Theorem）它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该

45、闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。)(xA0AsLsdAl dA)(.0-4 0-4 正交曲线坐标系中正交曲线坐标系中 运算运算的表达式的表达式Expression of Operation onOrthogonal Curvilinear Co-Ordinates System.1、度量系数、度量系数 设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为其中2323222221212222dxhdxhdxhdzdydxdl)3 , 2 , 1( )()()(222ixzxyxxhiiii.称度量系数度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉

46、梅系数h1, h2, h3来描述。2、哈密顿算符、哈密顿算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符符 在正交曲线坐标系下的一般表达式在正交曲线坐标系下的一般表达式2)()()(1111111312321321321321333222111333222111AhhxAhhxAhhxhhhAxhexhexhexhexhexhe. )()()()()()(1112221213331113312223332321332211221332211321AhxAhxhheAhxAhxhheAhxAhxhheAhAhAhxxxehehehhhhA.其中 为正交曲线坐标系的基矢； 是一

47、个标量函数； 是一个矢量函数，只有在笛卡儿坐标系中， ，在其它正交坐标系中)()()(13321322132113213212xhhhxxhhhxxhhhxhhh321,eee),(321xxx332211321),(eAeAeAxxxAA1122)(eAAiiAA22)(332222)()(eAeA.3、不同坐标系中的微分表达式、不同坐标系中的微分表达式 a) 笛卡儿坐标 x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1xyzZ为常数平面y为常数平面x为常数平面(x,y,z)pyezexezeyexezyx. zzyyxxzyxzyxzyxzyxeAeAeAAzyxAAAzyx

48、eeeAzAyAxAAzeyexe)()()(22222222222. b) 圆柱坐标系坐标变量: x1= r x2= x3= z与笛卡儿坐标的关系： x=rcos y=rsin z= z拉梅系数: h1=1 h2=r h3=1zxyz为常数平面r为常数平面为常数平面fezererzererezrff. fffffffffferAzAezAArArAAzrereerAzAArrArrAzueurerueuzrrzzrzrzrzr)()1(111)(11.将 应用于圆柱坐标可得：zzrrzreAeAeAAzuurrurrrueArrArr)()()(1)(11)(12222222222fffff

49、)()(2AAAffffffrrrrArrAAAArrAAA222222222)(2)(. c) 球坐标系zzAA22)(zry(r,)erefex为常数平面r为常数平面为常数平面.坐标变量：与笛卡儿坐标的关系：拉梅系数：f321 , , xxrxffcos , sinsin , cossinrzryrxsin , , 1321rhrhhffffffArArArrrAureurerueurerererrrsin1)(sinsin1)(1sin11sin1122. ffffffffeArArrerArAreAArArrAArrerereArrrrr )(1)(sin11)(sinsin1sin1

50、sin1sin12.其中fffeAeAeAAururrurrrurr)()()(sin1)(sinsin1)(1222222222222ffAAArAArrrsin1)(sinsin12)(222. )sin2ctg(sin2)()sincossin2(2)(22222222fffffffAAArAAAAArAArr.0-5 0-5 二阶微分算符二阶微分算符 格林定理格林定理Second-order Differentiation Operator, Greens Theorem.1、一阶微分运算、一阶微分运算 将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即 这些都叫一阶微分

51、运算。举例： a)设 为源点 与场 之间的距离，r 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r 的梯度。AA , , 222)()()(zzyyxxrxx. 第一步：源点固定，r 是场点的函数，对场点求梯度用 r表示，则有而场点（观察点）场源点坐标原点oxxrzreyrexrerzyxrxxxxzzyyxxxr)()(2)()()(2121222.同理可得：故得到： )( , )(rzzzrryyyrrrrzzeyyexxerrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyxzyx)()()(1)()()(.第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度用 表示。而同理可得：rzr

52、eyrexrerzyxrxxxxzzyyxxxr)() 1()(2)()()(2121222rzzzrryyyr)( , )(.所以得到： b) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明rrrrrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyx)()()(ududfuf)(.证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有证毕 )()()()()()()()()()(uduudfzueyuexueduudfzuduudfeyuduudfexuduudfezufeyufexufeufzyxzyxzyx. c) 设求解：而同理可得xxzzeyyexxerzyx)()()(rr和zryrx

53、rrererezeyexerzyxzzyyxxzyx)()(1)(xxxxrx故有 . 1zryrzy.那么这里同理可得故有 . 3111zryrxrrzyx zryrxrrzyx1)(xxxxrx . 1zryrzy . 3111zryrxrrzyx.由此可见： d) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：rrduAduuA)(. )()()()()()()()()(证毕duuAduuduuAdzuduudAyuduudAxuduudAzuAyuAxuAuAzyxzyx. e) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：duuAduuA)()(xuduudAzuduudAezuduudAyuduudAeyuAxuAexuAzuAezuAyuAeuAzxyyzxxyzzxyyzx)()()()()()()()()()()(.2、二阶微分运算、二阶微分运算 将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设 为标量场， 为矢量场。 . )()()()()()(证毕duuAduduudAduudAduudAzuyuxueeeyuduudAxuduudAezyxzyxxyz)(x, )(xg)(xf.并假设 的分量具有所需要的阶的连续微商，则不难得到： （1）标量场的梯度必为无旋场 （2）矢量场的旋度必为无散场 （3