考点24数列求和及综合应用

1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点24 数列求和及综合应用一、选择题1.（2011·江西高考理科·5） 已知数列 的前项和满足：+=，且=1，那么=( )A.1 B.9 C.10 D.55【思路点拨】【精讲精析】选A.2.（2011·安徽高考文科·7）若数列的通项公式是n=(-1)n(3-2),则 （A）15 (B)12 （C）12 (D) 15【思路点拨】观察数列的性质，得到【精讲精析】选A. 故二、填空题3.（2011·江苏高

2、考·13）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_【思路点拨】本题考查的是等差数列与等比数列的综合问题，解题的关键是找出等差数列与等比数列的结合点，从而找到q满足的关系式，求得其最小值。【精讲精析】答案：由题意：，而的最小值分别为1，2，3；。4.（2011·浙江高考文科·17）若数列中的最大项是第项，则=_.【思路点拨】可由不等式组解得.【精讲精析】答案：4设最大项为第项，则由不等式组得,即,解得,故.三、解答题5.（2011·安徽高考理科·18）在数1和100之间插入个实数，使得这+2个数构成递增的等比数列，将这

3、+2个数的乘积记作，再令，（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.【思路点拨】本题将数列问题和三角问题结合在一起，解决此题需利用等比数列通项公式，等差数列前n项和公式，及两角差的正切公式等基本知识.【精讲精析】（）设这+2个数构成的等比数列为，则，则，又所以 （）由题意和（）中计算结果，知另一方面，利用得 所以6.（2011·江苏高考·20）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数n>k时，都成立（1）设M=1，求的值；（2）设M=3，4，求数列的通项公式。【思路点拨】本题考查的是等差数列概念、和与通项关系，其中（1）问较为容

4、易，（2）问解决的关键是抓住题目的的转化从中找到解决问题的规律。【精讲精析】由题设知，当时，即，从而，又，故当时，所以的值为8.(2) 由题设知, 当,且时，且，两式相减得，即，所以当时，成等差数列，且也成等差数列，从而当时， ，且。 所以当时，即，于是，当时，成等差数列，从而，故由式知，即，当时，设，当时，从而由式知，故，从而，于是。因此，对任意都成立。又由（可知，故且。解得，从而，。因此，数列为等差数列，由知，所以数列的通项公式为。7.（2011·新课标全国高考理科·17）等比数列的各项均为正数，且（)求数列的通项公式；（）设 求数列的前n项和.【思路点拨】第（1）问可

5、由，联立方程组求得和公比，从而求得的通项公式.第（2）问中，需先利用对数的性质化简，再用裂项相消的方法求数列的前项和.【精讲精析】（）设数列的公比为q，由得所以.由条件可知,故.由得，所以.故数列的通项式为=.（ ）.故,.所以数列的前n项和为.8.（2011·新课标全国高考文科·17）已知等比数列中，公比.（I）为的前项和，证明：（II）设，求数列的通项公式.【思路点拨】第（1）问利用等比数列通项公式和求和公式求出然后证明等式成立；（2）利用对数的性质化简，即得的通项公式.【精讲精析】（I），（II）.数列的通项公式为=.9.（2011·广东文科

6、83;T20）设b>0，数列满足a1=b,.(1)求数列的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n， b+1【思路点拨】（1）把题中条件变形为，构造成为，转化为等比数列，求得的通项公式，进而求出的通项公式.（2）利用均值不等式证明.【精讲精析】（1）【解】由已知得，当时，上式变形为：，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得：，解得；当时，有，即是首项公差均为1的等差数列，则.综上所述.（2）【证明】方法一：当只需综上所述方法二：由（1）及题设知: 当时，+1=2=2；当时，而，即2，又，.综上所述，对于一切正整数有.10.（2011·广东高考理科·

7、20）设数列满足.求数列的通项公式；证明：对于一切正整数n,【思路点拨】（1）把题中条件变形为，构造成为，转化为等比数列，求得的通项公式，进而求出的通项公式.，或用猜想证明的方法解决.（2）利用均值不等式证明.【精讲精析】（1）方法一：由已知得，两边同除以，整理得，当时有： （）令，则是以为首项，为公比的等比数列.由等比数列通项公式得，即从而.当时，有，即是首项与公差均为的等差数列，从而有，得.综上所述方法二：（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，即，（）当时，猜想，下面用数学归纳法证明：当时，猜想显然成立；假设当时，则，所以当时，猜想成立，由知，综上所述（2）【证明】方法一：（）当时， ，

8、故时，命题成立；（）当时，以上n个式子相加得，故当时，命题成立；综上（）（）知命题成立方法二：由（1）及题设知: 当时，当时，而 ，即，又综上所述：对于一切正整数n,.11.（2011·山东高考理科·20）（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前n项和Sn.【思路点拨】（）由题意易知.由等比数列的通项公式写出数列的通项公式.（）由题意易知数列为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列

9、的前n项和，但是要分奇数和偶数两种情况讨论【精讲精析】（）由题意可知，公比，通项公式为；（）当时，当时故另解：令，即则故.12.（2011·山东高考文科·20）（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：=，求数列的前项和.【思路点拨】（I）由题意易知.由等比数列的通项公式写出数列.（II）由题意易知数列为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前2n项和.【精讲精析】（）由题意知,因为是等比数列

10、,所以公比为3,所以数列的通项公式.（）=, 所以=+13.（2011·辽宁高考理科·17）（本小题满分12分）已知等差数列an满足a2=0，a6+a8= -10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前n项和【思路点拨】()先求首项和公差，再求通项公式；（）可利用错位相减法求和【精讲精析】()设等差数列的公差为， 由已知条件可得故数列的通项公式为 5分 （）设数列的前项和为，即=故=1，.所以，当1时，=-=，所以=综上，数列的前项和=. 12分14.（2011·北京高考理科·T20）(13分)若数列满足，则称数列为数列，记=.（）写出一个满足，且

11、的数列；（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由.【思路点拨】（）写出满足条件的一个数列即可；（）分别证明必要性与充分性；（）先假设存在，看能否求出，求出即存在，求不出则不存在.【精讲精析】（）0，1，2，1，0是一个满足条件的E数列.（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E数列）（）必要性：因为E数列是递增数列，所以.所以是首项为12，公差为1的等差数列.所以.充分性：由于，所以，即.又因为，所以.故，即是递增数列.综上，结论得证

12、.（）令，则.因为 ，所以因为 ，所以为偶数.所以为偶数.所以要使，必须使为偶数，即4整除，亦即或当时，E数列的项满足 时，有；当n=4m+1时，E数列的项满足 时，有；当n=4m+2或n=4m+3时，n(n-1)不能被4整除，此时不存在E数列，使得.15.（2011·北京高考文科·T20）(13分)若数列满足，则称为数列.记=.（）写出一个E数列满足（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（III）在的E数列中，求使得成立的n的最小值.【思路点拨】（）写出满足条件的一个数列即可；（）分别证明必要性与充分性；（）利用E数列的定义找出前面几项的和与

13、0的关系，再求n的最小值.【精讲精析】（）0，1，2，1，0是一个满足条件的E数列.（答案不惟一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E数列）（）必要性：因为E数列是递增数列，所以.所以是首项为12，公差为1的等差数列.所以.充分性：由于，所以，即.又因为，所以.故，即是递增数列.综上，结论得证.（）对首项为4的E数列由于，所以.所以对任意的首项为4的E数列，若，则必有.又的E数列：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4满足，所以n的最小值是9.16.（2011·湖南高考文科T20）（本小题满分13分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少

14、.从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.（）求第n年初M的价值的表达式；（2）设大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新.证明：须在第9年初对M更新.【思路点拨】本题考查学生运用知识的能力，重点考查学生的以下能力：一是阅读能力.二是转化能力.三是表达能力.能否把文字语言转化为符号语言的理解能力.四是解题能力.本题主要考查学生的阅读能力和建模能力和运算能力，阅读后建立数列模型是关键.【精讲精析】（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 因此，第年初，M的价值的表达式

15、为(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，因为是递减数列，所以是递减数列，又所以须在第9年初对M更新17.（2011·江西高考文科·21）（1）已知两个等比数列，满足，若数列唯一，求的值；（2）是否存在两个等比数列，使得成公差不为的等差数列？若存在，求 ， 的通项公式；若不存在，说明理由【思路点拨】（1）先将再根据，可得和的关系式，再根据数列的唯一性，知q必有一个值为0，代入可得a的值。(2)将再根据它们四个成等差数列，结合等差数列的性质可得之间的关系，通过消参可得，即或，经讨论可得两者都不符合题意。【精讲精析】解：（1）要唯一，当公比时，由且，

16、 ，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根），此时满足条件的a有无数多个，不符合。当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，则唯一，此时由，可推得符合综上：。（2）假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质可得：，整理得：要使该式成立，则=或此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列。18.（2011天津高考文科T20）已知数列满足 （）求的值； （）设，证明是等比数列； （）设为的前项和，证明【思路点拨】（1）的通项公式是常数，对n取值代入求值；（2）由的关系式，构造是常数；由（2）求出的通项，得到的通项公式，再求和、放缩证明.【精讲精析】 （）【解析】由可得又，当当

17、（）证明：对任意 -，得.所以是等比数列.（）证明：，由（）知，当时，故对任意由得因此，于是，故19.（2011·浙江高考理科·19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为（R），设数列的前项和为，且成等比数列。（）求数列的通项公式及；（）记+， + + ，当2时，试比较与的大小【思路点拨】本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，要注意待定系数法与分类讨论思想的应用。【精讲精析】（）解：设等差数列an的公差为d,由 得。因为,所以所以，（）解：因为 所以因为所以当n2时，即所以，当0时，；当0时，。20.（2011·浙江高考文科·19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项且成等比数列。（）求数列的通项公式；（）对，试比较与的大小【思路点拨】本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，代入公式即可求解，要注意待定系数法与分类讨论思想的应用。【精讲精析】（）解：设等差数列的公差为d,由 得。从而因为,所以故通项公式（）解：记因为，所以，当