202X届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2.6函数与方程课件

1、2.6函数与方程高考数学高考数学 (北京专用)A A组自主命题组自主命题北京卷题组北京卷题组五年高考1.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)6x答案答案Cf(1)=6-log21=60,f(2)=3-log22=20,f(3)=2-log230,f(4)=-log24=-20,包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.64322.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=若a=1,则f(x)的最小值为;若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.2,1,4()(2 )

2、,1.xaxxa xa x答案答案-12,+)1,12解析解析当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示:由图可知f(x)的最小值为-1.当a0时,显然函数f(x)无零点;当0a1时,易知f(x)在(-,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x1时,f(x)有且只有一个零点,结合图象可知,2a1,即a,则a1,由二次函数的性质可知,当x1时,f(x)有2个零点.要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-,1)上无零点,则2-a0,即a2.综上可知,满足条件的a的取值范围是2,+).21,1,4(1)(2),1,xxxxx12121,123.(2011北京,13,5分)已知函数f(x

3、)=若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是.32,2,(1) ,2.xxxx答案答案(0,1)解析解析作出函数y=f(x)的图象如图.故当0k1时,关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根.失分警示失分警示没有注意分段函数每一段都是单调函数,导致不能准确作出函数图象而失分;没有想到用数形结合思想来判断方程根的个数而失分;不注意等号是否成立,在结果中随意加上等号而失分.评析评析本题考查分段函数的概念和图象,考查方程根的分布和数形结合思想.解题的关键是准确作出分段函数的图象,利用两函数图象交点的个数来判断方程根的个数,属于中等难度题.B B组统一命题组统一命题省省( (区

4、、市区、市) )卷题组卷题组考点一函数的零点考点一函数的零点1.(2019课标全国文,5,5分)函数f(x)=2sinx-sin2x在0,2的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案答案B由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0得sinx=0或cosx=1,x=k,kZ,又x0,2,x=0,2,即零点有3个,故选B.解题关键解题关键遵循角度统一原则,利用二倍角的正弦公式展开计算是解决本题的关键.2.(2019浙江,9,4分)设a,bR,函数f(x)=若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则()A.a-1,b0B.a0C.a-1,b

5、-1,b032,0,11(1),0.32xxxaxax x答案答案C记g(x)=f(x)-ax-b,当x-1,当x0,a+1)时,g(x)0,函数g(x)单调递减,当x(a+1,+)时,g(x)0,函数g(x)单调递增,故g(x)有3个零点的条件为0,11,(0)0,(1)0,baagg a 所以对照选项,应选C.30,11,1(1) .6baba 3.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+1答案答案Ay=cosx是偶函数,且存在零点;y=sinx是奇函数;y=lnx既不是奇函数又不是偶函数;y=x2+1是

6、偶函数,但不存在零点.故选A.4.(2018课标,15,5分)函数f(x)=cos在0,的零点个数为.36x答案答案3解析解析本题考查函数与方程.令f(x)=0,得cos=0,解得x=+(kZ).当k=0时,x=;当k=1时,x=;当k=2时,x=,又x0,所以满足要求的零点有3个.36x3k9949795.(2015湖北,13,5分)函数f(x)=2sinxsin-x2的零点个数为.2x答案答案2解析解析易知f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin2x与y2=x2的图象如

7、图所示:由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.考点二函数零点的应用考点二函数零点的应用1.(2019天津文,8,5分)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(aR)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为()A.B.C.1D.12,01,1,1.xxxx145 9,4 45 9,4 45 9,4 45 9,4 4答案答案D本题以分段函数和方程的解的个数为背景,考查函数图象的画法及应用.画出函数y=f(x)的图象,如图.方程f(x)=-x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=-x+a的公共点的个数.当直线l经过点A时,有2=-1+a,a=;当直线l经

8、过点B时,有1=-1+a,a=.141414941454由图可知,a时,函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点.另外,当直线l与曲线y=,x1相切时,恰有两个公共点,此时a0.联立得=-x+a,即x2-ax+1=0,由=a2-41=0,得a=1(舍去负根).综上,a1.故选D.5 9,4 41x1,1,4yxyxa 1x1414145 9,4 4易错警示易错警示本题入手时,容易分段研究方程2=-x+a(0 x1)与=-x+a(x1)的解,陷入相对复杂的运算过程.利用数形结合时,容易在区间的端点处出现误判.x141x142.(2018课标全国,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+

9、a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)e ,0,ln ,0,xxx x答案答案C本题主要考查函数的零点及函数的图象.g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)=与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图,当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a1,即a-1.故选C.e ,0,ln ,0 xxx x方法总结方法总结已知函数零点的个数求参数范围的方法:已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题,需准确画出两个函数的图象,利用

10、图象写出满足条件的参数范围.3.(2017课标全国,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-B.C.D.1121312答案答案C由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解,令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a=.令h(t)=,易得h(t)为偶函数,又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,所以a=,故选C.21eettt21eettt1 02124.(2018天津,14,5分)已知a0

11、,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.222,0,22 ,0.xaxa xxaxa x答案答案(4,8)解析解析本题主要考查函数零点的应用.设g(x)=f(x)-ax=方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况:情况一:22,0,2 ,0,xaxa xxaxa x则4a8.情况二:212240,80,aaaa则不等式组无解.综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).212240,80,aaaa解题策略解题策略解决方程的根的问题时,通常转化为函数

12、的零点问题,进而转化为函数图象的交点问题;解决函数图象的交点问题时,常用数形结合的方法,以“形”助“数”,直观简捷.5.(2018浙江,15,6分)已知R,函数f(x)=当=2时,不等式f(x)0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则的取值范围是.24,43,.xxxxx答案答案(1,4);(1,3(4,+)解析解析本小题考查分段函数,解不等式组,函数的零点,分类讨论思想和数形结合思想.当=2时,不等式f(x)0等价于或即2x4或1x2,故不等式f(x)4.两个零点为1,4,由图可知,此时13.综上,的取值范围为(1,3(4,+).2,40 xx22,430,xxx思路分析思路分析(1)f(

13、x)0,且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.2(43)3 ,0,log (1)1,0axaxa xxx3x答案答案1 2,3 3解析解析函数f(x)在R上单调递减,解得a.在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)|与y=2-的图象,如图所示.方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2-的图象恰有两个交点,则需满足3a2,得a,综上可知,a.430,201,31,aaa13343x3x3x231323易错警示易错警示(1)f(x)在R上单调递减,需满足缺少条件是失分的一个原因;(2)由方程解的个数

14、求参数范围往往利用数形结合思想,将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这类问题常用的方法.430,201,31,aaa评析评析本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问题转化为求两个函数图象交点个数的问题,这是求解这类问题的常用方法.7.(2015湖南,14,5分)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.答案答案(0,2)解析解析函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点等价于函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y=|2x-2|及y=b的图象,如图.由图可知b(0,2).C C组教师专用题组组

15、教师专用题组考点一函数的零点考点一函数的零点1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.522 |,2,(2) ,2,xxxx答案答案A由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.2|2| 1,0,3,0.xxxx2.(2014湖北,9

16、,5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为()A.1,3B.-3,-1,1,3C.2-,1,3D.-2-,1,377答案答案D当x0时,f(x)=x2-3x,令g(x)=x2-3x-x+3=0,得x1=3,x2=1.当x0,f(-x)=(-x)2-3(-x),-f(x)=x2+3x,f(x)=-x2-3x.令g(x)=-x2-3x-x+3=0,得x3=-2-,x4=-2+0(舍),函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合是-2-,1,3,故选D.777评析评析本题考查奇函数的性质、一元二次方程的根等知识,忽略x的范

17、围会导致出错.3.(2015安徽,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.答案答案-12解析解析若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所以a=-.124.(2014福建,15,4分)函数f(x)=的零点个数是.22,0,26ln ,0 xxxx x答案答案2解析解析当x0时,由x2-2=0得x=-;当x0时,f(x)=2x-6+lnx在(0,+)上为增函数,且f(2)=ln2-20,所以f(x)在(0,+)上有且只有一个

18、零点.综上可知,f(x)的零点个数为2.2考点二函数零点的应用考点二函数零点的应用1.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()A.B.C.(1,2)D.(2,+)10,21,12答案答案Bf(x)=如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA=.要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,k0.当a2时,在y轴右侧,两函数图象只有一个公共点,此时在y轴左侧,射线y=-ax(x0)与抛物线y=-x2-5x-4(-4x-1)

19、需相切.由消去y,得x2+(5-a)x+4=0.由=(5-a)2-16=0,解得a=1或a=9.a=1与a2矛盾,a=9时,切点的横坐标为2,不符合.故0a2,此时,在y轴右侧,两函数图象有两个公共点,若满足条件,则-a1.故1a2.254,yxxyax 3.(2015江苏,13,5分)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.20,01,|4| 2,1,xxx答案答案4解析解析由|f(x)+g(x)|=1可得f(x)+g(x)=1,即g(x)=-f(x)1,则原问题等价于函数y=g(x)与y=-f(x)+1或y=g(x)与y=-f(x)-1的图象的

20、交点个数问题,在同一坐标系中作出y=g(x),y=-f(x)+1及y=-f(x)-1的图象,如下:由图可知,函数y=g(x)的图象与函数y=-f(x)+1的图象有2个交点,与函数y=-f(x)-1的图象有2个交点,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组考点一函数的零点考点一函数的零点1.(2017北京西城一模,4)函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案答案C要求函数f(x)的零点个数,即求2x+log2|x|=0的根的个数,即求2x=lo|x|的根

21、的个数,即求函数y=2x与y=lo|x|的图象的交点个数,如图所示:结合图象可知,函数f(x)有两个零点.12g12g2.(2019北京海淀期末,6)已知函数f(x)=lnx+,则“a0”是“函数f(x)在区间(1,+)上存在零点”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件ax答案答案C由f(x)=lnx+=0得lnx=-,设函数y=lnx,y=-,当a0,函数y=lnx在(1,+)上的图象在第一象限,y=-的图象在第四象限,无交点.所以,只有当a0时,才有函数f(x)在区间(1,+)上存在零点.所以“a0,则f(x)在区间(0,2)上不存在零点”为

22、假命题的一个函数是.答案答案f(x)=(x-1)2(答案不唯一)解析解析只需找到一个在(0,2)上先单调递减再单调递增而且有零点的函数,或这个函数在(0,2)上先单调递增再单调递减而且有零点即可,比如f(x)=|x-1|,f(x)=-(x-1)2等等.考点二函数零点的应用考点二函数零点的应用1.(2019北京海淀一模文,2)若x0是函数f(x)=log2x-的零点,则()A.-1x00B.0 x01C.1x02D.2x041x答案答案C解法一:易知f(x)在定义域内连续,且单调递增.f(1)=-10,故由零点存在性定理可得f(x)在(1,2)内有零点,故选C.解法二:函数f(x)=log2x-

23、的零点方程log2x=的根函数y=log2x与函数y=图象的交点的横坐标.在同一坐标系中作出两个函数的图象,由图可得1x00,x-a,若函数f(x)存在零点,则只能f(x)=-x=0有解,即f(a)=-a0,故选D.3.(2018北京东城期末,13)函数f(x)=当a=0时,f(x)的值域为;当f(x)有两个不同的零点时,实数a的取值范围为.223,xxxax xa答案答案-4,+);(-,-1)0,3)解析解析当a=0时,设g(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,h(x)=-x,易知,当x0时,g(x)-4,当x0时,h(x)0,所以当a=0时,f(x)的值域为-4,+).要使f(x)有

24、两个不同的零点,分两种情况:g(x)=x2-2x-3,xa有一个零点且h(x)=-x,xa有一个零点,则0aa有两个零点且h(x)=-x,xa没有零点,则a-1.综合可知,当f(x)有两个不同的零点时,实数a的取值范围为(-,-1)0,3).2( )0,( )230h aag aaa 2( )0,1,( )230h aaag aaa 4.(2017北京朝阳一模,11)已知函数f(x)=2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是.2x答案答案(0,3)解析解析易知该零点为变号零点,f(1)f(2)0,即-a(3-a)0.解得0a0,f(x)在(0,+)上单调递增.又f(3)=ln

25、30,f=ln-10,ff(3)0时,-xa时,2a-xa,此时f(x)=f(2a-x)=2a-x,f(x)=的图象关于直线x=a对称,若函数y=f(x)-b有两个零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=b有2个交点,其图象如图:2,2,x aa xxaxa由图可知0b0时,由f(x)=得log2x=,即x=.由g(x)=ff(x)-=0得ff(x)=,则f(x)=-或f(x)=,易得方程f(x)=-有两个解,方程f(x)=有一个解,所以函数g(x)=ff(x)-的零点个数是3.故选B.12121212121212221212122122122.(2018北京朝阳一模,7)函数f(x)=-的零

26、点个数为()A.0B.1C.2D.42sin21xx12x2sin21xx答案答案Cf(x)=-的定义域为(-,0)(0,+),通分得f(x)=,设f1(x)=2xsinx,f2(x)=x2+1,当f1(x)=f2(x)时,f(x)=0,易发现f1(1)=f2(1)=2,即f1(x)与f2(x)交于点A(1,2),又f1(x)=xcosx+2sinx,f2(x)=2x,f1(1)=f2(1)=2,即点A为公切点,点A为(0,+)内唯一交点,画出f1(x),f2(x)的部分图象如图.又f1(x),f2(x)均为偶函数,点B(-1,2)也为公切点,A,B为交点,f(x)有两个零点,故选C.12x2

27、22 sin122 (1)xxxx x2223.(2017北京朝阳一模,5)已知函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.-1,0)B.(1,2C.(1,+)D.(2,+)224 ,2,log,2xx xxa x答案答案C当x2时,令f(x)=-x2+4x=0,得x=0或x=4(舍去),故x2时,f(x)有一个零点.当x2时,f(x)=log2x-a是增函数,由题意知x2时,f(x)必有一个零点,故a=log2x(x2),a1.故选C.思路分析思路分析分段研究f(x),由题意知每段恰有一个零点,再研究x2时f(x)的单调性,进而可求a的范围.方法点拨方法点拨在探究f(x)=log2x-a(x2)必有一个零点时,可利用数形结合的思想方法.4.(2018北京朝阳期末,7)已知函数f(x)=x|x-a|的图象与直线y=-1的公共点不少于两个,则实数a的取值范围是()A.a-2B.a-2C.-2a-2答案答案B本题考查分段函数的图象与零点存在性定理.解法一:当a=0时,f(x)=的图象与y=-1只有一个公共点;当a0时,f(x)=的图象如图所示,不符合题意;当a0时,f(x)=的图象如图所示,y=f(x)的图象与y=-1的公共点不少于两个,f=-=-1,a24,a