对面积的曲面积分（课堂PPT）

1、111.4 11.4 对面积的对面积的曲面积分曲面积分第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分概念的引入概念的引入对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法2实例实例解解 第一步第一步: : 将将分为许多分为许多极其微小的子域极其微小的子域,以以dS为为代表代表, ,dS的质量为的质量为:MMd 第二步第二步: : 求和取极限求和取极限 SzyxMd),(则则Szyxd),( ,d),(Szyx 取取 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切

2、平面也连续转动切平面也连续转动. .光滑光滑的的,是是若若曲曲面面 它的面密度为连续函数它的面密度为连续函数),(zyx 求它的质量求它的质量.对面积的曲面积分对面积的曲面积分一、概念的引入一、概念的引入31. 定义定义iS (上上为为设设点点iiiiS ),(,),(iiiiSf ,),(1iiiniiSf ,0时时 iS 函数函数 f(x, y, z)在在上上任意取定的点任意取定的点,并作和并作和如果当各小块曲面的直径如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在这和式的极限存在,则则的最大值的最大值对面积的曲面积分对面积的曲面积分二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义 第第i 小块

3、曲面的面积小块曲面的面积),作乘积作乘积设曲面设曲面是光滑的是光滑的,同时也表示同时也表示有界有界.把把 任意分成任意分成n小块小块xyOz ),(:yxzz ),(iii ) ,(ii iS xyDxyi)( 4在在),(zyxf或或.d),( Szyxf记为记为即即如曲面是如曲面是 曲面元素曲面元素被积函数被积函数则积分号写成则积分号写成iiiniiSf ),(lim10 Szyxfd),(积分曲面积分曲面iiiniiSf ),(1称称极限为函数极限为函数上上在曲面在曲面 对面积的曲面积分对面积的曲面积分第一类曲面积分第一类曲面积分. .闭曲面闭曲面, ,对面积的曲面积分对面积的曲面积分5

4、则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 2. 存在条件存在条件在光滑曲面在光滑曲面上上今后今后, ,假定假定 1d),( Szyxf Szyxfd),(的曲面积分存在的曲面积分存在. .对面积对面积连续连续, ,),(zyxf当当.),(上上连连续续在在 zyxf对面积的曲面积分对面积的曲面积分3. 对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质 2d),(Szyxf6 补充：第一类面积分对称性补充：第一类面积分对称性设分片光滑的设分片光滑的 Szyxfd),(x的奇函数的奇函数x的偶函数的偶函数12( , , )d ,f x y zS . 0),(:1 zyxx 其中其中

5、, 0则则曲面曲面关于关于yOz面对称面对称, ,为为当当),(zyxf为为当当),(zyxf对面积的曲面积分对面积的曲面积分74. 对面积的曲面积分的几何意义对面积的曲面积分的几何意义空间曲面空间曲面的面积的面积: : SAd1 d122 Dyxzz5. 对面积的曲面积分的物理意义对面积的曲面积分的物理意义面密度为连续函数面密度为连续函数;d),( SzyxM时时，当当1),( zyxf的质量的质量M为为: 的光滑曲面的光滑曲面),(zyx对面积的曲面积分对面积的曲面积分8, yxf Szyxfd),(: 若若曲曲面面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：思想是

6、思想是:yxzzSyxdd1d22 化为二重积分计算化为二重积分计算. .),(yxzyxzzyxdd122 xyD),(yxzz (1)对面积的曲面积分对面积的曲面积分三、三、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法9 ,zxf Szyxfd),(则则 ,zyf Szyxfd),(：若若曲曲面面 则则xzDyzD),(zyxzyxxzydd122 (2)(3),(zyxx 对面积的曲面积分对面积的曲面积分: 若若曲曲面面),(zxyy ),(zxyzxyyzxdd122 10确定投影域并写出确定投影域并写出 然后算出曲面面积元素然后算出曲面面积元素; ;最后将曲面方程代入最后将曲面方

7、程代入被积函数被积函数, ,对面积的曲面积分时对面积的曲面积分时, ,首先应根据首先应根据化为二化为二曲面曲面选好投影面选好投影面, ,曲面曲面的方程的方程, ,重积分进行计算重积分进行计算. .对面积的曲面积分对面积的曲面积分11xyzO例例解解yz 5投影域投影域:25| ),(22 yxyxDxy5,d)( zySzyx为为平平面面其其中中计计算算 2522 yx被柱面被柱面所截得的部分所截得的部分.: 曲面曲面 Szyxd)(xyDy 52yxdd故故 )(yxyxzzSyxdd1d22 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 xyDyxxdd)5(2 2125 二重积分二重积分的对称性的对

8、称性 xyDyxdd52对称性对称性yxdd2 12解解 依依对称性对称性知知 成成立立 1 422yxz | xyz.为为偶偶函函数数、关关于于xy ,d|Sxyz计计算算).10(22 zyxz为为抛抛物物面面其其中中 例例面面均均对对称称；面面、关关于于yOzxOz抛物面抛物面有有对面积的曲面积分对面积的曲面积分被积函数被积函数1 为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面.xyzO13yxyxSdd)2()2(1d22 Sxyzd41 xy4极坐标极坐标 d41sincosd41022220 xyD )(22yx yxyxdd)2()2(122 Sxyz d| 投影域：投影域：0, 0, 1

9、| ),(22 yxyxyxDxy d41d2sin2210502 uuud)41(41251 42015125 u对面积的曲面积分对面积的曲面积分积分曲面积分曲面) 10(:22 zyxz14例例所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表面. ,dSx计算计算, 122 yx是圆柱面是圆柱面其中其中 02 zxz及及平平面面对面积的曲面积分对面积的曲面积分zxyOzxyOzxyO15解解 2d Sx 1 2 3 1d Sx Dyxxdd0 Dyxxdd110 0 z2 xz122 yx投影域投影域1:22 yxD对面积的曲面积分对面积的曲面积分例例所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表面

10、. ,dSx计算计算, 122 yx是圆柱面是圆柱面其中其中 02 zxz及及平平面面对称性对称性zxyO16zxyO(左右两片投影相同左右两片投影相同)zxyySzxdd1d22 zxxdd112 Sxd1:223 yx 将将投影域投影域选在选在面上面上xOz注注21xy 分成左、右两片分成左、右两片 3d Sx Sxd31 Sxd32 31 2 x2xzDzxxdd112 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 zxxxdd122 01 2 x12 xz Sxd 00对称性对称性xzO11 17zxyO计算曲面积分计算曲面积分SzyxId)(222 其中其中是球面是球面.2222azzyx )0

11、( a解解的方程的方程方程是方程是:222yxaaz 方程是方程是:投影域投影域222:ayxDxy 222yxaaz 记记上半球面上半球面为为,1 下半球面下半球面为为,2 不是单值的不是单值的. .的值的值.对面积的曲面积分对面积的曲面积分18对对上半球上半球yxzzSyxdd1d22 yxyxaadd222 得得 1d)(222 Szyx对对下半球下半球 2d)(222 Szyxyxyxayxaaadd)(22222222 222:ayxDxy xyDxyDazzyx2222 是球面是球面yxyxayxaaadd)(22222222 222yxaaz 222yxaaz 对面积的曲面积分对

12、面积的曲面积分19所以所以 aaa022203dd4 极坐标极坐标 I 1 2 2223dd4yxayxa48 a yxyxayxaaadd)(22222222 yxyxayxaaadd)(22222222 xyDxyDxyD222:ayxDxy 对面积的曲面积分对面积的曲面积分20zxyO计算计算,d)(23Szyxx 其中其中为球面为球面222yxaz 之位于平面之位于平面 曲面曲面的方程的方程在在xOy面上的面上的投影域投影域2222:hayxDxy 解解222yxaz 2222:hayxDxy )0(ahhz 上方的部分上方的部分.对面积的曲面积分对面积的曲面积分21zxyO2222:

13、hayxDxy 因曲面因曲面于是于是)(22haa Szd00 222yxa yxyxaadd222 x3是是x的奇函数，的奇函数， x2y是是y的奇函数的奇函数.Szyxxd)(23 222yxaz xyD关于关于yOz面及面及xOz面对称面对称; 对面积的曲面积分对面积的曲面积分yxzzSyxdd1d22 yxyxaadd222 22例例,d2Sx 求求2222:azyx 解解积分曲面方程积分曲面方程轮换轮换对称对称Szyxd)(222 SzyxSxd)(31d2222 31提示提示即三个变量轮换位置方程不变即三个变量轮换位置方程不变. Sx d22243aa 具有具有轮换对称性轮换对称性

14、, ,中的变量中的变量x、y、z3Sd2a对面积的曲面积分对面积的曲面积分23 1995年研究生考题年研究生考题,计算计算,6分分xyxyxz22222 在在柱柱体体为为锥锥面面设设 .d, Sz求曲面积分求曲面积分内的部分内的部分解解 积分曲面积分曲面22:yxz 在在xOy面上的面上的投影域投影域xyxDxy2:22 22yxz 由由2222yxyyz d2d S对面积的曲面积分对面积的曲面积分,2222yxxxz zxyO24 Szd xyD22yx d2 cos2022dd22932322316 积分曲面积分曲面,:22yxz d2d SxyxDxy2:22 对面积的曲面积分对面积的曲

15、面积分 dcos2316203 25 对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分对面积的曲面积分四、小结四、小结四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限思想思想:化为化为二重积分计算二重积分计算; 对面积的曲面积分的几何意义与物理意义对面积的曲面积分的几何意义与物理意义曲面方程三种形式的计算公式曲面方程三种形式的计算公式26思考题思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为是非题是非题 niiiPf

16、Pf10|)(limd)( .,)( PPPfii为为点点函函数数其其中中是是对面积的曲面积分对面积的曲面积分因为若因为若为直线上的区间为直线上的区间a, b,),()(xfPf 则则故故.)(limd)(d)(10| niiibaPfxxfPf 27思考题思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为是非题是非题 niiiPfPf10|)(limd)( .,)( PPPfii为为点点函函数数其其中中对面积的曲面积分对面积的曲面积分是是 若若是平面区域是平面区域G,),()(yxfPf 则则故故 niiiiniiifPf10|10|),(lim)(lim .dd),(yxyxfG 28思考题思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为是非题是非题 niiiPfPf10|)(limd)( .,)( PPPfii为为点点函函数数其其中中对面积的曲面积分对面积的曲面积分是是 若若是空间区域是空间区域,),()(zyxfPf 则则故故 niiiiiniiifPf10|10|),(lim)(lim .ddd),(zyxzyxf