工程力学 平面汇交力系和平面力偶系

1、第2章 平面汇交力系和平面力偶系Ø 教学提示：力系有各种不同的类型，因此它们的合成结果和平衡条件也不相同。本章研究平面力系最简单的两种情况平面汇交力系和平面力偶系的合成和平衡，它们是研究平面一般力系的基础。Ø 教学要求：本章对学生的要求有两点：熟练掌握平面汇交力系的合成的几何法和解析法，能够用平面汇交力系的平衡方程解题。熟悉力矩和力偶的概念、平面力偶系的性质，能够对平面力偶系进行合成，并学会利用平衡条件和平衡方程求解未知力。2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成的几何法如图2.l(a)所示，设有一作用于刚体上的平面共点力系F1、F2、F3。设其作用线共同相

2、交于同一A点，求该力系的合力。Ø 可连续应用力的平行四边形法则或三角形法则将各力依次合成。即先将力F1 与F2 合成为一合力F R1，再将力F R1 与F3 合成一合力F R2。这个合力F R2就是F1、F2、F3的合力。Ø 这样作出的多边形就是力多边形，合力就是力多边形的封闭边，这种用力多边形求解合力的方法就是力多边形法则。Ø 可以证明，任意改变力的合成的先后次序，虽然所得到的力的多边形形状不同，但是合力FR完全相同，即力的合成的多边形法则合成的合力FR与各个分力合成的先后次序无关。Ø 综上所述，可得到以下结论：平面汇交力系的合成结果为一合力，其大小和

3、方向由力的多边形的封闭边来表示，作用线通过各力的汇交点，即合力等于各个分力的矢量和(或几何和)。矢量式为 平面汇交力系平衡的几何条件由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F R等于零。如果用矢量形式表示，即平面汇交力系平衡的必要和充分条件：力多边形自行封闭，也即平面汇交力系平衡的几何条件。【例2.1】 一重物W重量为20kN ，如图2.2(a)所示位置平衡。如不计绳索的自重和伸长，BC处于水平位置，=30 °，试求绳索AB和BC的张力。解：选取重物为研究对象，受力图如图2.2(b)所示，显然这是一个平面汇交力系。根据平面

4、汇交力系平衡的几何条件，这三个力应构成一个自行封闭的力三角形。如用作图法求解，可按照比例，先画出已知力W = ac，然后过a、c 两点分别作直线平行于FAB和FBC ，这两条直线相交于b点，于是得到力的三角形abc，如图2.2(c)所示， FAB 和FBC的指向应符合首尾相接的规则。然后按照比例尺，可以从力的三角形中得到FAB =23kN ，FBC=12kN【例2.2】 课后自己看。2.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法在求解平面汇交力系问题时，除了应用前面所述的几何法以外，比较较常用的方法是解析法。解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的。 力在坐标轴上的投影设在刚体上A点作用一力F ，通过力F

5、 的两端A和B分别向x轴作垂线，垂足为a和b，如图2.5(a)所示。即力在某轴上的投影，等于力的大小乘以力与该轴的正向间夹角的余弦。力在轴上的投影是个代数量。将力F 分别在正交的Ox Oy 、上投影，则有 合力投影定理设由F1、F2、F3 组成的平面汇交力系，如图2.5 所示。根据力多边形法则可以将F1、F2、F3合成力的多边形ABCD，AD为封闭边，即合力FR。合力FR在y轴上的投影同理，可以得到合力FR在y轴上的投影若将上述合力投影与分力投影推广到一般平面汇交力系中，得到合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。由此可得到合力的大小和方向式中， 为合力FR与x轴

6、之间的锐角。 平面汇交力系的平衡方程（重要）平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。或者平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在x轴和y 轴投影的代数和分别为零。这就是平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立方程，因此可以求解两个未知量。【例2.3】 刚架如图2.6(a)所示。已知水平力P，不计刚架自重，试用解析法求A、B处支座反力。解：对刚架进行受力分析，显然是受到平面汇交力系，三力汇交于C点，如图2.6(b)所示。建立坐标系：选择A点为坐标原点，建立直角坐标系如图2.6(b)所示。根据平面汇交力系的平衡方程，得上式中所以得到【例2.4】一拱形桥由三个铰拱组成，如图2.7(a)所

7、示。各拱重量不计，已知作用于H 点的水平力FP ，试求A、B、C和D处各个支座反力。解：分析：为应用平面汇交力系来求解各个支座反力，必须将拱桥拆成四部分进行受力分析。经过受力分析，显然可以确定AE 为二力杆，因此以此为出发点，其余的三部分分别受到不平行的三个力作用，可以应用三力平衡汇交，从而可以根据主动力F P 来确定各个约束反力。依次取研究对象AE、EBF 、FCG 和GD，受力图分别如图2.7(b)、图2.7(c)、图2.7(d)、图2.7(e)所示。为了解题方便，取直角坐标系Oxy 如图2.7 所示。(1) 取GD为研究对象，建立平衡方程：解得(2) 取FCG 为研究对象，建立平衡方程：

8、解得(3) 取EBF 为研究对象，建立平衡方程：解得(4) 最后，取AE为研究对象。AE为二力杆，显然有注意：解题过程中，建立坐标系时，坐标轴尽可能与未知力垂直或平行。2.3 力矩和合力矩定理 力对点之矩Ø 力对点之矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力臂的乘积，其正负习惯上按下述方法确定：力使物体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。记作：Ø 力对点之矩可用矢量积来表示，即其中，r 表示力的作用点A 距离矩心O 的有向线段，称为矢径。(1) 力矩是相对某一矩心而言的，离开了矩心，力矩就没有意义。(2) 从几何上看，力F 对O点的矩在数值上等于OAB面积的2 倍，如图2.8

9、所示。(3) 当力沿作用线移动时，力对点之矩保持不变；当力作用线过矩心，对矩心的力矩为零。(4) 国际单位制中，力矩的单位是牛顿米(N m )或千牛顿米( kN m )。 合力矩定理Ø 合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于所有各分力对同一点之矩的代数和，即证明：平面汇交力系(F1， F2， Fn )，如图2.9所示。合力为FR ，即FR = F1 + F2+ Fn，任取矩心O，则有因此定理得证。此定理不仅对平面汇交力系适用，对于其他平面力系也适用。2.4 力偶和力偶矩在实践中，汽车司机用双手转动转向盘，如图2.10(a)所示；钳工用丝锥攻螺纹；如图2.10(b)以及日

10、常生活中人们用手拧水龙头开关，用手指旋转钥匙，等等。都是施加力偶的实例。 力偶Ø 由大小相等，方向相反，作用线平行的二力组成的力系称为力偶，如图2.11 所示。Ø 力偶与力一样，也是力学中的一种基本物理量。力偶用符号(F，F ) 表示。Ø 力偶所在的平面称为力偶作用面，力偶的二力间的垂直距离称为力偶臂。Ø 力偶只能与力偶相平衡。 力偶矩Ø 因此力学中把力与力偶臂的乘积并冠以正负号称为力偶矩，记作m ( F, F)，简记为m，即Ø 平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小和力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向。通常规定逆时针为正，反之

11、为负。与力矩单位一样，Ø 力偶矩的单位是Nm或kNm。 力偶等效定理Ø 力偶等效定理：在同一平面内的两个力偶，只要力偶矩大小相等，转向相同，则两个力偶必然等效。证明：设有一力偶( F, F)，作用于刚体上，其力臂为d ，力F 和F 的作用点A和B 的连线恰为力偶臂d ，如图2.12 所示。分别在A、B两点沿其连线加上一对等值、反向、共线的平衡力FT和FT 。现将F和FT 合成为F1， F和FT 合成为F1。显然，力F1 和F1组成一新的力偶(F1,F1 )。力偶(F1,F1 )是在原力偶( F, F)上加上一对平衡力而得到的，根据加减平衡力系原理，力偶( F, F)与力偶(

12、F1,F1 )等效。这就证明了共面的两个力偶的力偶矩相等，即它们等效。Ø 推论1：只要在力偶矩大小和转向不变的条件下，可任意改变力与力偶臂大小，而不改变力偶对刚体的效应，如图2.13(c)、图2.13(d)所示。Ø 推论2：力偶可以在作用面内任意移转，而不影响它对物体的作用效应。换句话说，力偶对刚体的作用效果与它在作用面内的位置无关，如图2.13(a)、图2.13(b)所示。2.5 平面力偶系的合成和平衡的条件 平面力偶系的合成条件设在同一平面内有两个力偶(F1,F1 )和(F2,F2 )，它们的力臂各为d1和d2，如图2.14(a)所示。这两个力偶的矩分别为m1和m2，求

13、它们的合成结果。证明：为此，在保持力偶矩不变的情况下，同时改变这两个力偶的力的大小和力偶臂的长短，使它们具有相同的臂d，并将它们在平面内移转，使力的作用线重合，如图2.14(b)所示。然后求各共线力系的代数和，每个共线力系得一个合力，这两个合力等值、反向、平行，距离为d，构成一个与原力偶系等效的合力偶，如图2.14(c)所示。其力偶矩为 平面力偶系的平衡条件Ø 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：合力偶矩的代数和等于零。即这就是平面力偶系的平衡方程。【例2.5】 简支梁AB，如图2.15(a)所示，其上作用一力偶矩m的作用，已知梁长为L，不计自重，求支座反力。解：取梁AB为研究对象。作

14、用于梁上的力只有力偶矩m和A、B处的约束反力。B处反力的方位垂直于支撑面法线方向，指向假设向下，如图2.15(b)所示。根据平面力偶平衡条件， A处反力和B处反力必组成一对力偶，列出平面力偶系平衡方程：解得【例2.6】 铰接四杆机构OABO1在图示位置平衡，如图2.16(a)所示。已知：OA=40cm，O1B=60cm，作用在OA上的力偶的力偶矩m1 =1Nm。试求力偶矩m2的大小和杆AB 所受的力，各杆自重均不计。解：(1) 选取OA杆为研究对象。AB杆是二力杆，假设AB受力图如图2.16(c)所示。对OA进行受力分析，受到力偶矩m1，由于OA两个点约束，故O、A两点受到一对力偶的作用(F O 和FAB )，OA杆受力图如图2.16(b)所示。根据平面力偶系的平衡条件列方程：解得(2) 选取O1B杆为研究对象。O1B杆受力图如图2.16(d)所示。列平衡方程：解得小结(1) 平面汇交力系平面汇交力系合成为一个合力FR，合力等于各个分力的矢量和，即 几何法：用力多边形的封闭边来表示合力FR的大小和方向。 解析法：合力的大小和方向的计算公式(2) 平面汇交力系平衡平面汇交力系平衡的充要条件是合力F为零。 几何