泛函分析知识总结

1、泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间 和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子 的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。度量空间和赋范线性空间(一)度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间Rn (有限维空间)的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。1 .度量定义：设X是一个集合，若对于 X中任意两个元素X, y,都有唯一确定的实数d()与之对应，而且这一对 应关系满足下列条件：1° d() >0 , d()=0 y x=y (非

2、负性)2 d()= d() (对称性)3°对vz ,都有d() <d()()(三点不等式)则称d()是x、y之间的度量或距离(或)，称为 ()度量空间或距离空间()。(这个定义是证明度量空间常用的方法)注意： 定义在X中任意两个元素x, y确定的实数d(),只要满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名 称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描 述X中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被 认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 度量空间中由集合 X和度量函数d所组成，在同一个 集合X上若有两

3、个不同的度量函数di和d2,则我们认为 (X, di)和(X, d2)是两个不同的度量空间。集合X不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观 起见，今后称度量空间()中的元素为“点”，例如若 xwX,则称为“ X中的点” o 在称呼度量空间()时可以省略度量函数 d,而称“度 量空间X'。1.1 举例1.11 离散的度量空间：设 X是任意的非空集合，对 X中任意两 点G X,令d(x, y) "y,则称(X, d)为离散 0,当 x=y度量空间。1.12 序列空间S: S表示实数列(或复数列)的全体，d()=1 1 二一 “1 -i；"1+| '1.13 有界

4、函数空间B(A) : A是给定的集合，B(A)表示A上有界实值(或复值)函数全体，对 B(A)中任意两点，定义d()= sup x(t) - y(t) 仔11.14 可测函数空间M(X): M(X)为X上实值(或复值)的L可测 函数全体。d(f,g)=f(t)-g(t)l dtX1 f-g(t)1.15 C口空间(重要的度量空间)：C表示闭区间口上实值(或 复值)连续函数全体， 对C口中任意两点，定 义d() = maxx(t) -y(t) a <<b1.16 l2:无限维空间(重要的度量空间) 例1.15、1.16是考试中常考的度量空间。2 .度量空间中的极限，稠密集，可分空间2

5、.1 %的6一领域：设(X, d)为度量空间，d是距离，定义U = (Xo,蓟=卜三XI d(x,x 0)(一为Xo的以S为半 径的开球，亦称为Xo的名一领域。注：通过这个定义我们可以从点集这一章学到的知识来定义距离 空间中一个点集的内点，外点，边界点及聚点，导集，闭包, 开集等概念。2.2 度量空间的收敛点列：设(X, d)是一个度量空间，%是(X,d)中点歹U ,如果存在xw X , xn收敛于 x 使 lim xn = x，即 dX x) gn 4*30,， n ,，称点列£xn是(X, d)中的收敛点列， x叫做点列Ln的极限，且收敛点列 的极限是唯一的。注：度量空间中点列收

6、敛性质与数列的收敛性质有许多共同 之处。2.3 有界集：设M是度量空间(X,d)中的点集，定义6(M) = supi(x,y) x,y ：-m为点集M的直径。若6(M)<g,则称M为(X, d) 中的有界集。(类似于Rn,我们可以证明一个度量空间中收敛点列是有界点集)2.4 闭集：A是闭集u A中任意收敛点列的极限都在 A中，即若 xn w A , 1,2 ,.xnT x,则 xW A。(要会证明)2.5 举例2.5.1 n 维欧氏空间Rn中，点列依距离收敛d(xk,x)T0u依分量 收敛。2.5.2 C口空间中，点列依距离收敛d(xk,x)T0u依分量一致收敛。2.5.3 序列空间S中

7、，点列依坐标收敛。2.5.4 可测函数空间M(X):函数列依测度收敛于f,即d( fn, f) 0 = fn = f。2.6 稠密子集和可分度量空间有理数集在实数集中的稠密性， 它属于实数集中，现把稠密性推 广到一般的度量空间中。2.6.1 定义：设X是度量空间，E和M是X的两个子集，令M表 示M的闭包，如果E? M,则称集M在集E中稠密， 当时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可 数的稠密子集，则称 X为可分空间。注：可分空间与稠密集的关系：由可分空间定义知，在可分空间X中一定有稠密的可数集。这时 必有X中的有限个或可数个点 在X中稠密。2.6.2 举例n维欧式空间Rn是可分空间：坐标为

8、有理数的全体是 Rn的可数 稠密子集。离散度量空间X可分uX是可数集。（因为X中无稠密真子集，X中唯一的稠密只有 X本身）1二是不可分空间。数学知识间都有联系，现根据直线上函数连续性的定义，引进了度量空间中映射连续性的概念。3 .连续映射 3.1 定义：设（X, d）（Y, d ）是两个度量空间，T是X至U Y中的映射X0?X,如果对V £ >0, 3 8 >0 ,使对X中一切满足d （x, X0）8的x,有d（Tx,Tx0）£ ,则称T在 X0连续。（度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广， 特别，当映射是值域空间Y=R时，映射就是度量空间上的函

9、数。）注：对于连续可以用定义证明，也可以用邻域的方法证明。下面 用邻域描述：对Tx0的£ -邻域U,存在x0的某个5 邻域 V 使二，其中表示V在映射T作用下的像。 3.2 定理1:设T是度量空间（X, d）到度量空间（Y, d）中映 射，T在WX连续？当xnTxo（nT.）时，必有Txn t Tx0（nt 笛）。在映射中我们知道像与原像的概念，下面对原像给出定义。3.3 原像的定义：映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的 连续映射，称集合x I xGX, ? M? Y为集合 M在映射T下的原像，简记为T,M。可见，对于度量空间中的连续映射可以用定理来证明，也可以用原像的定义来证明

10、。3.4 定理2:度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射？ 丫中 任意开集M的原像T玉 是X中的开集（除此之外， 利用T4（M的补集）=（T，M ）的补集，可将定理中 开集改成闭集，定理也成立。）注：像开原像开，像闭原像闭，映射连续。在数学分析中有学过收敛点列，柯西点列，但研究都在R中。现在我们可类似的给出度量空间中柯西点列的概念。4 .柯西（Cauchy）点列和完备的度量空间。4.1 柯西点列的定义：设（X, d）是度量空间，4是X中的点 歹U,对卡£ >0,可正整数（£ ）,使当n , Hl >N 时，必有 d （ Xn , Xm ） < £

11、 ,则称 Xn 是X中的柯西（）点列或基本点列。【会 判断：柯西点列是有界点列】我们知道实数集的完备性，同时在学习数列收敛时，数列收 敛的充要条件是数列是列， 这由实数的完备性所致。在度量空间 中，这一结果未必成立。但在度量空间中的确存在完备的度量空 间。4.2 完备的度量空间的定义：如果度量空间（X, d）中每一个柯西点列都在（X, d）中收敛，那么 称（X, d）是完备的度量空间.但要注意，在定义中要求X中存在一点，使该柯西点列收敛到 这一点。4.3 举例（记住结论）4.3.1 有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但n维欧式空间Rn是完备的度量空间。4.3.2 在一般度量空间中，柯西点

12、列不一定收敛，但是度量空间 中的每一个收敛点列都是柯西点列：C、C口、/也是完备的度量空间。4.4 定理 完备度量空间X的子空间M是完备空间二M是X中 的闭子空间。Pa, b（表示闭区间a, b上实系数多项式 全体，作为C a , b的子空间）是不完备的度量 空间.5 .度量空间的完备化。5.1 等距映射：设（X, d） ,（x,d）是两个度量空间，T是从X到 X上的映射，即对vwX,d（）（）,则称T是等距映 射。5.2 定义：设（X, d）, （X,d）是两个度量空间，如果存在一个从 X到X上的等距映射T,则称（X, d）和（X,d）等距同囱，此时T称为X到x上的等距同构映射。（像的距 离

13、等于原像的距离）注：在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一的。5.3 定理1 （度量空间的完备化定理）：设（X, d）是度量空间， 那么一定存在完备度量空间 x =（X,d）,使X与X的某个稠密子空间 W等距同构，弁且X在等距同构下是唯一的，即若（父，孑）也是一个完备的度量空间，且 X 与父的某个稠密子空间等距同构，则（X,d）与（寅，（?） 等距同构。（不需要掌握证明但是要记住结论 ）5.2.1定理1的改述：设*= （X, d）是度量空间，那么存在唯一的 完备度量空间X= （X,d）,使X为X的 稠密子空间。6.压缩映射原理及其应用（重点内容，要求掌握弁会证明）学习完备度

14、量空间概念，就需要应用，而压缩映像原理是求 解代数方程、微分方程、积分方程，以及数值分析中迭代算法收 敛性很好的工具，另外要 学会如何求不动点。6.1 压缩映射定义：X是度量空间，T是X到X的映射，如果存在一个数a , be （0,1）,使对 v x,ywX,d（,）Wad（x,y）则 称T为压缩映射。6.2 （压缩映射定理）设 X是完备的度量空间，T是X上的压缩 映射，那么T有且仅有一个不动点（即方程，有且只有一个解）。（x是T的不动点u x是方程的解）这个定理对代数方程、微分方程、积分方程、数值分析的 解的存在性和唯一性的证明中起重要作用。6.3 压缩映射原理的应用：在众多情况下，求解各种

15、方程的问题 可以转化为求其某一映射的不动点，现在以大家熟悉的一阶常微 分方程dy = f (x, y) dx(1)为例来说明这一点。求微分方程(1)满足初始条件yM) = y0的解 与求积分方程xy(x) = y0f (x,y(t)dtx(2)等价。我们做映射x Ty(x) = y0. f (x, y(t)dtx)则方程(2)的解就转化为求y,使之满足Ty=y。也就是求这样 的y,它经映射作用后仍变为V。因此，求解方程(1)就变为求 映射T的不动点，这种求解方程变为求解映射的不动点的做法在 数学中是常用的。那么如何求解映射的不动点呢？在 R中求方程 解的逐次逼近法给了我们启示。这种迭代原理是解

16、决映射不动点问题最基本的方法。在解决 上述问题中，看到实数完备性的重要作用。代数方程、微分方程、积分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一个一般原理， 即压缩映射原理，压缩映射 原理就是某一类映射不动点存在性和惟一性问题，不动点可以通 过迭代序列求出。注：(1)从定理的证明过程中发现，迭代序列的初始值可任 意选取，最终都能收敛到惟一不动点。(2)该定理提供了近似计算不动点的误差估计公式，即n_a .:(x., Xn) 一 -：(TXo,Xo)1 - a因为完备度量空间的任何子集在原有度量下仍然是完备的， 所以定理中的压缩映射不需要在整个空间X上有定义，只要在某个闭集上有定义，且像也在

17、该闭集内，定理的结论依然成立。在实际应用过程中，有时T本身未必是压缩映射，但T的若 干次复合Tn是压缩映射，这时T仍然有惟一不动点，下面是压缩 映射原理的应用及相关证明。例1线性代数方程Ax = b均可写成如下形式x = Cx + D 其中C=(Cj)n3D=(di,d2,，dn)T。如果矩阵C满足条件 nZ Cj <1(i =1,2,，n) j 1则式(3)存在惟一解，且此解可由迭代求得。证明：取X =Rn ,定义度量为p(-,n)= maxai -bi1<<i1二(a1, a2 , ,an ) , (b1,b2 , , bn )构造映射T :X t X为Tx=Cx + D

18、 ,那么方程(3)的解等价于映射T 的不动点。又寸于 x = ( x1, x2；"L , xn ) , y = ( y1 , y2 ,，yn ),由于P(Tx，Ty) = max£ (CijXj+dj'-ZGyj+dj)1小二n=1max£ cj(xj -yj) < max! cj P(x,y)n记 a = max £ c 1封j4ija由条件a<1,因此T是压缩映像，于是T有惟24 / 22不动点，所以方程（3）有惟一解，且此解可由如下迭代序列x(k) =Cx(" - D近似计算求得。例2考察如下常微分方程的初值问题y(x

19、0)= y(0(4)如果f（x,y）在R2上连续，且关于第二元y满足Lipschitz条件,f (x, yi)-f (x, y2)| <K "治这里K>0是常数，则方程（4）在凤-6，x。+5上有惟一解（5<）oK证明：方程（4）的解等价于如下方程xy(x) = y。f(t,y(t)dtx0(5)的解。取连续函数空间Cx0-a,?+6,定义其上的映射T :Cx0 -、,x0 、 > Cx0 - ,x0 、x(Ty)(x) = y。f(t,y(t)dtx0则积分方程(5)的解等价于T的不动点。对任意两个连续函数V(x), y2(x)£Cx。-5,x。+

20、8,由于：(Tyi,Ty2)=xyx。母 Uf(t，yi一 f(t，y2dtmaxxw max J | f (t, yi (t) - f (t, y2 (t) dt x耳 x。_§,x0 母 lx0Kf |yi(t)-y2(t) dtE6Kp(y,y2)_ maxX x0,x0 至x令a = K6,则a<1,故T是压缩映射，从而T有惟一不动点,即积分方程(5)有唯一解，从而微分方程(4)在x0 5,x0+8上 有惟一解。例3 设K(s,t)是定义在a,bxa,b上的二元连续函数，则对 于任何常数九及任何给定的连续函数f(t)Ca,b,如下Volterra型积分方程tx(t) =

21、 - K(s,t)x(s)ds f (t)a(6)存在唯一解。证明：取连续函数空间Ca,b,其上定义映射T ： Ca, bT Ca,b为t(Tx)(t) K(s,t)x(s)ds f(t)a则方程(6)的解等价于T的不动点。由于K(s,.t)在a,b乂a,b上连续，于是K(s,t)在a,bMa,b有最大值，记为M ,即M = max a(s,t) :(s,t)乏a, b黑a, b对任何两个连续函数xi(t),x2(t),由于< M M (t - a) max a <sXi(s) - X2(s)=九 M (t - a) P(x1, x2)(T2Xi)(t)-(T2X2)(t)=人K(

22、s,t)(TXi)(s) (Tx2)(s)ds2 M 2 7(x1,x2) (s - a)dsa般地,因此,22九 M2(t -a)2-: (Xi，X2)对自然数n,归纳可得(TnXi)(t)-(TnX2)(t) <n nM M n(t -a)n!n-:?(Xi,X2)(s,t)Xi (s) - X2 (s)ds(Txi)(t) _(Tx2)(t)|=|K|(K注意到limnj 二二_ n nM M n(b-a)n!_ n nM M n(b-a)n!n-: (Xi，X2)n-=0,因此存在自然数n0,满足九 n°Mn0(b-a)%二a < 1n0!a<tibP(Tn

23、Xi,TnX2) =max(TnXi)(t)-(TnX2)(t)这说明Tn0是压缩映射，由压缩映射原理可知，有惟一不动点,亦即Volterra型积分方程(6)有惟一解。例4 (隐函数存在定理) 设函数f(x,y)在带状域a < x M b,< y中处处连续，且处处有关于y的偏导数fy(x,y)。如果存在常数m和M ,满足0 :二 m ± fy(x,y)三 M , m : M则方程f(x,y)=0在区间a,b上必有惟一的连续函数y=5(x)作 为解，即f (x, ：(x) =0,x a,b证明：在完备空间Ca,b中作映射T,使对于任意的函数”Ca,b,有1(T )(x) =

24、 (x)- f(x, (x)M按定理条件，f(x,y)是连续的，所以(TP)(x)也是连续的，即TqwCa,b,故T是Ca,b到Ca,b的映射。现证T是压缩映射，wCa,b由微分中值定理存在0父日<1使(T 中 2)(x) (T%)(x)| =" 2(x)1.1.Mf(x，2(x)- .(x) Mf(x，.(x)小11 小小= %(x) -%(x)-M fyx, %(x) +e(%(x) -%(x) (中2(x) -%(x)I 2(x) - 1 (x) (1 - £)M又0<m<M所以0<m<1令口=1/，贝U0<a<1且 MM(T

25、中2)(x)(T%)(x) Mu%(x)Q(x)按Ca,b中距离的定义，有P(T9TQ)叫中2(x)T(x),所以T是压缩映像，存在 中wCa,b使T =中，即中(x)三K)-2f (x3(x),即 M/f(x,Rx)m0,所以 Mf (x, (x) = 0(a < x < b)可见，压缩映射原理在处理迭代数列的收敛、微分方程定解等问题上有着重要的应用，其观点与方法已经渗透到数学的各个分支如常微分方程、数值计算，加深了各分支间的相互联系, 应用压缩映射原理解决问题也十分简洁、灵活和方便。(二)赋范线性空间1.线性空间设X是非空集合，F是实数域或复数域，称X为F上的线性 空间，如果满

26、足以下条件：对卡两个元素x, ywX , mX中惟一个元素u与之对应，u称为x 与y的和，记为u = x + y,且满足：(1)交换律 x+y = y+x(x,y w X)；(2)结合律 x+(y+z) =(x + y)+z(x, y,zw X)；(3)在X中存在一个元素e,称为零元，使x+e=x(xwX)；(4)对每个xw X ,存在-xw X ,使x +(x), -x称为x的负元。对任意数a w F及xw X ,存在X中惟一元素v与之对应，记为 v=ax,称为a与x的数乘，且满足：(1 )结合律 a(Px) =(aP )x (豆,P)W F, x w X :(2) 1x = x;(3)数乘

27、对加法分配律(a + B )x =c(x + Px ；(4)加法对数乘分配律a(x + y) =ax十By。如果F=R,称X为实线性空间；如果F=C (复数域)，称X 为复线性空间 对于线性空间：X是线性空间（满足加法和数乘运算），Y是X的非空子集， 任意x,ywY及任意a ?R ,都有x+yw Y及axw Y,那么Y按X中加法 和数乘运算也成为线性空间，称为X的子空间，X和0是平凡子空间。若X#Y,则称Y是X的真子空间。2.赋范线性空间和巴拿赫（）空间（重点内容）2.1 定义：设X为实（或复）的线性空间，如果对每一个向量XWX, 有一个确定的实数，记为I X I与之对应，弁且满 足：（1）

28、I X I >0 且 |x|=0 U0（2） |ax|二a|x其中a为任意实（复）数 I I < I X I + I y I x,y w X则称| X |为向量X的范数，称X按范数| X |成为 赋范线性空间扩展：| X |是X的连续函数。（要会证明）设 Xn是X中的点列，如果：3xWX ,使I Xn-X | t0（R7 OO）则称 Xn依范数收敛于x,记为xnT x （n7°°）或limxn = x如果令d（X, y） = | |（x,yWX）, xn依范数收敛于X= 4按距离d （x, y）收敛于X,称d （x, y）为是由范数I x |导出的距离。注意：线

29、性贱范空间一定是度量空间，反过来不一定成立。2.2完备的线性赋范空间称为巴拿赫()空间2.2.1 巴拿赫空间的举例n维欧式空间R昔误！Ca , b 严L错误！ a, b (p2)ip 2.2.2 其他：霍尔德(不等式)：bIIW-g £ f p gp ； p闵可夫斯基不等式：f+g - f gj。(记住结论弁会应用)二、有界线性算子和连续线性泛函1 .算子定义：赋范线性空间 X到另一个赋范线性空间 Y的映射， 被称为算子，如果Y是数域，则被称为泛函。2 .线性算子和线性泛函2.1 定义：设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间， D(?) 是X的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对任

30、何 x, y G d及数%都有T()(1)T ( a x) =a则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义 域，记为D (T), TD称为T的值域记为R(T),当T 取值于实(或复)数域时，称 T为实(或复)线性泛函。2.2 几种常见的线性算子和线性泛函的例子：相似算子ax 当a =1时为恒等算子；当a =0时为零 算子；P0 , 1是0, 1上的多项式全体，定义微分算子： (Tx) (t尸 dx(t),dt若 10G 0 , 1,对 vx?P0, 1,定义 f (x) ' 3 则 f 是P0, 1上的线性泛函。积分算子：xGCa, b (t) =/错误！x&)dT由积分 线性性质知T为线性算子，若令f(x)= /错误！ xa) di则f是Ca , b中的线性泛函乘法算子：xGCa, b (t) (t)R昔误！中的线性变换是线性算子3 .有界线性算子3.1 定义：设X和Y是两个线性赋范空间，T是X的线性子空间 D (T)到Y中线性