专题01抽象问题有形化,破解抽象函数难题(解析版)

1、2020高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第一篇函数与导数专题01抽象问题有形化，破解抽象函数难题一.方法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数.由于抽象函 数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生 感觉无从下手，望而生畏.事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的基本性质，熟知我们所学的基 本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了.具体的可概括为函数性质法、赋 值法和构造函数法.类型一函数性质法【例1】【2020届重庆一模】已知定义在R上的函数f x满足f x偶函数，若f X

2、在0,3内单调递减,则下面结论正确的是(A. f 4.5 f3.5 f12.5B.f 3.5 f4.5f12.5C. f 12.5 f3.5 f4.5D.f 3.5 f12.5f4.512 / 10f (x)f (12.5) =f (12+0.5) =f (0.5),4.5f 4.5f 1.5又y f x 3为偶函数，.f (x)的对称轴为(3.5) =f (2.5),又. 0v0.5v1.5v2.5v3,且 f x 在(0, 3)内单调递减,.f (2.5) v f (1.5) vf (0.5),即 f (3.5) 0)f(x)若 f(x + a) = f(x + b)(a w b),则 T

3、= |a b| ;若 f(2a -x) =f(x)且 f(2b x)=f(x)(a wb),则 T=2|b a|.(5)奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.【举一反三】【2020届湖北荆门一中一模】f(x)是定义在实数集 R上的奇函数，x R,f(1 x) f(1 x),若 f (1)1,则 f (1)22f (2)32f (3)102f(10) .【答案】49【解析】Q f(x)是定义在R上的奇函数，满足 f(1 x) f(1 x),f (1 x) f (1 x) f (x 1),且函数 f(x)关于 x 1 对称，即f(x 2) f

4、(x),即f (x 4) f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数，Q f(0) 0 , f (1)1f f(0) 0, f (3) f (1 2) f (1 2) f( 1) f (1)1,f (4)f(0) 0,所以 f (1) f (5) f (9)1f (2)f (6)f(10) 0f (3)f12, 、23 f 10 f (10)0 25 1 36 0 49 ( 1)64 0 81 1 100 0 49.f (4)f(8)0,所以 f(1)22 f(2)1 409( 1)16故答案为：49.类型二赋值法【例2】【2020届洛阳一高一模】若函数f x满足对其定义域内任意x1, x2

5、,都有f x1x2f x1x21成立.(1)求h 1的值;(2)求h , 201812017h 2018的值. h x1 ?x2x2又2(2)令 x1 ?x21,则有hxih乂2X1hX2h81 o271 o21-2h1 - 3hh 20181h 3 L h h 201820181 2017 2 4035.【指点迷津】根据对题目给出的抽象的函数性质的理解，将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值，把抽象函数问题化为具体的数学问题，从而问题得解【举一反三】【2020届山西运城一中期末】 定义在R上的函数f X满足f 0 0,且当x 0时，f x 1 ,对

6、任意a, b R,均有fab fa f b .(1)求证：对任意x r,恒有f x 0；(2)求证：f x是R上的增函数；(3)若f x f 2x x21,求x的取值范围.【解析】 证明：令a=b=0,得f (0)=f2(0),又因为f(0)韦 所以f (0)=1.1C当 x 0,所以 f (0) =f(x) f ( x) =1,即 f x 0,T x又因为x 0时，f x 1 0,所以任意xC R,恒有f (x) 0.(2)证明：设 x1 x2,则 x2 x1 0,所以 f (x2)=f (x2-x1)+x1=f (x2x1) f (x1).因为 x2 x10 ,所以 f (x2x1)1,又

7、 f (x1) 0,则f %x1) f (x1) f (刈，即f (x2) f (刈,所以f(x)是R上的增函数.(3)由 f (x)f-(2x x2) 1, f (0)=1 得 f (3x x2) f (0),又由f (x)为增函数，所以3x x2 0 ? 0 x 3.故x的取值范围是(0, 3).类型三构造函数法【例3】【2020届湖南株洲一高一模】已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f (x),对任意x (0,),有 f (x)sin x f(x)cosx 且 f(x) f ( x) 0 设 a 2f , b V2f , c f ，则 642( )A. abcB. bcaC. a c

8、bD. cba【答案】Df (x)、 f(x)sin x f (x)cos x【斛析】 构造函数 g (x) ，则 g (x) 2，又 f (x)sin x f (x) cosx,sin xsin x故 gx)f(x)sinx 2 f(x)C0Sx 0.g(x) 位 在 x (0,)上单调递减.sin xsin x又f(x) f( x) 0,故f(x)为奇函数，故g(x) fx)为偶函数. sin x又 a 2f g( ),b2f g ,c f g .664422f(x)又偶函数g(x) 在x (0,)上单调递减.故g(二)g() g g sin x6642故c b a,故选D【指点迷津】导数

9、、不等式、函数相结合的问题，往往考查函数的单调性、大小比较、解不等式等 ，问题的关键点在于利用好已知条件中含有原函数和它的导函数的式子，考虑用构造函数法，通过构造函数，使抽象函数问题具体化.如本题从f(x) + f(x) 。)，从而可以用上已知条件来判断函数 单调性，进一步达到比较大小的目的.一般：(1)条件含有(2+(由,就构造q 二炉咫,(2)若了(力-r，就构造目三誓，4+吗,就构造修(力二泮心),(4)2/0。一广就构造 98 -空, 等便于给出导数时联想构造函数.【举一反三】【2020届福建泉州一中期末】已知定义在R上的连续函数f X满足f X f 4 X ,且f 20, f x为函

10、数f x的导函数，当x2时，有fx f x 0,则不等式x f x 0的解集为()A. 0,6B.2,0C., 2D., 2 U 0,6【答案】D【解析】g(x) exf(x),(x 2),g(x) exf(x) exf (x) ex f(x) f (x)0,g(x)在(，2)单调递增，g( 2) e2f( 2) 0,当 x (, 2)时，g(x) 0,当 x ( 2,2)时，g(x) 0,2)时,f (x)又 ex0,(2,2)时,f (x) 0,又f(x)满足f xf (x)图象关于直线x 2对称,不等式(2,6)时,f(x),2)x f x 0等价于x 0, f(x)或0,x 0, f(

11、x)(6,)时，f(x) 0,0,解得：x , 2 U 0,6 ,故选D三.强化训练1.12020届安徽庐山阳一中期末】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x) f(2 x),则f (1)f (2) f (3)f(20)A.20B. 0C. 2D.20【解析】根据题意，定义域为 ()的奇函数f(x)满足f(x)f(2x)f(x) f(2 x) f( x),变形可得：f(x 2) f(x),则有f (x 4) f (x 2) f(x)即函数f(x)是周期为4的周期函数，又由f(0) f (4) 0(3)f(1)f (1)f (4)f(0) 0 ,故 f (1) f (2) f (3)f

12、 (20) 5f (1) f(3)(4)2.12020届重庆广益中学校月考】已知函数f x是定义在R上的偶函数,且在0,上是增函数，若对任意x1,，都有f x a2x1恒成立，则实数a的取值范围是(A.2,0B.C.2,D.,0x为偶函数且在0,上是增函数,0上是减函数对任意x1,都有f x a2x 1恒成立等价于2x2x 1a 2x 13x 1 a x 13x 1maxa x 1 min当x 1时,取得两个最值3.12020届广东惠州中学模拟】已知定义在R上的偶函数f时，f0,6上函数f x的图象与x轴的交点的个数为(A. 6B. 7c.D. 9因为fx是R上偶函数，且满足令 x+1=t，则

13、 x t 1. ft f t 2 ； f x是最小正周期为2的周期函数,2时，f x3一一 _ x x 0解得x0或x 1 ,0在区间0,6上解的个数为6,又因为f6 f 00,故f x 0在区间0,6上解的个数为7,即函数yf x的图象在区间 0,6上与x轴的交点的个数为7,故选B.4.12020届浙江高三专练】已知函数yf x是定义域为R的偶函数，且x在0,上单调递增,则不等式f 2x 1f x 2的解集为A.1,1B.1,C.1,D.0,1【解析】Q函数y为偶函数，则由 f 2x 1得 f 2x 1Q函数y f0,上单调递增,2x2,-2即2x 1化简得x2 1因此，不等式f 2x 12

14、的解集为1,故选B.5.12020届河北高三月考】定义在R上的偶函数f (x)满足f (x 3) f(x)x ,x20,3且 xX2,都有f (Xi) f (x2)XiX2A. f(49)f(64)f(81)B.f(49)f(81)f(64)C. f(64)f(49)f(81)D.f(64)f(81)f(49)【解析】因为f(x 3) f(x)所以f(x 6)f(x3) f x ,及f x是周期为6的函数，结合f(x)是偶函数可得，f(49) f 1 , f (64) f 2 f 2 , f (81) f 3 f 3 ,由 Xi,X2 0,3且 入f(Xl) f(X2)X2 ,Xi X20得f

15、(x)在0,3上递增,因此 f(1) f(2)f(3),即 f(49)f(64)f(81),故选 a.6.12020届江西抚州二中期末】已知对任意实数X 都有 f X3eXf X , f 0f x a x 2 (其中a 1)的解集中恰有两个整数，则 a的取值范围是(A.4 1 , 3e 2B.3e74C. 2 , 一4e 3eD.7 12 , 一4e 2由 f (x)3ex f(x),f(0)1 得 f (x) (3x1)eX根据图像，欲使解集中恰有两个整数，则比较点2,0与四个点(1,2e),(0,1),(1,-) e2,741线的斜率，由2e2一一可得a4e3e24e23e,一),故选C.

16、7.12020江西南临川二中一模】已知f(x)是定义域为()的奇函数,满足f(1x)f(1x)f (1)2,则 f (1) f (3)f (2020)(A. 50B. 2C. 0D. 50【解析】根据题意,f (x)是定义域为)的奇函数,f( x)f(x),且 f(0)0；又由f(1x) f(1x)即有 f(x 2)f(x),则 f(x 2)进而彳#到f (x 4)f (x 2) f (x) , f(x)为周期为4的函数,若 f (1)2,可得 f (3)f( 1) f (1)2 ,f f(0) 0, f (4)则 f (1) f (2)f (3)f(0) 0 ,f (4)20200,则 f

17、(1) f (2)f (3)f (2020) 505 f (1) f (2)f (3) f (4) 0;8.12020届甘肃甘南一中期末】定义在实数集R上的不恒为零的偶函数f(x)满足xf(x 2) (x 2) f (x),则 ff(2019) .【考点】0【解析】由 xf(x 2) (x 2)f(x),得 f(x 2) fX,设 g(x) f(，则 g(x 2) g(x),即 g(x)是周期 x 2 xx为2的周期函数，Q f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，则当x 1时，g( 1 2) g(1),即g (1) g (1),得 g (1) 0.又 g(0) 0,则 g( 1) 0,贝 Ug

18、(2019) g(2018 1) g (1) 0 ,即 f (2019) 0,得 f(2019) 0, 2019贝U f f (2019) f (0),当 x 0 时，0 f (2) 2f (0) 0 ,即 ff (2019) f (0) 0 .9.12020届江苏盐城一中期末】)已知定义在(0,)上的函数f(x)的导函数为f(x),且xf(x) f(x) 0,则(x 1)f(x D f (3)的解集为3【答案】x|1 x 4【解析】令 g(x) xf(x)(x 0),则 g (x) xf (x) f (x) 0 ,所以函数g(x) xf(x)在(0,)上单调递减，因为 (x 1)f(x 1)f(3), (x 1)f(x 1) 3f(3),即 g(x 1) g(3),3x 1 0所以，解得1 x 4.x 1 310.【山西大学附属中学2019届9月诊断】已知函数f(x)在(一1, 1)上有定义，当且仅当 0Vx1时f(x)0,且对任意x、yC( 1,1)都有f(x)+f(y)=f(表;)，试证明： (1)f(x)为奇函数；(2)f(x) 在(一1, 1)上单调递减.【解析】证明：(1)由 f(x)+f(y)=f(或言)可令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y= x,得