高中数学一轮复习(九)立体几何

1、高中数学一轮复习（九）立体几何第一部分立体几何初步一、柱、锥、台、球的结构特征1、棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD'几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平 行于底面的截面是与底面全等的多边形。2、棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角

2、形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥p a'b'c'd'e'几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，具相似比等于顶点到截面距离 与高的比的平方。3、棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台 p a'b'c'd'e'几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱定义：

3、以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩 形。5、圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。6、圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。7、球体定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。二、空间几何体的三视图

4、定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。三、空间几何体的直观图一一斜二测画法斜二测画法特点：原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。四、柱体、锥体、台体的表面积与体积1.几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。2.特殊几何体表面积公式（c为底面周长,h为高，h为斜高，l为母线）S直棱柱侧面积ch

5、S圆柱侧2 rhS正棱锥侧面积1ch2S圆锥侧面积rlS正棱台侧面积126 cm台侧面积(rR) lS圆柱表锥表S圆台表3.柱体、r2 rl RlR2锥体、台体的体积公式V柱 Sh,V圆柱 Sh r2h1Sh 3V圆锥1 r2h34 1(s's,s S)hV圆台 1(S SS S)h12_ _2-(rrR R )h3上武犷人 v上.减你小大I卜腐塘小4324.球体的表面积和体积公式：Vs = R ； S求面=4 R3第二部分 空间点、直线、平面的位置关系一、平面1.平面的表示：通常用希腊字母a、屋丫表示，如平面a （通常写在一个锐角内）；也可以用两个 相对顶点的字母来表示，如平面 BG

6、2.点与平面的关系: 点与直线的关系： 直线与平面的关系点A在平面内， 点A的直线l上, :直线l在平面a记作A ;点A不在平面 内，记作A记作：AC l ； 点A在直线l外，记作A l ； 内，记作l a ;直线l不在平面a内,记作l3 .公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：ACBCACBC4 .公理2:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。它是证明平面重合的依据

7、a、 BC a、 CC a。公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据符号表示为：A、B、C三点不共线=> 有且只有一个平面a,使 ACA B C ,强调：公理12c亍具有传递性，在平面、空间这个性质都适用5 .公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面a和B相交，交线是a,记作a AB = a。符号语言：P AI B AI B l,P l公理3的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。6 .公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行

8、符号表示为：设a、b、c是三条直线a / b异面直线定义： 异面直线性质： 异面直线判定： 异面直线所成角公理4作用：判断空间两条直线平行的依据7 .空间直线与直线之间的位置关系不同在任何一个平面内的两条直线既不平行，又不相交。过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线:直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O,分别引直线a' / a, b' / b,则把直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围 是（0。，90。,若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这 两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定

9、空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点 O是任取的，而和点O的位置无关。（3）求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某 个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 G利用三角形来求角8 .等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。9 .空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内：有无数个公共点.直线不在平面内 便交一一只有一个公共点.（或直线在平面外），平行一一没有公共点.三种位置关系的符号表小：a a a Ca = A a /a10 .

10、平面与平面之间的位置关系： 平行：没有公共点；a / B 相交：有一条公共直线。a n B =二、空间中的平行问题1.直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行 简记为：线线平行线面平行符号表示：a C a b 匚 B 卜a /aa / b线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行符号表示：a / aa 二 B=>a/ ba C B = b -作用：利用该定理可解决直线间的平行问题2、平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一

11、个平面内的 两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行一面面平行）.3_7符号表示：二 /a 仁 B Z£-/b 匚0 a nb = P => B/a（2）女少在两个平面内，勺夕两组相交直线对应平幺力,涡B布两仰毕利印帚 B / a 力1线平行一面面平成，b / a /（3f标直丁同一条直线而两个平面平行,3.两个平面平行的性质定理a/paAy= a=>a/ b（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行一线面平行） （2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面加平行一线线平行） 符号表示：B C =

12、= b -作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行三、空间中的垂直问题1 .线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形） 是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。2 .垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平

13、行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。四、空间角问题1 .直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为0。两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线a, b平行的直线a, b ,形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。2 .直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为 0。 平面的垂线与平面所成的角：规

14、定为 90 。平面的斜线与平面所成的角： 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过 斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。3 .二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个

15、面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时， 过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的 平面角第三部分立体几何中的向量方法一、利用方向向量证明平行、垂直1、直线的方向向量与平面的法向量的确定l是空间一直线，A, B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量，与A并行的任意非零向量也

16、是直线l的方向向量。2、用向量证明空间中的平行关系（1）线线平行：设直线ll和l 2的方向向量分别为V1和V2,则ll/l2（或l1与l2重合）？ V1 / V2.（2）线面平行：设直线l的方向向量为V,平面a的法向量为U,则l / a或l ? a ? v，u. 设直线l的方向向量为V,与平面a共面的两个不共线向量 V1和V2,则l / a或l ? a?存在两个实数Xy,使 v = xvi + yv2.（3）面面平行：设平面a和B的法向量分别为Ui, U2,则a / B ? Ui / U2.3、用向量证明空间中的垂直关系（1）线线垂直：设直线ll和12的方向向量分别为V1和V2,则l ill

17、2? V1±V2? V1 - V2=0.（2）线面垂直：设直线l的方向向量为V,平面a的法向量为U,则l，a? V/ U.（3）面面垂直：设平面a和0的法向量分别为Ui和U2,则a，B ? UiX U2? Ui , U2= 0.例 如图所示，在正方体 ABCDAiBGD中，M N分别是GC BG的中点.求证：MN/平面ABD二、平面的法向量的求法1.在几何不中找平面的垂浅对应的有向线段作为平面的法向量:2、在空间宜角坐标系中利用向量的坐标运算耒求法向坦：问题：已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个浊总量？在左向育角坐标系中.已知其（3,口,口）, 8（0,%。）.C（0,

18、O.2）.试求平面ABC的一b法向呈，解:设甲面I5口的一法向量为G .x.LG问题:如何求平面的法向量？ 设平面的法向量为=（工门,二）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的*坐标仃=（11也41）用=（«,血根据法向量的定义建式关于工内迷的方程1H/=0解方程组取其中的一球即得法向量练习工在三棱锥P ABC中，PA_L平面ABC, NBAC=90* , AB=2, AC=PA=1, 求平面PRC的一个法向量。三，利用平面的法向量求空间角/ L求直线和平面所成的角./ A如图图2所示,设PA与平面点的4-图2注向量杵所在直线所成的用为g ,则也与优所成的用为k-9， I（其二dos

19、 吕二 OU& < PArn >| J所以：设直理f,切的方向向量分别为；1平面见尸的法向量分弱为双尸.则直线:与平面由所成的角为？ SW色上引（?2例工如图（图3）所示，在四棱链PABCD中，底面ABC口是正方形,PAJ底面 ABCD, AE1PD, EF/CD, PA-3AB,求支线AC与平13加印所成角的正弦值.Z°吁RT2 .直线与直线所成的角：3.求二曲角的大小.超直线/.闭所成的角为6(0V6W；),cos设“x 分别为斗的a,/?的法向量,二为角a / /7的大小为。9向量,？的夹角为夕,则有0+9 =不(图4)或0 q> (困5)八M四、利用

20、法向量求距离1 .求点到平面的花态利用法向量求点30巨离的基本思路是，如冬乙 点P为邛面a外一点，点A为平面 a为任一点，平面的法向量为八 过点P作平面a的垂线PH,记PA和所或的角为。, 则P理平面a的距离公式为：PA -n| PH h| PH h| PA | cos-一"-IH例4.如图8所示，在三棱键S-ABC中，AABC是 边长为4的正三角形，平面SAC_L平面ABC,SA-5C-2n/3 , M、N 分别为 AB、5B 的中点，(1)证明：AC±SB ；(2)求二面角N -CM -B的大小:(3)求点B到平而CMN的正离n2 .求异面直线的距离两异面直线间的距离可

21、先求得两百我的公 共“法向量”(即与两直线都垂直的向量)，然后 在两直线上各取一点，求出过这两点的向量在 法向量上的射影长就是两异面直线间的距离.如图7,设A、B分别为异面直线。、6上的 两点，；为与a、5都垂直的向量. PQ为两异面宣线。、5的距离.则P0 J丝二例5.已知正方体ABCD-A】BiJDi的校长是2, M、N分别为仆BB】的中点，求(1) 异重直毁AM与CN所成的角 (2)求异面直线AM与CN的距离.应用平面的法向量解决立体几何问笆的一般步骤是，(1)建立空间直角坐标系并写出相应的点与向量的坐标；(2)由法向量的定义求出平面的法向量；(3)由向量代数的有关知识判定平面的法向量与

22、对应向量的关系(共线、垂直、夹角 及距离等):,根据鹿目前要求得出问题的绍果，练习：L 如图，在长方体ABCDAiBiCiDj中，AD-AAi-1. AB三2,点E在棱AB上移动, (1)证明：D】E，AD： (2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距禺；(3)AE等于何值时，二面角DlECD的大小为2.如图.已知ABCD是边长为4的正方形，E, F分别是AD, AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC = 2,求点B到平面FEG的更甚 入DE A已知点P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA1平面ABCD，Q是线段PA的中点，AB=3, BC=4. PA=6,求点P到平面BQD的

23、距离练习题（一）一、选择题：1、已知a （Q i,i）,b （1,2, i）,则a与b的夹角等于90°B. 30°C. 60°D. 150°2、设M、O、A、B、C是空间的点，则使M、A、 B、C 一定共面的等式是A. OM OA OB OC 0B. OMC- OM - -OA Iqb- Iqc-d. MA2343、下列命题不正确的是A.过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；2OA OB OCMB MC 0B.如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直;C.两异面直线的公垂线有且只有一条；D.如果两个平行平面同时与第三个

24、平面相交，则它们的交线平行。4、若m、n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确的个数为m/nmn mnmm/mnm nnn/m nA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是A.各侧面是正三角形C.各侧面三角形的顶角为45度B.底面是正方形D.顶点到底面的射影在底面对角线的交点上1+2 丫）关于y轴的对称点是B （ 4入，9, 7 丫），则入，g 丫的值依次为B.2, 5,7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱,C. - 3则顶点数-5, 8D. 2, 5, 8V与面数F满足的关系式是A. 2F+V=4B. 2F-V=4C. 2F+V=2D. )

25、2F V=28、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为A 93A .2-33B .49,则该正三棱锥的体积是c 3.3C.2c 9 3D.49、正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱 AB, BB1的中点,A1E与C1F所成的角是九则B. 0 =450C. cosD. sin10、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是A.2：nB.1：2 nC. 1：nD.4：3 n11、设A, B, C, D是空间不共面的四点，且满足 AB AC 0 , AC AD 0 , AB AD 0,则4 BCD是A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D

26、.不确定，若 60 ° ,120 ° ,则折后两条对角线之间12、将 B=600,边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成二面角的距离的最值为33丁，最大值为2B.最小值为 丁，最大值为4C.最小值为二、填空题：1_3_4 ,最大值为丁D.最小值为4 ,最大值为r13、已知向量a、|b| = 6, a与 b 的夹角为 万，则 31a| 2 ( a b ) +4|b | 二14、如图，在四棱锥P-ABCD中,E为CD上的动点，四边形ABCD为时，体积Vp-aeb恒为定值(写上你认为正确的一个答案即可).PB和图心儿2215、右棱锥底面面积为 150cm ,平行于底面的截面面积是

27、54cm ,底面和这个截面的距离是 12cm,则棱锥的局16、一个四面体的所有棱长都是五，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为三、解答题：(本大题共6题，共46分)17.在如图7-26所示的三棱锥 P ABC中，PAL平面 ABC , PA=AC=1 , PC=BC , 平面ABC所成的角为30°。(1)求证：平面PBCL平面PAC;(2)比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小；(3)求AB的中点M到直线PC的距离。18 .如图8-32,在正三棱柱 ABCA1B1C1中，ECBBi,截面 AiECL侧面 ACi。(1)求证：BE=EBi；(2)若AAi=AiBi,求平面

28、AiEC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数。19 .如图7-29,在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是平行四边形，/ BAD=60 ° , AB=4 ,AD=2 ,侧棱 PB= v115 ， PD= J3。(1)求证：BD，平面PAD ;(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角 P-BC-A的大小。20.如图7-30,已知 VC是4ABC所在平面的一条斜线，点 N是V在平面 ABC上的射影，且 N位于 ABC的 高CD上。AB=a,VC 与AB之间的距离为 h, M C VC。(1)证明/ MDC是二面角 MABC的平面角；(2)当/ MDC= ZC

29、VN 时，证明 VCL平面 AMB ;(3)若/ MDC= ZCVN= 0 (0。一),求四面体 MABC 的体积。21.如图7-31,已知矩形 ABCD , AB=2AD=2a,E是CD边的中点，以 AE为棱，将 DAE向上折起，将 D变到 D'的位置，使面 D' AE与面ABCE成直二面角(图 7-32)。(1)求直线D' B与平面ABCE所成的角的正切值；(2)求证：AD ' ± BE;(3)求四棱锥 D' -ABCE的体积；(4)求异面直线 AD '与BC所成的角。练习题(二)一、选择题1 .设m，n是两条不同的直线是两个不同的

30、平面，下列命题中正确的是A.若n ，贝 U m n b .若 1I , mn ，则 m nC.若mn ，则D.若 m , m/n, n/ ,则2.已知正四棱锥ABCDABO 中,AA 2AB,则CD与平面BDCi所成角 的正弦值等于3.在空间中，过点A作平面的垂线,垂足为B ,记B f （A）.设,是两个不同的平面,对空间任意一点P, Qif f (P),Q2f f (P),恒有 PQi PQ2,则A.平面与平面 垂直B.平面 与平面所成的（锐）二面角为450C.平面与平面 平行D.平面 与平面所成的（锐）二面角为6004 ,若两个球的表面积之比为 1:4，则这两个球的体积之比为A. 1:2C

31、. 1:85 .某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是1:16第5题图A. 414B . 316C. 36.已知三棱柱ABCAB1。1的侧棱与底面垂直，体积为4 ,底面是边长为J3的正三角形.若P为底面AB1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为A. 12C. 47.已知三棱柱ABCABQ1的6个顶点都在球 O的球面上，若 AB 3, AC 4, AB AC, AA112 ,则球。的半径为A.3 17D . 3.102，则（）8 .已知m,n为异面直线,m 平面 ,n 平面 .直线l满足l m, l n,l , lA. /，且 l C. 与相交，且交线垂直于lB. ，且 lD. 与

32、 相交，且交线平行于l4, AB AC, AA1 12,则球。的9.已知三棱柱 ABC AB1C1的6个顶点都在球。的球面上，若AB 3, AC半径为3,17 A.B. 2. 10C.13D. 3 1010.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且AB PCD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为 m,n,那么m n( )A. 8B. 9C. 10D. 11图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为(11 .一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyzH勺坐标分别是（1,0,1）,（1,1,0）,（0,1,1）,镌0）面体三视图中的正视12 .在下列命题

33、中，不是公理 的是 A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线、填空题:13 .某四棱锥的三视图如图所示 ，该四棱锥白体积为 侧（左）视图14 .在xOy平面上，将两个半圆弧（x 1）2 y2 1（x 1）和（x 3）2 y2 1（x 3）、两条直线y 1和y 1围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过（0, y）（|y| 1）作 的水平截面，所得截面面积为4也 y2 8

34、，试利用祖附I原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为15 .某几何体的三视图如图所示，则其体积为 16 .已知圆柱的母线长为1,底面半径为r,O是上地面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点 ，BC是母线，如图.若方线OA与BC所成角的大小为 ，则1.6 r解答题:17 .如图，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D 中,AB/CD,AD，AB,AB=2,AD=2,AA1=3,E 为 CD上一点，DE=1,EC=3(1)证明：BE,平面BBGC;(2)求点B1到平面EA1C1的距离C18 .如图，四棱锥 P ABCD 中，PA 底面 ABCD,BC CD 2, AC 4, ACB A

35、CD ,F 为PC 的中 3点，AF PB.(1)求PA的长；(2)求二面角B AF D的正弦值.君题Q9)图19 .如图，在四面体 A BCD中，AD 平面BCD,BC CD, AD 2, BD 2 J2 . M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ 3QC .(1)证明：PQ/平面BCD;(2)若二面角C BM D的大小为600，求 BDC的大小.C(第19题图)20 .如图，在正三棱锥 ABC A B1C1中，AAi 6,异面直线BCi与AAi所成角的大小为一，求该三棱柱的体积 621如图，在长方体ABCD-AB1C1D1中,AB=2,AD=1,AiA=1,证明直线BC平

36、行于平面 DAC,并求直线BC到平面DAC的距离.nBE Q O为BC的22.如图1,在等腰直角三角形 ABC中，A 90 , BC 6, D,E分别是AC, AB上的点，CD 中点.将 ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥 A BCDE,其中AO J3 . (I)证明：AO 平面BCDE; ( n)求二面角 A CD B的平面角的余弦值.练习题(1)参考答案一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、C 5、A 6、B 7、B 8、B 9、C 10、C 11、C 12、B二、填空题：13、23 14、AB/ CD 15、30cm 16、3三、解答题17.解(1)由已知PAL平面ABC , P

37、A=AC=1 ,得 PAC为等腰直角三角形， PC=CB= J2在RtA PAB中，/ PBA=30 ° ,. PB=2 ,. PCB为等腰直角三角形。. PA，平面 ABC , AC ± BC ,又 ACAPC=C, PCX BC ,BC，平面 PAC, .BC三平面PBC,平面 PBC,平面 PAC。(2)三个侧面及底面都是直角三角形，求得侧面 PAC的面积为1 ,侧面PAB面积值为22,侧面PCB面积值为1,底面积值为匚。三个侧面面积的算术平均数为23.36.3 、3 、2 _ 33 3、26- 2 -6，其中 3+J3- 3& （3-2、/2） + （杂-鬼

38、）=（废-黑）+ （串-?） >0,三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值。（3）如图，过M作MDLAC,垂足为D。平面 PACL平面 ABC且相交于 AC,，MD，平面PAC。过D作DEL PC,垂足为 E,连结 ME ,则DE是ME在平面PBC上的射影，. DEXPC,MEXPC, ME的长度即是 M至U PC的距离。在 RtA ABC 中，MD / BC,. MD= 1BC= ° 在等腰 RtA PAC 中，DE=DCsin45 ° =,224在 RtA ABC 中，MD / BC,. MD= 1BC=出。在等腰 RtA PAC 中，DE=DCsin45 &#

39、176; =, 224ME= JMD 2DE2 = J1 1 =q0 ,即点M至ij PC的距离为 占"。,2 84418.解(1)在截面 AiEC内，过E作EG± AiC, G是垂足。二.面 AiECL面ACi,EG,侧面 ACi,取AC的中点 F,连结 BF, FG,由 AB=BC 得 BFAC。二.面 ABC，侧面 AC1，. BFL侧面 ACi,得 BF/EG。由 BF, EG确定一个平面，交侧面 ACi于FG。.BE/侧面ACi ,BE/ FG,四边形BEGF是平行四边形，BE=FG。; BE II AA 1, FG / AAi。又' AA iCA FGC

40、,且 AF=FC ,. FG=-AAi = - BBi,即 BE= 1BB 1,故 BE=EB 1。222(2)分别延长 CE、C1B1 交于点 D,连结 AiD。. EB1/CC1, EBi= 1 BBi= 1 CC1 ,DBi = - DCi=BiCi=AiBio222 Z BiAiCi = Z BiCiAi=60° , / DAiBi= / A1DB 1= 1 (180° -/DBiAi)=30° , . . / DA iCi= / DA 1B1+/ B1AiCi=90° ,2即DAiAiCi。CCd平面A1C1B1,即AiCi是AiC在平面AiC

41、iD上的射影，根据三垂线定理得DAAiCi,/ CA1C1 是所求二面角的平面角。.CCi= AA i=AiBi=AiCi, / A iCiC=90 °/ CA iCi=45 ° ,即所求二面角为 45° 。19.解 (1)由已知 AB=4 , AD=2 , / BAD=601得 BD2=AD 2+AB 2-2AD - ABcos60 =4+16-2 X2X4X =12。2AB 2=AD 2+BD2,ABD是直角三角形，/ ADB=90 ° , 即 AD ±BDo在 PDB 中，PD= <3 , PB= v,15 , BD= <12

42、 ,. . PB2=pd2+BD2,故得 PDXBDo 又 PD A AD=D , BD，平面 PAD。(2) . BD,平面 PAD , BD平面 ABCD ,，平面 PAD，平面 ABCD 。作PEXAD于E,又PES平面PAD,PEL平面 ABCD / PDE是PD与底面BCD所成的角，PDE=60 ° ,PE=PDsin60 ° = *后 =3O 22作 EFXBC 于 F,连 PF,则 PF± BC ,/ PFE 是二面角P-BC-A的平面角。又 EF=BD=照，.,.在 RtPEF 中,tan/PFE=3_PE 2.3= OEF 234故二面角P BC

43、 A的大小为arctan33。420.解 （1）由已知,VN，平面 ABC , N CD, AB墓平面ABC得 VN LAB。又 CDAB , DC n VN=NAB，平面 VNC。又V、M、N、D都在VNC所在平面内，所以,DM 与VN必相交，且 AB ± DM , AB ± CD ,/ MDC为二面角 MABC的平面角。(2)由已知，/ MDC= / CVN ,在4VNC 与4DMC 中，/ NCV= / MCD ,且/ VNC=90 ./ DMC= /VNC=90,故有DM±VCo 又 AB ±VC ,VC，平面 AMB 。(3)由(1)、 ( 2

44、)得 MD ±AB , MD=h。又. / MDC= 0 .二在 RtAMDC 中，CM=h tan。. V 四面体 MABC =V 三棱锥 C ABM = CM -3MD ±VC ,且 DC ABS ABM1=h 321.解，平面作D'tan 0 ah = ah2tan 026(1) D AEB 是直二面角，D' AE,平面 ABCE。O±AE于。，连OB,则D' O,平面ABCE 。./D' BO是直线D' B与平面ABCE所成的角。. D' A=D ' E=a,且 D ' OAE 于 O, /

45、AD ' E=90.O是AE的中点，AO=OE=D ' O= - a, / D ' AE= / BAO=452在4 OAB 中，OB= Joa2 AB2 2 OA ABcos45、2222210；(ya)2 (2a)2 2 (a)(2a)= 在直角 D' OB 中，tan/D' BO= -D_O-=2L5OB 5(2)如图，连结BE,/ AED= / BEC=45 ° , / BEA=90 ° ,即 BE LAE 于 E。. D' O,平面 ABCE ,.D' O±BE,BE,平面BE, AD '(3

46、)四边形.o 1Sabce =一2AD E,oABCE是直角梯形,(a+2a) - a= a2o 2D'。是四棱锥的高且D' O= a,V D ABCE= ( a)323 2、(一a )2123a °4(4)作AK / BC交CE的延长线于K,D' AK是异面直线AD '与BC所成的角,四边形ABCK是矩形， . AK=BC=EK=a 。连ZOK , D ' K,OK=D 7 O= - a, /D，OK=90, D 7 K=a, AK=AD ' =D 7 K=a。.D' AK 是正三角形，D' AK=60 °

47、,即异面直线 AD '与BC成60 °练习题(2)参考答案、选择题：1. D 2. A 3. A 4.C5. B 6. B 7. C 8. D 9. C 10. A 11. A 12. A二、填空题：13. 314. 2 2 16 .15. 16.显3三、解答题：17.解：(1)证明：过B作CD的垂线交 CD于F,则BF AD .2, EF AB DE 1,FC 2在 Rt BFE 中，BE=%/3 , Rt BFC中，BC=娓.在 BCE 中，因为 BE2 BC2= 9= EC2,故 BE BC由BB1 平面ABCD,得BE BB1,所以BE 平面BB1cle1(2)二棱锯 E AB1C1 的体积 V=-AA?S a131G =短在 Rt AD1C1 中，ACi= 7ADi2 DiCi2=3/2 ,同理，EC1: JEC2 CG2=3V2 , EA= JAD_ED2 AA12=2V3因此S A1C1E 3J5 .设点B1到平面EAG的距离为d,则三棱锥B1 EAC 1的体积18.1V= ?d?S3A1EC1=J5d，从而 J5d2d40【解析】工I）如答ci9）图.连接四口文月亡于a 因为比UIUBUQ为等腰三角形，W.4C平分故AC ® 一以。为坐林原点，丽.uCi的方向分别为工釉】刖M轴的正方向,建江空间门角坐标系则。, S4 ,肉AO= A