高中数学解三角形辅导讲义

1、学科教师辅导讲义学员编号：年 级：高中课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师:课题解三角形授课时间：备课时间：教学目标重点、难点正余弦定理的运用考点及考试要求解三角形、正弦定理则a bsin A sin Bsin C在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,sin B ,又 sin C 1从而在直角三角形ABC 中,sin Ab csin B sin C对于任意的三角形可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:如图1.1-3 ,当 ABC是锐角三角形时，设边 AB上的高是CR根据任意角三角函数的定义，有a bCDwsinB bsinA，贝"百福,C同理可得sin C从而a

2、sin Absin Bcsin C过A作单位向量j垂直于AC由 AC+ CB= AB两边同乘以单位向量 j得j ?（ AC+CB尸j ? AB则 j ?AC+ j ?CB= j ?ABasinC csinAsin A sinC同理，若过C作j垂直于CB得:c = bsinC sin Bsin A sin B sinC从而sin A sin B sin C| j |?| AC |cos90+| j |?|CB |cos(90C)=| j |?| AB |cos(90A)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin A sin B sin C正弦定理说明同一三角形中，边与其对角

3、的正弦成正比，且比例系数为同一正数,即存在正数k 使aksin A,(2)ksin Bc ksin C ；asin Asin B sin C等价于sin A sin Bsin C sin Basin Acsin C从而知正弦定理的基本作用为:已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如bsin Aa -；sin B已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sina _A -sin Bob般地，已知三角形的某些边和角，求 其他的边和角 的过程叫作解三角形。在ABC中，已知a 20cm, b 28cm, A 40°,解三角形（角度精确到1°,边长精确到1cmj

4、）。：根据 正弦定理，bsin A sinB a28sin400一200.8999.因为 00 < B< 1800所以 B 640 ,或 B 1160当B 640时,C 1800 (A B)1800 (40 0 640) 76 0,asinC 20sin760c 0sin A sin40030(cm).(2)当 B 1160 时,C 1800 (A B) 1800 (400 1160) 24°,asinC csin A20sin240、sin40013(cm).【课堂练习】1、ABC 中,A 45o, B 60o,a 10,则 b 等于(B 10 210.62、在 ABC

5、中,则b等于A. 4 .6B. 4 .5C.4,322D.一33、在 ABC中,，则A等于A.30°B. 60°C. 30° 或120°D.30150°4、在 ABC中,a、b c分别是三内角 A B C的对边,75 ,C45 ,b= 2,则此三角形的最小边长为(A.、62、2B.32.6C.3D.5、在ABC中,B= 30 , c=45c=1,则最短边长为(A.、63D.6、在ABC中，若边a 4J2,C则角C=7、在 ABC中，已知b <2, c 1,B 450,则C =8、在 ABC 中，A0 045 ,B 30 ,b 2 ,则a边

6、的值为9、已知 ABC的内角 4,.，A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且a 2,b 3, cos B 一，则sin A的值为 510、在 ABC 中，若 b 1, c 点，C j.Ua = 3在解三角形过程中都使用三角形内角和定理，可见，三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。应注 意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。(1)定理的表示形式:sin A sin B sin Csin A sinB sin C或a ksin A, b ksin B , c ksin C(k0)(2)正弦定理的应用范围:已知两角和任一边，求其它两边及一角;已知两边和其中一边对角，求另一边的对

7、角二、余弦定理如图 1.1-4 ,在 ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C,求边co如图 1. 1-5,设 CB a, CA b, AB c,那么 c=a-b,2|c | =c? c=(a-b) ? (a-b)=a ? a + b ? b -2a? b从而c2 a2 b2 2abcosC同理可证a2 b2 c2 2bccosA(图 1. 1-5)b2 a2 c2 2accosB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2 b2 c2 2bc cos A222b a c 2accos Bc2 a2 b2

8、 2abcosC从余弦定理，又可得到以下推论:cosA,222b c a2bccosB22. 2a c b2accosC.222b a c2ba从而知余弦定理及其推论的基本作用为:已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;已知三角形的三条边就可以求出其它角。勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？若 ABC中，C=900,则 cosC 0 ,这时 c2 a2 b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例 在4ABC中，已知B=60 cm, C=34 cm, A=41° ,解

9、三角形（角度精确到1°,边长精确到1 cm） （课本P7例3）解：根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2 60 34cos41 °=3 600+1 154 080 0.754 71 676.82所以，a= 41cm.由正弦定理得csinA 34 sin 4134 0.656sinC= % 0.544 0a4141因为C不是三角形中最大的边，所以 C是锐角.利用算器可得C= 33° ,B=180 -(A+C)=180 -(41 +33 )=106 °.注：在利用余弦定理解三角形时，也要注意判断有两解的情况【课堂练习】1、 ABC

10、 中,若 AB 5, AC 3, BC 7,则A的大小为(A.150oB. 120oC. 60oD. 30o2、22在 ABC中，若c aC二(A. 60B. 90 °C. 150D. 1202223、在 ABC 中，a c bA. 60B. 45 或 135C.120D.304、边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是(1 A.7C.11141D. 一145、若ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、,22,b c bc ,则角A的大小为()22A. 6b, 3C,3D, 3 或 3(sinA sinB)sin B,则角 C 等于(6、在 ABC中，a、b c分别是三内角 A B

11、、C的对边，且sin2 A sin2CA. B. C. 5D. 263632227、 ABC 中，右 sin A sin B sin C sin Asin C 那么角 B =8、在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,若 J3b c cosA a cosC ,贝 U cosAb9、aabc的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, asin Asin B bcos2 A J2a ,则a22210、已知 A, B,C 是 ABC 的内角，并且有 sin A sin B sin C sin Asin B ,则 C 小结：(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同

12、规律，勾股定理是余弦定理的特例；(2)余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。三、解三角形的应用1 .正弦定理： a =。sin A2 .余弦定理：a2 , b2 2c 。cosA , cosB , cosC 1 .与测量有关的术语、名词(1)仰角、俯角：视线与水平线所成角中，视线在水平线上的称为仰角，在水平线下的称为俯角。如图所示：/视线/f卬角水平线视线(2)方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。如图，方向线PA、PB的方位角分别是40 0、240 0 0(3)方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于900的角，叫做方向角，她是方位角的另一种表示形

13、式。如图：目标OA、OB的方向角分别为北偏东 600和南偏西300。此外还有特殊方向角，如正东方向，东南方向等。(4)视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角。如图:2 .应用解三角形知识解实际问题的4个步骤是：(1)根据题意作出示意图；(2)确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知和未知元素；(4)给出答案。(3)选用正、余弦定理求解；类型一：水平面上测量距离问题练习1：如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸标记物C,测得CAB 300,CBA 750 ,AB=120rm 求河的宽度。类型二：竖直面上测量高度问题练习2:地面上竖着一根旗杆 OP为了测得它的高度h,

14、在地面上取一点A,在A处测得 P点的仰角为30°,测得点A到旗杆底部。的距离为12后米，求旗杆的高度。类型三：航海问题练习3:两艘游艇A B与海洋观察站C的距离都等于a,游艇A在C北偏东30°, B在C 南偏东60°,求A、B之间的距离。练习4:某船开始看见灯塔在南偏东300方向，后来船沿南偏东60 0的方向航行45海里后 看见灯塔在正西方向，求这时船与灯塔的距离。【综合训练】1、在 ABC 中，a= 10, B=60° ,C=45 °，则 C 等于 （）A. 10 由 B. 10依 1 C.弋3 1 D. 1032、在 ABC中，a= 12,

15、 b=13, C=60° ,此三角形的解的情况是（）A.无解B. 一解C.二解D,不能确定3、在 ABC中，已知a2 b2 c2 bc,则角A为（）A. 一B. C. D. 一或上363334、在 ABC 中，若 acosA bcosB,贝 ABC 的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形5、已知锐角三角形的边长分别为1, 3, a,则a的范围是（）A. 8,10B.厩，而 C,而,10D."记,86、甲船在岛B的正南方A处，AB=10千米，甲船以每小时 4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东 60。的方向

16、驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A150分钟B, 15分钟C. 21.5分钟 D. 2.15分钟777、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标 C得俯角为30° ,向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75。，这时飞机与地面目标的水平距离为（）A. 5000 米 B. 5000 <2 米 C, 4000 米 D. 4000V2 米8、在 ABC 中，若/ A: / B:/ C=1:2:3,则 a ：b ： C9、在 ABC 中，a 3<3,c 2, B 150。,则 b =10、在ABC 中，A = 60° , B=4

17、5° , a b 12 ,则 a=; b=11、已知 ABC中，a 181,b 209, A 121° ,则此三角形解的情况是12、在 ABC中，已知AB 10.2, A = 45° ,在BC边的长分别为20, -203 , 5的情况下，求相应角 C。313、在4ABC 中，BC = a, AC = b, a, b 是方程 x2 2,3x 2 0 的两个根，且 2cos A B 1。求：（1）角 C 的度数；（2）AB的长度。14、在 ABC中，证明:cos 2 A cos2Bb211272 °ab15、海岛O上有一座海拨1000米的山，山顶上设有一个观

18、察站A,上午11时，测得轮船在岛北60°东C处，俯角30° ,11时10分,又测得该船在岛的北600西B处,俯角60° .这船的速度每小时多少千米?如果船的航速不变，它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千米？作业1.已知 ABC 中，a=c= 2, A = 30°,则 b=(A. .3B. 2 3C. 3 3D. 3+ 12. AABC中，a= V5, b= V3, sinB = ¥，则符合条件的三角形有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个3. （2010天津卷）在 ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, bc.若 a2b2=V3bc, sinC = 2>/3sinB ,贝UA = ()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是（A. 1 x 5,13C.