实数-知识点+题型归纳

1、第六章实数知识讲解+题型归纳知识讲解实数的组成有理数.正整数整数零负整散分虬正分数负分数，才限小数或循环小数无理数正无理数、负无理数I无限不循环小数1、实数又可分为正实数，零，负实数2.数轴：数轴的三要素原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数对应、相反数、绝对值、倒数1.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零.性质：互为相反数的两个数之和为002.绝对值：表示点到原点的距离，数 a的绝对值为|a|3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为-.0没有倒 a数。4.相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本身的数

2、是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是± 1.1 .平方根：如果一个数的平方等于 a,这个数叫做a的平方根。数a的平 方根记作（a>=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。2 .立方根：如果一个数的立方等于 a,则称这个数为a立方根。数a的 立方卞!用甚表示。任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的 立方根，零的立方根是零。开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。四、实数的运算有理数的加法法

3、则：a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b）异号两数相加。绝对值相等时和为 0;绝对值不相等时，取绝对值较 大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加 等于原数。3 .有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 a- b = a+ （-b）4 .乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都 得零.三、平方根与立方根b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数 的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只要有一个因数为 0,积就为04 .有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为0）同号得

4、正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0实数都得00b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。5 .有理数的乘方：在an中，a叫底数，n叫指数a）正数的任何次幕都是正数；负数的偶次幕是正数，奇次幕是负数；0的任何次幕都是0b） a0=1 （a不等于 0）6.有理数的运算顺序：a）同级运算，先左后右b）混合运算，先算括号内的，冉乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。五实数大小比较的方法1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数2）比差法：若 a-b>0 贝 a>b；若 a-b<0 贝 a<b；若 a-b=0 则 a=b3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b&g

5、t;1则a>b; a/b<1则a<bB.两个数均为负数时，a/b>1则a<b; a/b<1则a>bCL正一负时，正数 >负数4）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2,则有a>b；均为负数时相反5）倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）题型归纳经典例题类型-.有关概念的识别1 .下面几个数：01 23了，221.010010001，-如。°64 ,3* 7，匹,其中，无理数的个数有（）A、 1B、 2C、 3D、 4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001，3* 后是无理数故选C举一反三

6、：【变式1】下列说法中正确的是（）A、小的平方根是土 3 B、1的立方根是土 1C、“口 =±1D、一班是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，;屈 二9, 9的平方根是土 3, ：A正确.V 1的立方根是1 , “1 =1 ,一正 是5的平方根，：B、C、D 都不正确.【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是（）01 A 2A、 1B、1.4C、【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系.二.正方形的边长为1,对角线为J5,由圆的定义知 伊0二

7、/，：A表示数为点，故选C.【变式3】【答案】7水3A尔+也37C-103n=3.1415 ，：9 V3 n V 10因此3n-9>0, 3n-10V 0J(31r-9)2 + J(3n-10)s =| Sir-51 +1 3X-10 |= 3贺一 9 一凸九一 10) =类型二.计算类型题2.设而二值,则下列结论正确的是（）(3)工【答案】(1)五二 ±5 (2) x=4 或 x=-2 (3) x=-4类型三.数形结合3.点A在数轴上表示的数为，点表示的数为一石，则A, B两点的距离为解析：在数轴上找到A、B两点，网"函【变式1】如图，数轴上表示1, 加 的对应点分

8、别为A,于点A的对称点为C,则点C表示的数是（）.64B在数轴上B,点B关解析：（估算）因为5二您女陪所以选b举一反三：【变式111）1.25的算术平方根是.2-27立方根是4).土底=2 .2)-3. 3)之【变式2】求下列各式中的A,血1 B, 1血 C, 2-/ D.忘-2【答案】选C变式2已知实数2、b、匕在数轴上的位置如图所示:化简【答案】：一一生1类型四.实数绝对值的应用 各式：|-1.4|(2) | n-3.142|(4) |x-|x-3| (x <3)(5) |x 2+6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、 负数还是零，然后根据绝对值的定

9、义正确去掉绝对值。解：(1) 6 = 1.414 -1.41：|6-1.41|=1.43-6(2) .n=3.14159 V 3.142：| n-3.142|=3.142-乳应后，：|，5-而|=、回-£(4) vx<3, .,.x-3<0,：|x-|x-3|二|x-(3-x)|V一3- Q < -)=|2x-3| = -2说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对分析：已知等式左边分母、石万 不能为0,只能有、回寿>0,则要求a+7>0,分子 依一匕+|a2-49|=0 ,由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0 ,由此得不等

10、式组解：由题意得由(2)得由(3)得优-49 =00十"°从而求出a, b的值。3d = 0(。-照=0.(2)a + 7 > 0( 3)a2=49 .二 a=± 7a>-7,a=-7不合题意舍去。:只取a=7把 a=7 代入(1)得 b=3a=21a=7, b=21 为所求。举一反三：|a|-> 0)I-加< 口>这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用【变式 1 已知(x-6) 2+忒"一“"+|y+2z|=0 ,求(x-y) 3-z3 的值。(5) |x2+6x+10|=|x 2+6x+9+1|=|(

11、x+3) 2+1| v(x+3) 2>0, ： (x+3)2+1 >0|x2+6x+10|= x 2+6x+10举一反三：解：:(x-6) 2+1' +|y+2z|=0且(x-6) 2> 0, /我一号尸 >0, |y+2z| >0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0o【变式1】化简:卜回-2 + V2 + V2 /J"2阕+固+啊平-丸2我-夙后+石解这个方程组得巧用旦=4肥一也类型五.实数非负性的应用5.已知:(x-y) 3-z3=(6-2) 3-(-1) 3=64+1=65+ M -49 I"4+ '=0,求实数a

12、, b的值。+?+ 1 = 0.士、口那么a+b-c的值为【答案】初中阶段的三个非负数：国之。,晟>0,卜|之0a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2一个长方形的面积二工二类型六.实数应用题 6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为 13cm,宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形, 问边长应为多少cm。解：设新正方形边长为 xcm,根据题意得x2=ii2+13x8 -x2=225. .x= ± 15 .边长为正，：x=-15不合题意舍去,:只取 x=15(cm)答：新的正方形边长应取 15cm。举一反三:【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为

13、a,宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。(4个长方形拼 图时不重叠)所以，;1 ' " 7 ' 法工一二 晨答：中间的小正方形的面积(一丫 ,发现的规律是：S+斤=加+ 2帖+(或(2)二.大正方形的边长：值+当，:小正方形的边长：骁一七二S3)=3即泌=3 ,入1.5又丁 大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2所以有，二 i二二化简得：:如一二将占=L5 代入，得：« = 4. a-b=A-.5= 2.5 cm答：中间小正方形的边长 2.5 cm。解析:(1)如图，中间小正方形的边长是:(1)计算中间的小正方形的

14、面积，聪明的你能发现什么？(2)当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2,求中间小正方形的边长.,所以面积为=类型七.易错题，7,判断下列说法是否正确(1)(一歹 的算术平方根是-3;(2) ”后百 的平方根是土 15.苴(3)当x=0或2时，K、卜-2 = 0(4)2是分数解析：(1)错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故= -J9 -3(2) 表示225的算术平方根，即"跖 =15.实际上，本题是求15的平方根,9x=6故4225的平方根是土标.(3)注意到，当x=0时，=。-2,显然此式无意义， 发生错误的原因是忽视了 “负数没有平方根”，故xw0,所以当x=2时，x4支2=0.至(4)错在对实数的概念理解不清.2形如分数，但不是分数，它 是无理数.类型八.引申提高8. (1)已知质的整数部分为a,小数部分为b, 求a2-b2的值.(2)把下列无限循环小数化成分数：0 6 口0.107(1)分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平 方根