必修二立体几何11道经典证明题

1、1.如图，三棱柱 ABCAiBiCi中，侧棱垂直底面,1 一 ./ACB=90 , AC=BC=,AAi, D 是棱 AAi 的中点(I)证明：平面 BDCd平面BDC(n)平面BDC i分此棱柱为两部分，求这两部分体积的 比.2 .如图5所示，在四棱锥 P ABCD中，AB 平面 PAD, AB/CD , PD AD, E 是“，l iPB的中点，F是CD上的点且 DF AB, 2PH为乙PAD中AD边上的高.(i)证明：PH 平面ABCD;(2)若 PH i, AD 22, FC i ,求三棱车B E BCF的体积；(3)证明：EF 平面PAB.3 .如图，在直三棱柱ABC ABG中，Ai

2、Bi ACi , D,E分 别是棱BC , CCi上的点(点D不同于点C ),且AD DE , F 为BG的中点.求证：(i)平面ADE 平面BC&B ;(2)直线AF 平面ADE .4 .如图，四棱锥 P-ABCD中，ABCD为矩形， PAD为等腰直角三角形，/ APD=90 ° ,面 PAD，面 ABCD ,且 AB=1 , AD=2 , E、(1)证明：EF/面PAD;(2)证明：面 PDCXW PAD;(3)求四棱锥P-ABCD的体积.F分别为PC和BD的中点.EA5 .在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是正方形，MA 平面 ABCD, PD/MA , E、G、F

3、 分别为 MB、 PB、PC 的中点，且 AD PD 2MA.(I)求证：平面EFG 平面PDC ;(II )求三棱锥 P MAB与四棱锥P ABCD的体积 之比.6 .如图，正方形 ABC前四边形 ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC , AB=/2 ,CE=EF=1(I)求证：AF平面BDE(n)求证：CF,平面BDF;EF7 .如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2EF/ AB,EF ±FB,Z BFC=90° , BF=FC,H 为 BC 的中点,(I)求证：FH/平面 EDB;(n)求证：AC,平面EDB;(m)求四面体

4、B-DEF的体积；8 .如图，在直三棱柱ABC AB1C1中，E、F分别是AB、AC的中点，点D在BG上,AD BiC0求证：(1) EF/平面 ABC ;.(2)平面 AFD 平面 BBiCiC.9 .如图4,在边长为1的等边三角形ABC中，D,E分别是AB, AC边上的点，AD AE , F是BC的中点，AF与DE交于点G，将 ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF ,其中 BC(1)证明：DE平面BCF ;(2)证明：CF 平面ABF ;2一 当AD 时，求三棱锥F DEG的体积Vf deg .310 .如图，在四麴i P ABCD中，AB/CD , AB AD , CD 2

5、AB ,平面 PAD 底面ABCD , PA AD , E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1) PA 底面 ABCD ;(2) BE/平面 PAD ;(3)平面BEF 平面PCD11 . （2013年山东卷）如图，四棱锥P ABCD中,AB AC,AB PA , AB/ CD,AB 2CDE,F,G,M ,N分别为PB, AB,BC,PD,PC 的中点(I)求证：CE /平面PAD . ;D C(n)求证：平面EFG 平面EMN立体几何经典试题参考答案1.【解析】(I)由题设知BC± CCi ,BC±AC； CCi ACC , BC 面 ACCiAi,又DCi 面 AC

6、CiA ,DC1 BC,由题设知AiDCiADC 45°,. CDCI = 900,即 DCi DC ,又.DC BC C,DC面 BDC ,DCi 面 BDCi ,，面 BDC，面 BDCI ;(n )设棱锥 B DACCi的体积为Vi , AC =1,由题意得,Vi=311g由三棱柱ABC AB1cl的体积V =1 ,(V Vi):Vi =1:1, 平面BDCi分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.【解析】(1)证明：因为 AB 平面PAD ,所以因为所以因为所以PH AB。PH为乙PAD中AD边上的高,PH ABIPH(2)连结BHAD。AD A, 平面ABCD。，取BH中点G

7、 ,连结EG。* DJ -宜5因为 所以 因为 所以E是PB的中点,EG / PH 。PH 平面EG 平面则 EG -PH2ABCD ,ABCD。-2，-Ve BCF - S BCF EG3-FC 3 2AD EG12连结MD(3)证明：取PA中点M 因为E是PB的中点,1所以 ME/ - AB。2i 一 1_因为 DF / AB,2所以 ME/ DF ,所以四边形MEDF是平行四边形,所以 EF / MD。因为PD AD ,所以MD PA。因为AB 平面PAD ,所以MD AB。因为 PAI AB A,所以MD 平面PAB,所以EF 平面PAB。3.【答案】 证明：（1） . ABC ABG

8、是直三棱柱，CCi平面ABC。又 AD 平面 ABC ,CCi AD o又 AD DE , CC1, DE 平面 BCCiBi, CCiI DE E,，AD 平面 BCCB。又 AD 平面ADE ,，平面ADE平面 BCC1B1O(2) AiBi ACi , F 为 B1C1 的中点，AiFBG。又 CC1 平面 ABC1 ,且 AF 平面 AB1c1 ,，CC1 AF 。又 CC1, BC1 平面 BCC1B1, CC1 I B1G C1 , . AF 平面 ABC1。由(1)知，AD 平面 BCC1B1,AF / AD。又AD 平面ADE, AiF 平面ADE , .直线 AF/平面ADE

9、4.如图，连接AC,. ABCD为矩形且F是BD的中点，AC必经过F1分又E是PC的中点，所以，EF/AP2分. EF在面PAD外，PA在面内，EF/面PADCD，面 PAD(2) .面 PADXW ABCD , CD LAD,面 PAD I 面 ABCD=AD又 AP 面 PAD , API CD又,APPD, PD和CD是相交直线， APL面PCD又AD面PAD,所以,面 PDCXW PAD(3)取 AD中点为O,连接PO,因为面PAD，面 ABCD及APAD为等腰直角三角形，所以 POL面ABCD ,即PO为四棱锥P-ABCD的高.AD=21,PO=1,所以四棱锥 P-ABCD的体积V

10、PO AB AD 35.【解析】(I)证明：由已知MA平面 ABCD , PD / MA所以 PD C平面ABCD又 BC e 平面ABCD因为 所以又 因此在4PBC中，因为 所以 因此 又 所以四边形ABCM正方形,PD ± BCPD n DC=DBC ，平面PDCG平分为PC的中点,GF / BCGF ，平面PDCGF £平面EFQ 平面EFGL平面PDC.(n)解:则所以 由于 所以因为PDL平面ABCD四边形ABC阴正方形，不妨设PD=AD=2 , ABCDV p-ABCD=1/3S 正方形ABCD PD=8/3DA，面MAB的距离DA即为点三棱锥 Vp-MAB=

11、1/3X p-ABCD=1:4。P到平面MABW距离，1/2 X 1 X 2 X 2=2/3 ,所以 Vp-MAB: V6.证明：(I )设AC于BD交于点 G 因为EF/ AG且EF=1-1 -AG> AG=12所以四边形 AG田为平行四边形所以AF/ EG因为EG 平面BDE,AF 平面BDE,所以AF/平面BDECF± EG.AMA=1(II)连接FG因为EF/ CG,EF=CG=1且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以因为四边形ABCM正方形，所以 BD± AC.又因为平面ACEFL平面ABCD且平面ACEFT 平面 ABCD=ACW以 BDL平面 A

12、CEF所以 CF± BD.又 BET EG=G所以 CF，平面 BDE.ECF故7.(1)证：设AC与BD交于点G,则G为AC的中点，连EG,GH,-1GH/ AB, 2又EF/21AB,四边形EFGH为平行四AEG/FH,而EG 平面EDB, FH/平面EDB()证：由四边形 ABCDJ正方形，有 AB BG又 EF/AB, EF BC 而 EF FB, EF 平面 BFG, EF FH AB FH.又 BF FG,H 为 BC 的中点， FH BC。FH 平面 ABCD.FH AC.又FH /EG, AC EG,又AC BD, EG BD G AC 平面EDB(山)解：QEF F

13、B, BFC 900, BF 平面 CDEF .BF为四面体B DEF的高，又BC AB 2, BF FC J2VB DEFBF8.-* 1*1* 2* . 2 -3 239.【答案】(1)在等边三角形 ABC.中，AD AEAD AEDB EC ,在折叠后的三棱锥A BCF中也成立，DE/BC , QDE 平面BCF,征明:f力因为E, F分别是,4。的中点，/以EF/BC，又EF0面ABC , BC U面ABC,所以EF力平面JLEC； 因为直三棱柱/me-力向G ,所以3号1面4马弓， 珥14。, 又4方_1区,所 以 4。，面，又而4FZ ，所 以 平面4的_1_平面£耳qcBC 平面 BCF , DE/平面 BCF；1BF CF 一(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF BC，2 .、工BC Q在三棱锥A BCF中，2222BC2 BF2 CF2CFBFQ BF CF F CF 平面 ABF.;由可知GE/CF，结合(2)可得ge平面DFG .1VF DEGVE DFG 二311DG FG GF 2311 1 ,3132 3 3 23 32410.【答案】(I)因为平面PAD,平面ABCD且PA垂直于这个平面的交线 AD 所以PA垂直底面ABCD.(II) 因为 AB/ CD,CD=2AB,E为 CD的中点所以 AB/