开普勒定律的推导及应用

1、开普勒定律的推导及应用江苏南京师范大学物科院 王勇江苏海安曲塘中学 周延怀随着人类航天技术的飞速发展和我国嫦娥绕月卫星的发射成功，以天体运动为载体的问题将成为今后考查热点。在现行的高中物理教材中主要引用了开普勒三大定律来描述了天体 的运动的规律，这三条定律的主要内容如下：(1)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。(2)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。(3)所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值至于行星绕太阳的轨道为何是椭圆以及中的常量C与那些量相关并无说明。 为了更深入的理解天体和人造卫星的运行规律，本文将以椭圆的性

2、质为基础从理论上推导开普勒定律。一、开普勒第一定律1 .地球运行的特点(1)由于地球始终绕太阳运动，则太阳对地球的万有引力的力矩始终为零，所以地球 在运动过程中角动量守恒。(2)若把太阳与地球当作一个系统，由于万有引力为保守力且无外力作用在这个系统 上，所以系统机械能守恒。2 .地球运行轨迹分析地球在有心力场中作平面运动且万有引力的作用线始终通过太阳，所以建立如图所示的极坐标系，则P点坐标为(r , 0 ) oV。若太阳质量为 M地球质量为 3极彳至为r时地球运行的运行速度为(1)若取无穷远处为引力势能的零参考点,则引力势能地球在运行过程中的机械能2r(2)二 比豆二。（1）式代入（2）式得：

3、二w，(3)当地球的运行速度与极径 r垂直时，则地球运行过程中的角动量1_融叫 L 2£?(4)由式（3）得：丁一4 WW由式（4）可知，当地球的运行速度与极径r垂直时，地球运行的极径 r有两解，由于初始假设地球的运行速度与极径垂直，所以r为地球处在近日点和远日点距太阳的距离。考虑到地球的这两个位置在极坐标系中分别相当于和CO当£二十1 ,可把式（4）中的士号改写为更普遍的形式极坐标方程。1 Qm ri 2过小= 1 十 Jl+-# cos则地球的运行轨迹方程为r LG M m(5)一二一（1+后匚os劭p -（5）式与圆锥曲线的极坐标方程厂P吻合，其中凸M病（p 二1为决

4、定圆锥曲线的开口），疝 （e为偏心率，决定运行轨迹的形状），所以地球的运行轨迹为圆锥曲线。由于地球绕太阳运动时E<0,则圆锥曲线的偏心率 °已<1,所以地球绕太阳运行的轨迹为椭圆。3 .人造星体的变轨由于运载火箭发射能力的局限，人造星体往往不能直接由火箭送入最终运行的空间轨道，若要使人造星体到达预定的轨道， 要在地面跟踪测控网的跟踪测控下， 选择合适时机向卫星 上的发动机发出点火指令使人造星体的速度增加（机械能增加），进而达到改变卫星运行轨道的目的。如图所示最初人造星体直接由火箭送入近地轨道月_岂”至1,此时刈 ,偏心率e=0,人造星体运行的轨迹为圆； 当到达A点时，人造

5、星体发动机点火，此时 2d<E<0,偏心率0<e<1,运行的轨迹为椭圆轨道 2;当到达B点时，人造星体发动机再次点火，* = -可当2上,时，偏心率e=0,人造星体将在圆轨道 3上运行；当到达 B点时人造星发动机再次点火，人造星体将在开口更大的椭圆轨道4上运动，人造星体将离地球越来越远，当地球对它的引力小于其它星体对它的引力时，人造星体将脱离地球的束缚奔向其它星体 （如嫦娥一号卫星）。、开普勒第二定律行星绕太阳的轨道为椭圆，若在时刻t行星位于A点，经dt时间后行星位于点 B,在益=此时间内行星的极径r转过的角度为d。，则AOBffll的面积2（1）dS _ 1 加r 2

6、(2)1 = - r (1)式除以dt有山 2 山(3)I 2 Z二mr G 二(3)式代入(2)式得3：5二竺由于L是恒量，所以单位时间内极径所扫过的面积上也是恒量。所以地球在近日点运行的快，在远地点运行的慢。如图人造星体从轨道 1变化到轨道3的过程中，若点火前后A、 B两点的速度分别为 Vi.V2.V3.V4,则点火前后速度 Vi<V2, V3<M;在椭圆轨道3上A、B两点 分别为近地点和远地点，则速度V2>V3;由于人造星体在轨道 1。轨道3上做匀速圆周运动，以 M>V4;故 V2>V>M>V3。三、开普勒第三定律行星绕太阳运动椭圆轨道的面积，根

7、据椭圆的性质则椭圆的面积S二勒 (a为长轴,b为短轴)由于单位时间内极径所扫过的面积也. S mb 一吏一 A- L则周期-二，根据椭圆的性质和开1 , 、 野2 加七-内(2(2)式得N 4/附, T =尸(2)式代入(1)式得根据椭圆的性质，椭圆的半短轴：一二r 屈(1)普勒第一定律，半长轴)(3),则一由(4)dS L =尸_毋二式（4）代入（3）式得 - C由此式可知绕同一中心天体运行的人造星体轨道半长轴的三次方跟它们的公转周期的二次方的比值由中心天体的质量所决定。例 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为如图所示如果飞船要返回地面， 可在轨道上的某点 A将速度降低到适当的数值，从而使飞船沿着地心为焦点的椭圆轨道运行， 椭圆与地球表面在 B点相切，求飞船由 A点到B点所需的时间。（已知地球半径为 K）分析：无论飞船是