第2讲解析几何中的“瓶颈题”

1、第2讲 解析几何中的“瓶颈题”【突破解析几何】第2讲 解析几何中的 瓶颈题”（本讲对应学生用书第8188页）数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，主要分六块：三角函数 （或与 平面向量交汇）、立体几何、应用问题、解析几何（或与平面向量交汇）、函数与导 数（或与不等式交汇）、数列（或与不等式交汇）.其中三角函数和立体几何属于基础 问题，若能够拿下应用问题和解析几何题，就攻下全部中下档题目，便锁定了128分，应该认为这已打了一个大胜仗，基本上已经进入了 “第一方阵”（本科行列）.解析几何重点考查的内容是：直线与方程，圆方程，圆锥曲线的定义，标准方程及 其应用，离心率、焦点、准线和渐近线等简单的

2、几何性质以及数学学科内在的联系 和综合.解析几何解答题重点考查的内容是：圆锥曲线的标准方程，直线和圆锥曲 线的位置关系.常考常新的题型有轨迹、最值、定值、对称、参数范围、几何证明、 实际应用和探究性问题等.圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，其难度往往体现 在运算上，尤其是代数式的运算，“降低运算量”应视为解答解析几何综合问题的 首要理念，只有将运算量有效地降下来，才能回避繁重的计算.因而，如何降低其运算量是突破解析几何问题的关键.【解法概述】举题说法突破瓶颈面应回归定义,追根溯源定义是事物本质属性的概括与反映.圆锥曲线的定义不仅是推导圆锥曲线方程的依 据，也是常用的解题方法.事实上，圆锥曲线的

3、许多性质都是由定义派生出来的 .对 某些圆锥曲线问题、甚至一些从表面上看并不是圆锥曲线问题的问题，若采取“回 归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目 所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的，这样可使计算量 大大减少.例1如图，圆C: (x+2)2+y2=36,明圆C上的任意一动点，点A的坐标为(2 , 0),线段PA勺垂直平分线l与半径C皎于点Q.求点Q勺轨迹G勺方程.【分析】因为QA=QP所以QC+QA=QC+QP=r=6=再根据椭圆的定义，点 Q勺轨 迹说中心在原点，以C, A为焦点，长轴长等于6的椭圆.【解答】圆C勺圆心为C(-2, 0

4、),半径r=6, CA=4连接QA.由已知得QA=QP所以QC+QA=QC+QP=r=6>CA.根据椭圆的定义，点Q勺轨迹Gg中心在原点，以C, A为焦点，长轴长等于6的椭圆，即 a=3, c=2, b2=a2-c2=9-4=5,22x y所以点Q勺轨迹G勺方程为9 + 5 =i.【点评】应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等繁琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感.定义法是解析几何中最朴素、最基本的 数学思想方法，可以说它是求动点轨迹或其方程的重要方法之一.2x练习1如图，Fi, F2是椭圆G: 4 +y2=1与双曲线G的公共焦点，A, B 分别是椭圆G和双曲线G在第二

5、、四象限的公共点.若四边形AFBE为矩形，则双曲 线C2的离心率为.(练习1)【分析】在R4AFF2中运用椭圆的定义、双曲线的定义及勾股定理求解 .,6【答案】222x y2 22一，【解析】设双曲线的万程为a - b =1(a>0, b>0),贝UAF2+AF=4, AR-AFi=2a,得AF=2+a, AF=2-a, TMc=&-1 =百，_c 、. 6由题意得(2 6)2=(2-a)2+(2+a)2,解得 a=及，所以 e=a= 2 .【点评】也可以通过椭圆G与圆x2+y2=3(以F1F2为直径的圆)求得交点A后，把点A的坐标代入双曲线G求其离心率，1运算量较大.练习

6、2如图，已知抛物线C: y2=8x的焦点为F,准线为l, P是l上一点,叫直线PFf抛物线C的一个交点，若FP=4FQ,则|QF |二(练习2)【分析】过点QQML直线l于点M,设直线l与x轴交于点N,由PQMb zPF欧 QM再利用抛物线的定义求QF.【答案】3(练习2)【解析】如图，过点QQML直线l于点M,设直线l与x轴交于点N,PQ 3QM_ PQ 3因为 FP=4FQ,所以正=4.又FN=4 贝丁 =PF =4 ,所以QM=3由抛物线定义知QF=QM=3.【点评】本题也可设P(xb yi) , Q(x2, y2),将直线FP: y=k(x-2)与y2=8x联立求fq i y2yi,

7、y2(含k),再通过FP=4 = yi求k的值，然后求出点Q勺坐标，最后求QF，但运算 非常大.所以若能灵活地运用圆锥曲线的定义考虑问题，可使解答更为直观、运算 量更低.联电设而不求,多思少算例1已知圆G: x2+y2=1,圆Q: (x-1) 2+(y-1) 2=1,求两圆公共弦所在直线 的方程.【分析】容易想到联立两个方程求得两圆的交点坐标，并利用“两点式”求 出直线方程.可是明显计算量较大.事实上，考虑设两圆交点为 A(x%/)，B(x2, y， 则点A同时满足圆G和圆G的方程，即x12 +媪=1且(x1) 2+(y1-1) 2=1,所以x12 +黄- (x1-1) 2+(y1-1) 2=

8、1-1=0 ,即得必+丫1-1=0,所以点A的坐标满足方程x+y-1=0为一个直线方程，同理，点 的满足这个直线方程.综上可知，点A与点由匀在直线x+y-1=0上，故而两圆公共弦即交点连线所在直线方程就是x+y-1=0.上述分析似乎很烦,但若能明白其中的道理，可以简化解题过程.【解答】设C和G的交点为A(xi, yi), B(x2, y9,则A(xi, yi) , B(a, y?)同时 满足xy练习 已知A, B是双曲线x2- 2 =1上的两点，AB勺中点为M(1, 2).求直线AB勺方程；(2)如果线段AB勺垂直平分线与该双曲线交于C, D两点，那么A, B, C, D四点 是否共圆？为什么

9、？+y2-( x-1) 2+(y-1) 2=0 ,即x+y-1=0,所以 Iab： x+y-1=0就是所求.【点评】本题解题思路言简意赅，只是思考的过程多了，利用“设交点而不 求交点，但利用它解题”便可以使解题过程简单明了.例2过椭圆16+4 =1内一点M(2, 1)引一条弦，使弦被点Mff分，求 这条弦所在直线的方程.【解答】设直线与椭圆的交点为A(xi, yi), B(x2, y)因为 M(2, 1)为AB勺中点，所以 xi+x2=4, yi+y2=2.又A,彘椭圆上，贝U x12+4y12=16, x2+4y2=16,以上两式相减得(x12-x2)+4( y2 - y2 )=0 ,所以(

10、x1+x2)( xx2)+4( y+y2)( y1-y2)=0 ,yi -x2411所以 X1-X2=- 4(y1+y2)=-4父2 =2,即6工 2 .1故所求直线的方程为y-1=- 2 (x-2),即x+2y-4=0.2x1y1y2 =1,即 kAB=1.故直线AB勺方程为y=x+1.（2）假设A, B, C, D四点共圆，且圆心为P.因为A助圆P的弦,所以圆心P在AB勺垂直平分线CDh.又弦CDi圆心P,故圆心P为CD勺中点.卜面只需证CD勺中点刚足PA=PB=PC=P即只需证PA=PC.y =x 1,2 y2x2-匕=1, 彳4A(-1 , 0), B(3, 4),求得直线CD勺方程为

11、y=-x+3. '彳4c（-3+2痣，6-2.），D（-3-2 艮 6+2新），所以CD勺中点P(-3 , 6).-近=1,22 y214二 1【解答】（1）设A（x1, y", Bg y»,则有12 两式相减，得（xX2)( xi+X2)= 2 (yyO( yi+y2),由题意得 xwxy-y2,x+x2=2, y+y2=4,所以 x1-x2 =y = -x 32 y2x - - =1由 22(x x2)例1已知A(3, 0)是圆x2+y2=25内的一个定点，以A为直角顶点作 R/XABC且点B, Cft圆上，试求Bg点M勺轨迹方程.【分析】B, Cffi为圆x2

12、+y2=25上的动点，可引进角参数，设出B, C的坐标，然 而这将导致繁复的运算.如果注意到由“垂径定理”知OM_ BC(Ofc原点)，那么再结1合/CAB=90 , AM=BM=CMBG即可迅速解题.（例1）【解答】设M仅，y),如图，连接OC OM MA因为MfeBC勺中点，则由垂径定理知，OMLBG所以OM+MC=OC.1因为在 RABW, AM=BM=CM=BG所以 oM+aM=oC,即x2+y2+(x-3) 2+y2=25,所以点M勺轨迹方程为x2+y2-3x-8=0.【点评】“垂径定理”的使用，让我们在寻找 M勺坐标中的x与y的关系时，跳 过了两个动点B, C,而直达一个非常明确的

13、结果oM+aM=oC这大大减少了运算量.例2如图，已知点P是圆O: x2+y2=1上第一象限内的任意一点，过点P2x作圆O勺切线交椭圆C: 4 +y2=1于Q(xi, yi) , R(x2, y2)(，)两点，椭圆C的右焦点 为F心，0).（例2）（1）求证：PQ+FQ=2（2）求QR勺最大值.【分析】（1）由两点间的距离公式求QF（用xi表示），由勾股定理求PQ州xi表 示）；（2）同理 PR+FR=2 有 QR+QF+FR=4吉合 QRS QF+F求解.2Xi2【解答】（1）由点Q（xi, yi）在椭圆上得4 +y1=1,pq=,oq2-op2= .xi2 y2-1二片+1工1员4= 2

14、x1,即 PQ+FQ=2.(2)由(1)同理得 PR+FR=2 则 QR+QF+FR=某QRC QF+FR 2Q医4,即QRC 2,所以当QRi点F时取得最大值2.【点评】运用平面几何知识，可降低运算量、直观地解决问题 .如：（1）线段垂直平分线：已知线段AB,动点刚足PA=PB点P在线段AB勺垂直平 分线上.（2）三角形：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；等腰 三角形的两底角相等，且两底角必为锐角；两个特殊直角三角形（3）四边形：对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线之积的一半； 平行四边形的对角线互相平分（反之也行）；菱形的对角线互相平分且互相垂直 （反之也行）；矩形的对角

15、线互相平分且相等（反之也行）；正方形的对角线互相 平分、垂直、相等（反之也行），其中含有等腰直角三角形.(4)圆：直径所对的圆周角为直角(反之也行)；垂径定理：垂直于弦的直 径平分这条弦(反之也行).练习1设抛物线x2=2py( p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x2-y2=3相交 于A, B两点，若4AB叨等边三角形，则p=.【分析】由4AB叨等边三角形，得到点B的坐标，再代入双曲线方程求p的值.【答案】6【解析】由AB叨等边三角形，知B43'万人 代入x2-y2=3解得p=6.练习2 已知点A(1, 1), B(2, 2),点P是x轴上一动点，则PA+P的最 小值为, |PA

16、-PB|的最大值为.【分析】点版于x轴的对称点为A'(1 , -1),则PA+PB=PA'+PBA'B.【答案】10、,2【解析】点版于x轴的对称点为A'(1 , -1),则PA+PB=PA'+PBA'B=g)2 十四-*呵 |PA- PB|<ABJ(2-1)2+(2-1)2=V2.例1 (1)如图，设抛物线P: y2=x,直线ABf抛物线关于A, B两点，且OALOB OA+OB=0c ,求四边形AOB面积的最小值.（例1）2x(2)已知双曲线2 -y2=i的左、右顶点分别为Ai, A,点P(xi, yi), Q(xi, -yi)是双曲线

17、上不同的两个动点，求直线 AiP与AQC点的轨迹E的方程.【分析】(1)设直线OA y=kx,与y2=x联立可求得点A的坐标(用k表示)，由1OALOB知。的y=- kx,只需将点段标中的k替换为-%即得点B的坐标，再求2上2S=OA OB勺最小值.(2)求得直线AP与4Q勺方程后，将两方程相乘，结合 2 -y1=1整体消去xi, yi,即得直线AP与A2QC点的轨迹E的方程.【解答】(1)依题意，知直线OA OB勺斜率存在，设直线OA勺斜率为k,1由于OALOB设直线OA勺方程为y=kx,则直线OB勺方程为y=-kx,y=kx，12-n由y x，消去y,得k-xu。，解得x=0或x=k ,.

18、11所以点Ak k人同理得点B(k2, -k),由OA+OB=OC ,知四边形AOBC平行四边形.又OAOB,则四边形AOB段矩形，其面积S=|OA| OB|= 1 2. 1 2 J112 211Kk2 J * J . J(k2)2+(-k)2=d2 k k2 >V 那 k2 =2. 当且仅当k2=k2 ,即k2=1时，等号成立，即四边形AOBCJ面积的最小值为2.(2)由A, A为双曲线的左、右顶点知，A(-&，0),阳正，0),%_-y1_直线 APJy=x1 '拒(x+及)，直线 AMy=x1-行(x-石)，2-y1两式相乘得y2=x12-22 x12Vi(x2-2

19、).又点P(x% y。在双曲线上，得2 y12=1,2即 x1-2 =故yx1所以切线 PA勺方程为 y-y1= 2 (x-x1)，即 y= 2 x- 2 +y1，即 x1x-2y-2y1=0. 同理可得切线PB勺方程为x2x-2y-2 y2=0. 因为切线 PA PB匀过点 P(xo, yo),则 x1xo-2yo-2 y1=0, x2xo-2yo-2 y2=0, 所以(x1，y1)，(x2, y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解，=-2 (x2-2),所以直线A1P与A©点的轨迹E的方程为2 +y2=1(xyw0).【点评】在(1)中，得到点A<k2后，只需用-替换

20、k,即得B(k2, -k).遇到 类似的东西，只需将结果作“同理推算”(替换)即可，不必重算一遍.在(2)中，也 可联立AP与A2Q勺方程，解得交点白坐标后，再消去 M，y1,求轨迹E的方程，但运 算要大很多.“同理推算”与“整体运算”是降低运算量的有效方法，它可以化繁 为简，直奔结果.B为切点，求直线AB勺方程.设 A(x1, y。，B(x2, y2)练习1已知抛物线C: x2=4y,设点P(xo, yo)为直线l: x-y-2=0上一定点，过点P乍抛物线C的两条切线PA PB,其中A,11由 x2=4y得,y= 所以直线ABW方程为x0x-2 y-2 y0=0. x2,求导得 y'

21、= 2 x,2其中2、 x2 y2 =-4 JX1x12x，t-2 2， t练习2 如图，已知A,盼别为曲线C: a +y=1(y>0, a>0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，助l上异于点B的一点，连接A皎曲 线CT点1点血以S斯直径的圆与线段TB勺交点.试问：是否存在a,使得O, M, S(练习2)【分析】设S(a, 2m),求直线AS,求点T的坐标.若O, M 腔点共线，有BT± OS.【解答】由题意得A(-a, 0), B(a, 0),设S(a, 2m),则直线AS勺方程为y二 m a (x+a).jy=m(x+a), a 22 22由 x a

22、 y -a，得(m2+i)x2+2am2x+a2(m2-1)=0 ,a2 (m2-1)2-设T(xi, yi),则-a与xi是万程的两个实根，有(-a) - xi= m +1 ,2ma(m2 -1)a(m -1) m2+ a 2m2-a m +12 ,所以x1=- m +1 ,而y1二a . (x+a)=-=m +1 ,有Ta(m2-1) 2m _ _ 2 ,A '2 ,A、m +1 m +1J若O, M S三点共线，则BT±OS即BT OS=0,所以 a(m2-1)2m- 2-a, -2< m +1 m +1 人(a, 2m)=0,化简得(a2-2) m2 +1=0,

23、由 mw0,得a2=2,而a0,则a=0.【点评】由所给的图形发现方程已有一个实根-a,结合韦达定理即可求得另 一个根，比起用公式法求方程的根方便很多【专题突破】分类解密专题突破踪老点1)求曲线方程中的“瓶颈题”例1已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1, x2+(y-2) 2=1外切，圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M仅，y)的距离的最小值为m,点F(0, 1)与点M(x, y)的距离为n.(1)求圆C的圆心1迹L的方程；(2)求满足条件m=n的点M勺轨迹Q勺方程.【分析】(1)(条件)L上的点到两个已知圆的圆心距相等 =(目标)圆C的圆心 轨迹L的方程=(方法)根据平面几何知识作出推断

24、，L为两圆圆心的垂直平分线.(2)(条件)点M勺轨迹满足的几何条件=(目标)点M勺轨迹Q勺方程二(方法)归 结为圆锥曲线定义，确定圆锥曲线方程的系数写出轨迹方程【解答】(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C(0, -4) , G(0, 2),由题意得CC=CC,可知圆心C的轨迹是线段CG的垂直平分线，CG的中点为(0, -1),直线GQ的垂直平分线的斜率等于零，故线段GG的垂直平分线方程为y=-1 ,即圆C的圆心1迹L的方程为y=-1.(2)因为m=n,所以M(x, y)到直线y=-1的距离与到点F(0, 1)的距离相等, 故点M勺轨迹叫以y=-1为准线、点F(0, 1)为焦点，顶点在原点的抛

25、物线， 所以轨迹Q勺方程是x2=4y.【点评】本题命题立意是通过对已知条件的分析、逻辑推理判断曲线的类型 后求出其轨迹方程，考查逻辑推理能力在求轨迹方程中的运用，具特点是解轨迹方 程不以计算为主，而以推理为主.22x y练习 如图，动点P(x0, y0)为椭圆C: 9 + 4 =1外一点，且过点P作y-y。= k(x-xo),【解答】设其中的一条切线方程为y-yo=k(x-xo),联立92一,4 消去y,得椭圆C的两条切线相互垂直，所以(x0 -9) k2-2xoy0k+ y0 -4=0 , 垂直，设ki, k2为上述方程的两根，因为两切线相互所以ki k2=-1 ,当 x；-9w0时,22

26、/y0-42 c22ki k2=x0-9 =-1 ,所以 X。+y0=i3；22当 x0-9=0时，此时 P(±3, ±2)也符合 x0 + y0=13, 综上，所求点P的轨迹方程为x2 + y02=13.(9 k2+4)x2+18k( yo-kxo)x+9( yo-kxo) 2-36=0,令 A =18 k( yo-kxo) 2-4(9 k2+4)9( yo-kxo) 2- 36=0,即(y0-kx0)2-4-9 k2=0,22正考点D圆锥曲线中的最值与范围问题中的“瓶颈题”I，例1如图，在平面直角坐标系xOy中，点Pl 2J到抛物线C: y2=2px（p>0）5的

27、准线的距离为4 .点M（t, 1）是抛物线C上的定点，A, B是抛物线C上的两动点，且 线段ABt直线OMF分.(例1)（1）求p, t的值；（2）求AABPS积的最大值.【分析】（1）（条件）点M&抛物线上、点P到抛物线准线的距离二（目标）求p, t二（方法）根据已知列方程组，解方程组即得；（2）（条件）直线OMJ方程、点P坐标、抛物线方程=（目标）AABPS积的最大 值=（方法）利用AB勺中点的坐标为参数建立 ABPS积的函数关系式，通过函数的 最值求解.2 Pt =11卫二5 得 p=2【解答】（1）由题意知L 2 42 f（2）设A（x1, y。，B（x2, yz）,线段AB勺

28、中点为Q（m, m）,由题意，设直线AB勺 斜率为k（kw0）.y1 二x1由）2 一x2彳马（yy2）（，+丫2）二必-左，故k。2m=1,所以直线AB勺方程为y-m=2m (x-m),2 x-2my 2m -m = 0, 2即x-2my+2m2-m=0.由 J =x,消去x,整理得 y2-2my+2m2-m=0,所2 c。2 Mm bI.以 A=4m_4 m >0, yi+y2=2m, yi - y2=2m-m.从而AB=Vk . |，乎|=1 4m2 .4m-4m2.|1-2m 2m2|设点限口直线AB勺距离为d,则二 1 4m2 .1设ABP勺面积为 S, WJS=2 AB- d

29、=|1-2( m-m2)| m-m2 . 1由 A=4m_4m2>0,得0<m<1.令u= Jm-m' , 0<u< 2 ,贝U S=u(1-2 u2).1设S(u)=u(1-2 u2) , 0<u< 2 ,则 S'( u)=1-6 u2.出。一下由 S'(u)=0,得口= 6 6 I 2),所以 S(u)makS16 J= 9 .故ABFW 积的最大至值为9 .【点评】解析几何中最值问题的基本解题思路是建立求解目标关于某个变量 的函数，通过求解函数最值解决问题.求解参数范围的思路与此类似，即建立求解 目标关于某个变量的函数，通

30、过函数值域求解其范围.练习 已知双曲线C的两条渐近线白方程分别为y=± 2 x,且其中一个 焦点为(。，痛).(1)求双曲线C勺标准方程；(2)若P是双曲线Ch一点，A, B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于一 一 A】第一、二象限，若AP = X PB,入C A i,求4AO加积的取值范围.二1,其一【解答】（1）由题意设双曲线C的方程为4 -x2=入（入0）,即4九-九个焦点为（0 ,卡）,2_y_则（75）2=4入+入，得入=1,所以双曲线C勺标准方程为4 -x2=1.（2）因为双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x,设A（m, 2m）, B（-n, 2n）,m-

31、 1 n 2（m - n）m0, n0, P（x, y）,由aP二入pB ,得点P的坐标为l1十九 F2】工虫1记可入尸入十九，入e I3，联入）=1-九2二九2 ，由f（入）=0得入=1,当3V入1时，f（入）0, f（入）递减;当1入2时,f（入）0, f（入）递增.1”5232y又 f 13 J= 3 , f（1）=2 , f（2）= 2 ,即 f（入）C 3，则 & aobC ' 3 J,十九 人 将点P的土1.12坐标代入4 -x2=1,化简得mn=4 -1.设/AOB=2）,因为tan、2 J=2,所以tan 8=2, sin § 二期,sin 2 0=5

32、.1 1 . .1所以 AOB3积的取值范围是又OA5m, OB*5n,则&aoe= 2 OA- OB- sin 2 9 =2mn=2 ' 九）+1.【点评】考虑点坐标的求解与图形结构的特征是解决解析几何综合问题的两种有效途径，在解决问题的过程中，若能将两种思路渗透到解题当中，灵活结合, 效果更佳.小考点3）圆锥曲线中定点与定值问题中的“瓶颈题”例1已知中心在原点、焦点在坐标轴上的椭圆 Q,它的离心率为2 ,一 个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合，过直线l: x=4上一点MBI椭圆Q的两条切线， 切点分别是A, B.(1)求椭圆。的方程； 22x yx°x2 2-2

33、-(2)若在椭圆a +b =1(a>b>0)上的点(x0, y0)处的椭圆的切线万程是 a +y0y 2b =1,求证：直线ABfe过定点C,并求出定点C的坐标.【分析】通读题目，可以发现出题者要我们做的是寻求圆锥曲线中的“动中 之静”.本题突出了直线与椭圆方程联立后消元的方向，使得问题得到简化.22x y ,.一 、一.2,2 2【解答】(1)设椭圆万程为a +b =1(a>b>0).抛物线y=-4x的焦点是(-1 , 0), 故 c=1.c 1又a=2 ,所以a=2,b= Va2-c2 = 73 ,所以所求的椭圆Q方程为4 + 3 =1.(2)设切点坐标为A(x ,

34、 y。, B(x2, y» ,直线l上一点M勺坐标为(4 , t),xx 型x2x y2y则切线方程分别为4 + 3 =1, 4 + 3 =1.工 工又两切线均过点M,即x1+3y1=1, x2+3 y2=1,工即点A, B的坐标都适合方程x+3y=1,而两点之间确定唯一的一条直线，工故直线AB勺方程是x+3y=1,显然对任意实数t,点(1 , 0)都适合这个方程，故 直线ABB过定点C(1, 0).【点评】此解法按题目的叙述经过逐步解决，将问题叙述翻译为数学语言， 翻译完成，题目也就解决了 .可见，此题涉及的是直线与椭圆相交的位置关系，且 有一交点已确定，因而点P的坐标容易求得.练

35、习 在平面直角坐标系中，点P(x, y)为动点，已知点A(V2, 0),1B(-应，0),且直线PAWPB勺斜率之积为-2 .(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点F(1, 0)的直线l交曲线E于M N两点，设点NK于x轴的对称点为Q(M 研重合)，求证：直线MQi定点.1【分析】(1)(条件)PA与PB勺斜率之积为-2 =(目标)求点P的轨迹方程二(方 法)直接设点代入.(2)(条件)椭圆方程、直线系过点(1 , 0)等二(目标)直线MQ1过定点=(方法) 以参数表达直线系方程、代入椭圆方程，设出 M NW坐标，得出点 皿标，设出直 线系MQJ方程，证明直线过定点.2y y 1x2【解答】

36、(1)由题意知X+亚- X-V2=-2 ,化简得2 +y2=1(yW0),即为轨 迹E的方程.2 X(2)方法一：设 M的,y1)，N(X2,y2),Q(x2,-y?),l: x=my+1,代入 2-2m-122222+y=1(yw0),整理得(m+2)y+2my-1=0 ,所以y+y2=m +2, yy= m +2, MQ5方y y2程为 y-y尸 x1-x2 (x-x1),y1 (x2 -x1)my1(y2-y1) 2myi y2令y=0,得x=x+y1y2=myI+1+y1y2=y1y2+1=2,所以直线 MQi定点 (2 , 0).x方法二：设M(xi,yi),N(x2,y2),Q(x

37、2,-y2), l: y=k(x-1),代入 22_ 2 _4k2 k -2。c c c c" zt_2" n. 、+y2=1(yw0),整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, xi+x2=1+2k , xix2=1 + 2k , MQj万yiy2程为 y-y尸 xi-x2 (x-xi),y1 (x2 -x1)k(x1-i)(x2-x1) 2x1x2-(x1 x2)令y=0,得x=xi+ yi y2 =xi+ k(Xi x2-2) = x x2-2 =2.所以直线MQ±定点(2, 0).【点评】解析几何中证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系

38、方 程，然后再根据直线系方程过定点时，方程的成立与参数没有关系，得到一个关于 x, y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.定值问题与此思路基本相同.M考点4)探究性问题中的“瓶颈题”22x y2.2例i (20i4 布建卷)已知双曲线E: a -b =i(a>0, b>0)的两条渐近线分别为 li： y=2x, I2： y=-2x.(例i)求双曲线E的离心率.(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线li, 12于A, B两点(A,盼别在第 、四象限)，且OAB勺面积包为8.试探究：是否存在总与直线1有且只有一个公共点的双曲线E*存在，求出双曲线E的方程；若不

39、存在，请说明理由.【分析】(1)由渐近线求a的值，根据c2=a2+b2消去b; (2)由从图形的结构入 手，当直线1，x轴时，算得直线1: x=2,它与双曲线4 -16=1相切，当直线1与x轴22x y不垂直时，双曲线也应为 4 -16 =1,再验证直线1与双曲线相切.ca = '5【解答】(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x, y=-2x,所以a =2,有 a=2,即c=a,于是双曲线的离心率e=22x y2. 2 万法一：由(1)知，双曲线E的万程为a -4a =1.设直线1与x轴相父于点C, 当1，x轴时，若直线1与双曲线Et且只有一个公共点，则OCa, AB=4a,又因为

40、OAB勺面积为8,所以2 OC- AB=8即2 a . 4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为4-16=1.22x y若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为4 -16=1.22x y以下证明：当直线1不与x轴垂直时，双曲线E: 4 - 16 =1也满足条件.m八I - 0设直线1的方程y=kx+m,依题意，得k>Mk<-2,则C【k 二记A(xi , y。，B(x2, y2),由y = kx m，2my = 2x，2m得y1=2-k,同理y2=2 + k.由 SzoaB= 2 OC。| yi-y2| ,得2m 2m2-k 2*k =8,即m2=4|4- k2|=4( k2-

41、4).y 二 kx m22L-匕=1得(4- k2) x2-2 kmx-m2-16=0,而4- k2<0,4 16所以 A =4k2m2+4(4- k2)( m2+16)=-16(4 k2-m2-16).又m2=4(k2-4),所以A =0,即直线l与双曲线E有且只有一个公共点2x因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程只能为4 -2y16=122x y2. 2万法二：由（1）知，双曲线E的万程为a -4a =1.设直线l的万程为x=my+t,A(x1,，)，B(x2, y2),11户my + 3且-2t依题意得-2<m<2,由 1y=2x，得y1=1-2

42、m,同理y2=1 + 2m,设直线l与x轴相交于点C,则C(t, 0),11 2t 2t由$4oab=2 QC- I y1-y2|=8 ,得 2|t| 1-2m 1+2m =8,x = my +1, 22A-j, 22222222A =64m2t2-即t =4(1-4 m),由、a 4a得(4m-1) y +8mty+4(t-a )=0.又4m2-1<0 ,所以直线l与双曲线Et且只有一个公共点当且仅当 16(4m2-1)( t2-a2)=0,即4m2a2+t2-a2=0,所以 4m2a2+4(1-4 m2)- a2=0,即(1-4 m2)( a2-4)=0 ,有 a2=4,2x因此，存

43、在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程只能为4 -16=1.方法三：当直线l不与x轴垂直时，设直线l: y=kx+m, A(x1，yi), B(m, y2),y = kx m, ,22依题意得 k>2或k<-2,由 l4x-y =0，得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,由 4-k2<0, A>0,2 -m, I 2得 xix2= 4-k .又因为AOAB勺面积为8,所以2 0A.。囹n/AOB=8而sin/AOB=5 ,O e22 k 22 _m所以 5" +y1 Jx2+y2=8,化简得 xix2=4,所以 4-k2 =4,即m2=4(k2

44、-4),y = kx m,2222x yx _ y2222 ，由(1)得双曲线E的方程为a -4a =1,由、a 4a得(4-k2)x2-2 kmx-m2-4a2=0,因为4-k2<0,直线l与双曲线Et且只有一个公共点当且仅当 A =4k2m2+4(4- k2)( m2+4a2)=0,即(k2-4)( a2-4)=0 ,则a2=4,所以双曲线E的方程为4 -16 =1当l，x轴时，由AOAB勺面积为8,得直线l: x=2,22x y 又知l: x=2与双曲线E: 4 -化=1有且只有一个公共点.综上，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程只能为4 -2y16 =1.【点

45、评】方法一是抓住图形的特殊到一般展开探究的，方法二、三是抓住直线l与双曲线相切的图形结构，从 A =0切入展开探究的.他们具有的共同特点就是从 挖掘图形的结构中寻找解决问题的突破口，不断地将图形结构转化为方程、函数或 不等式等代数形式，实施数形结合，在“数”与“形”的互相转化中寻求解决问题 的良方.、52. 2练习 已知椭圆C: a +b =1(a>b>0)的离心率为 3 ,定点M(2, 0),椭圆短轴的端点是B, B2,且MB,MB.(1)求椭圆C勺方程.(2)设过点Ml斜率不为0的直线交椭圆C于A, B两点，i3c问：x轴上是否存在定 点P,使得PMF分/APB若存在，求出点P

46、的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)(条件)椭圆离心率、MB±MB=U目标)得出椭圆方程二(方法)列 方程求解椭圆方程需要求出a, b的值.(2)(条件)椭圆方程二(目标)直线与椭圆交于两点A, B,判断x轴上是否存在 定点P,使PMF分/ APF (方法)判断点P是否存在，先假设其存在，把几何条件转 化为代数条件后得关于点P坐标的方程，这个方程对任意变动的直线包成立时，若 点P的坐标有解则存在，否则不存在.a2-b2b22 b 2【解答】(1)由题意得a2 =1-a2 =1 3 J ,即a = 3.依题意，得 MBB2是等腰直角三角形，从而b=2,故a=3,所以椭圆C的方程

47、为22x y9 + 4 =1.(2)设A(x1, y。，B(x2, y2),直线AB勺方程为x=my+2.将直线AB勺方程与椭圆C 的方程联立，-16m-20消去x,得(4m2+9)y2+16my-20=0,所以y1+y2= 4m2+9 , y1y2= 4m2 +9 .若PMF分/APB则直线PA PB勺倾斜角互补，所以kPA+kPE=0.yy2设P(n, 0),则有 x1-n + x2-n =0,将x1=my1+2, x2=my2+2代入上式,2my1y2 (2-n)(y1 y)整理得(my1 2-n)(my2 2-n)=0,所以 2my1y2+(2- n)( y1+y2)=0.-20-16

48、m，22将yi+y2=4m +9 , yiy2= 4m +9 代入上式，整理得(-2 n+9) m=0.9由于上式对任意实数m都成立，所以n=2 .的).-0综上，存在定点Pl2人使得PMP分/APB.【点评】本题立意是通过圆锥曲线问题考查对数学问题的抽象概括能力、化 归转化的思想意识.题目按照解析几何解答题的基本模式进行命制，解题中需要把 已知的几何条件逐步转化为代数条件，充分体现了等价转化思想的应用 .:®才域)解析几何中的证明问题例1如图，已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C'过点M(2, 1),离心 3率为2 .抛物线C的顶点在原点且过点M.%(例1)(1)当直线1

49、0经过椭圆C'的左焦点且平行于OMf,求直线10的方程；1(2)斜率为-4的直线1不过点M,与抛物线喙于A, B两个不同的点，求证：直 线MA MBfx轴总围成等腰三角形.【分析】本题主要考查直线的方程及椭圆和抛物线的标准方程，考查数学运算求解的能力、综合分析问题的能力2. 2一、【解答】(1)根据e=a= 2 ,可设椭圆万程为4b +b =1,将M(2, 1)代入可得 b2=2,所以椭圆C的方程为8 + 2 =1,因此左焦点为(-娓，0),斜率klo =ko=2 ,1_1 田所以直线lo的方程为y=5(x+>/6), gPy=2x+T.1(2)抛物线C勺方程为y2=2x.设点A(x1, y。，B(k, y2),直线MA MB勺斜率分 别为k1, k2,y1-1y2-1y2-y111则 k1=2 y2、 2一，一 ，一22一、 、 八练习 如图，已知椭圆C: a +b =1(a>b>0)的离心率为2 , F1, F2分别为椭圆C的左、右焦点，