矩阵分析（课堂PPT）

1、为为 的的矩阵多项式矩阵多项式。 定义：定义： 已知已知 和关于变量和关于变量 的多项的多项式式Ax1110( )nnnnf xa xaxa xa1110( )nnnnf Aa AaAa Aa In nAC那么我们称那么我们称第六章第六章 矩阵函数矩阵函数 112rAAAA设12kkkkrAAAA12()()( )()rf Af Af Af A设设 为一个为一个 阶矩阵，阶矩阵， 为其为其Jordan标准标准形，则形，则nAJ111211122diag(,)diag(),(),()rrrAPJPPJ JJPPJJJP于是有于是有11101111110111101112( )()()()()(

2、)( (),(),()nnnnnnnnnnnnrf Aa AaAa Aa Ia PJPaPJPa PJPa IP a JaJa Ja I PPf J PPdiag f Jf Jf JP我们称上面的表达式为我们称上面的表达式为矩阵多项式矩阵多项式 的的Jordan表示表示。其中。其中( )f A11()nnPJPPJ P1()(1,2, )1iiiiiiiddJir111111( )iiiidk dkkikikikkiiikkikid dccJc 1010()110iiiiiiiiiiiddJEH注1(1)111222( )()iiikkiiidkddkkkikikikiJEHEcHcHcH2H

3、 是把中的向上平移一行，类推之。1111000001100( )iiiinnndk dkkkik kik kikkknkkinkkkiinkkk kiknkkikd daa ca caa Ja ca(1)1( )( )( )(1)!( )( )( )( )iiidiiiiiiiid dfffdff Jff112( (),(),()rPdiag f Jf Jf JP(1)1( )( )( )(1)!( )( )( )( )iiidiiiiiiiid dfffdff Jff总结:设1APJP1110( )nnnnf Aa AaAa Aa I308316205A解：解：首先求出矩阵的首先求出矩阵的

4、的的Jordan标准形标准形 及其相似变换矩阵及其相似变换矩阵( )f AAJP例例 已知多项式已知多项式与矩阵与矩阵43( )21f xxxx求求 。100011001J041130020P130121002102P那么有那么有3012041( 1)0011300( 1)( 1)00202000( 1)102ffff1( )( )f APf J P( 1)4( 1)08( 1)3( 1)( 1)6( 1)2( 1)0( 1)4( 1)fffffffff350722715418037 定义：定义：已知已知 和关于变量和关于变量 的多的多项式项式1110( )nnnnf xa xaxa xan

5、nACx( )f x( )n nf AO( )f xA为矩阵为矩阵 的一个的一个零化多项式零化多项式。如果如果 满足满足 ，那么称，那么称n nAC( )f( )n nf AO定理：定理：已知已知 ， 为其特征多项式为其特征多项式，则有，则有我们称此定理为我们称此定理为Hamilton-Cayley定理定理。证明：1APJP112( (),(),()rPdiag f Jf Jf JP(1)1( )( )( )(1)!( )( )( )( )iiidiiiiiiiid dfffdff Jff1110( )nnnnf Aa AaAa Aa Ii 是特征根，其重数（代数重复度）id故(1)()()(

6、)0idiiifff ()0if J( )0f A最小多项式的性质：最小多项式的性质：已知已知 ，那么，那么定义：定义：已知已知 ，在，在 的零化多项式中，的零化多项式中，次数最低且首项系数为次数最低且首项系数为1的零化多项式称为的零化多项式称为 的的最小多项式最小多项式，通常记为，通常记为 。AA( )mn nACn nACA( )m（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被）矩阵的任何一个零化多项式均能被（1）矩阵）矩阵 的最小多项式是唯一的。的最小多项式是唯一的。整除。整除。（3）相似矩阵有相同的最小多项式。）相似矩阵有相同的最小多项式。11iiiiiiddJ例例 1 ：已知一个已知一个Jor

7、dan块块考虑考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。标准形矩阵的最小多项式。如何求一个矩阵的最小多项式如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们首先我们解：解：注意到其特征多项式为注意到其特征多项式为，则由上面的定理可知其最小多项式，则由上面的定理可知其最小多项式一定具有如下形状一定具有如下形状( )()idif( )m( )()kim1ikdikd其中其中 。但是当。但是当 时时求其最小多项式。求其最小多项式。()()001000010000iikiiiddm JJIO 因此有因此有( )()idim同理同理若若00011,2,1iiiddJir12rddd对应初等因子0()id12rJJJJ有

8、有0( )()rdm结论：A的最小多项式是A的最后的一个不变因子。12= diag(,)rAA AA12( ),( ),( )rmmm12,rA AAA12( ),( ),( )rmmm12( ),( ),( )rmmm即为即为 的最小公倍式的最小公倍式多项式为多项式为 的最小多项式，则的最小多项式，则 的最小的最小 ， 分别为子块分别为子块例例 2 ：已知对角块矩阵已知对角块矩阵例例 3 ：求下列矩阵的最小多项式求下列矩阵的最小多项式308(1)316205232(2)1822143AB126(3)10311431000300(4)00300005CD 解：解： （1）首先求出）首先求出 标

9、准形标准形308316205IAIA 211(1) 2(1)所以其最小多项式为所以其最小多项式为 。（2）标准形）标准形2321822143B211(1)(3)IB从而其最小多项式为从而其最小多项式为 。2(1)(3)210001000(1)IC（3）126103114 C2(1)故其最小多项式为故其最小多项式为 。3100030000300005D2(5)(3)（4）此矩阵本身就是一个）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，标准形，所以其最小多项式所以其最小多项式 。定义：定义：设设 ， 为为 的的 个互不相同的特征值，个互不相同的特征值， 为其最小多项为其最小多项式且有式且有n nAC12

10、,r r( )mA1212( )() ()()rdddrm2：矩阵函数及其计算矩阵函数及其计算其中其中 11(1,2, ),riiidirdm( )f x(1)(),(),(),1,2,idiiifffir( )f xAm1( )(3)(4)f xxx例：例：设设定义定义。存在，则称函数存在，则称函数 在矩阵在矩阵 的的谱上有谱上有下列下列 个值个值如果函数如果函数 具有足够高阶的导数并且具有足够高阶的导数并且又已知又已知836320422AA2( )(2)(1)m511(2),(1),(1)2636fff并且并且容易求得矩阵容易求得矩阵 的最小多项式为的最小多项式为显然显然 不存在，所以在不

11、存在，所以在 的谱上无定义。的谱上无定义。( )f xA310030001BB2( )(1)(3)m(3)fB所以所以 在在 的谱上有定义。但是如果取的谱上有定义。但是如果取容易求得矩阵容易求得矩阵 的最小多项式为的最小多项式为（1）设）设 ，如果，如果 有定义，那有定义，那么么 是否也有定义？是否也有定义？An nAC( )f A()Tf An nAC( )f A1()f An nAC1212( )() ()()rdddrm定义：定义：设矩阵设矩阵 的最小多项式为的最小多项式为如果上述说法正确，请予以证明；如果如果上述说法正确，请予以证明；如果上述说法不正确，请举反例加以说明。上述说法不正确

12、，请举反例加以说明。定义，那么定义，那么 是否也有定义？是否也有定义？（2）设）设 且且 可逆，如果可逆，如果 有有标准形，标准形， 为其相似变换矩阵且使得为其相似变换矩阵且使得函数函数 在矩阵在矩阵 的谱上有定义，如果的谱上有定义，如果存在多项式存在多项式 且满足且满足( )f xA( )g x( )( )()(),1,2, ;1,2,1kkiiifgirkd( )( )f Ag An nACJAP定理：定理：设设 ， 为矩阵为矩阵 的的Jordan则定义则定义矩阵函数矩阵函数为为A1APJP ，如果函数，如果函数 在矩阵在矩阵 的谱的谱上有定义，那么上有定义，那么( )f x1112( )

13、( )( )( (), (), ()rf Ag APg J PPdiag g Jg Jg JP其中其中(1)11( )( )( )( )2!(1)!( )( )1( )2!( )( )iiidiiiiiiiiiid dggggdgg Jggg (1)11( )( )( )( )2!(1)!( )( )( )1( )2!( )( )iiidiiiiiiiiiiid dffffdfg Jf Jfff 我们称此表达式为我们称此表达式为矩阵函数矩阵函数 的的Jordan表示表示。( )f A例例 1 ：设设126103114A ( )f A,sinAtAeeAJP变换矩阵变换矩阵解：首先求出其解：首先

14、求出其Jordan标准形矩阵标准形矩阵 与相似与相似求求 的的Jordan表示并计算表示并计算100011001J122110011P从而从而 的的Jordan表示为表示为( )f A( )xf xe(1),(1)fe fe1( )( )122(1)001021100(1)(1)11201100(1)113(1)2(1)2(1)6(1)(1)(1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)f APf J Pffffffffffffffff当当 时，可得时，可得从而有从而有当当 时，可得时，可得于是有于是有( )txf xe(1),(1)ttfefte26034Aeeeeeeeee (12 )26

15、(1)3(13 )ttttAttttttt eteteetet etetetet e当当 时，可得时，可得( )f xsinx(1)1,(1)1fsinfcos12121611113111131sincoscosCossinAcossincoscoscoscossincos同样可得同样可得例例 2 ：设设308316205A( )f A, in,cos2tAesAAJP相似变换矩阵相似变换矩阵解：首先求出其解：首先求出其Jordan标准形矩阵标准形矩阵 与与求求 的的Jordan表示并计算表示并计算100011001J041130020P从而从而 的的Jordan表示为表示为( )f A1(

16、)( )3012041( 1)0011300( 1)( 1)00202000( 1)102( 1)4( 1)08( 1)3( 1)( 1)6( 1)2( 1)0( 1)4( 1)f APf J Pfffffffffffff当当 时，可得时，可得( )txf xe(1),(1)ttfefte40836204ttttAttttteteteeteetetete于是有于是有( )f xsin x( 1)0,( 1)ff 故故当当 时，可得时，可得408306204sin A 类似可求得类似可求得2043cos032202A定理：定理：设函数设函数 与函数与函数 在矩阵在矩阵 的的谱上都有定义，那么谱上

17、都有定义，那么 的充分的充分必要条件是必要条件是 与与 在在 的谱上的值的谱上的值完全相同。完全相同。( )f x( )g xA( )f x( )( )f Ag A( )f x( )g xAn nAC1212( )() ()()rdddrm12,r rA特征值且特征值且其中其中 为矩阵为矩阵 的的 个互异个互异设矩阵设矩阵 的最小多项式为的最小多项式为 如何寻找多项式如何寻找多项式 使得使得 与所求与所求的矩阵函数的矩阵函数 完全相同？根据计算方法中完全相同？根据计算方法中的的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为项式中有一个次数为 次的多

18、项式次的多项式11(1,2, ),riiidirdm( )p x( )p A( )f A1m 121210( )mmmmp xaxaxa xa( )( )()(),1,2, ;1,2,1kkiiipfirkd且满足条件且满足条件这样，多项式这样，多项式121210( )mmmmp xaxaxa xa1210,mmaaa a( )( )()(),1,2, ;1,2,1kkiiipfirkd121210( )mmmmf AaAaAa Aa I( )f A为为矩阵函数矩阵函数 的多项式表示的多项式表示。确定出来。则我们称确定出来。则我们称关系式关系式中的系数中的系数 完全可以通过完全可以通过例例 1

19、 ：设设100020003A, in,cos44tAesAA( )(1)(2)(3)m xxxx( )f A解：容易观察出该矩阵的最小多项式为解：容易观察出该矩阵的最小多项式为求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算这是一个这是一个3次多项式，从而存在一个次数为次多项式，从而存在一个次数为2 的多项式的多项式2210( )p xa xa xa(1)(1), (2)(2), (3)(3)pfpfpf210210210(1)(2)42(3)93faaafaaafaaa于是可得于是可得且满足且满足解得解得012(3)3 (2)3 (1)1(3 (3)8 (2)5 (1)21( (3)2 (2)

20、(1)2afffafffafff 2210(1)00( )0(2)000(3)ff Aa Aa Aa Iff所以其多项式表示为所以其多项式表示为当当 时，可得时，可得( )txf xe23(1),(2),(3)tttfefefe23000000ttAtteeee( )4f xsinx22(1),(2)1,(3)22fff当当 时，可得时，可得于是有于是有故有故有2002sin01042002A2002cos00042002A类似地有类似地有例例 2 ：设设100021002A( )f A, in,cos4tAesAA2( )(1)(2)m xxx这是一个这是一个3次多项式，从而存在一个次数为次

21、多项式，从而存在一个次数为2解：容易观察出该矩阵的最小多项式为解：容易观察出该矩阵的最小多项式为求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算的多项式的多项式2210( )p xa xa xa(1)(1), (2)(2),(2)(2)pfpfpf21021021(1)(2)42(2)4faaafaaafaa于是有于是有且满足且满足0122(2)3 (2)4 (1)3(2)4 (2)4 (1)(2)(2)(1)afffafffafff 解得解得2210(1)00( )0(2)(2)00(2)ff Aa Aa Aa Ifff所以其多项式表示为所以其多项式表示为当当 时，可得时，可得( )txf x

22、e22(1),(2),(2)tttfefefte22200000ttAttteeetee( )f xsin x(1)0,(2)0,(2)fff当当 时，可得时，可得于是有于是有故有故有000sin00000A2002cos0044000A类似地有类似地有例例 3 ：设设200010001A( )f A( )(1)(2)m xxx, in,cos22tAesAA的多项式的多项式这是一个这是一个2次多项式，从而存在一个次数为次多项式，从而存在一个次数为1解：容易观察出该矩阵的最小多项式为解：容易观察出该矩阵的最小多项式为求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算10( )p xa xa且满足且

23、满足(1)(1), (2)(2)pfpf1010(1)(2)2faafaa01(2)2 (1)(2)(1)affaff 解得解得于是有于是有所以其多项式表示为所以其多项式表示为10( )2 (1)(2)02 (2)2 (1)0(1)0(2)(1)02 (2)(1)f Aa Aa Ifffffffff( )txf xe2(1),(2)ttfefe从而可得从而可得 当当 时，可得时，可得222220220002tttttAttttteeeeeeeeee当当 时，可得时，可得( )2f xsinx(1)1,(2)0ff202sin0102101A故有故有同样可以得到同样可以得到102s0002102

24、coA110011001A( )f A求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算练习练习 ：设设, in,cos4tAesAA定义：定义：设设 ，一元函数，一元函数 能够展开能够展开成关于成关于 的幂级数的幂级数n nAC( )f xx0( )kkkf xc xRA( )AR谱半径谱半径 时，我们将收敛矩阵幂级数时，我们将收敛矩阵幂级数并且该幂级数地收敛半径为并且该幂级数地收敛半径为 。当矩阵。当矩阵 的的0kkkc x的和定义为矩阵函数，一般记为的和定义为矩阵函数，一般记为 ，即，即( )f A0( )kkkf Ac Ax 21112!xnexxxn 因为当因为当 时，有时，有35211

25、1in3!5!1( 1)(21)!nnsxxxxxn 2421112!4!1( 1)(2 )!nncosxxxxn 当当 时，有时，有1x 123(1)1( 1)nnxxxxx 11x 23111ln(1)231( 1)1nnxxxxxn n nAC( )AR所以对于任意的矩阵所以对于任意的矩阵 ，当，当当当 时，有时，有2112!AneIAAAn352111sin3!5!1( 1)(21)!nnAAAAAn 时，我们有时，我们有123()( 1)nnIAIAAAA 24211cos2!4!1( 1)(2 )!nnAIAAAn 2341111ln()2341( 1)nnIAAAAAAn 由此可

26、以得到一些简单的推论：由此可以得到一些简单的推论：2(1)(2)(3)cossin,1n nOn nAAAAiAeIe eeeIeAiAi221(4)cos()21(5)sin()2(6)sin()sin(7)cos()cos(8)sincos1iAiAiAiAAeeAeeiAAAAAA 第五节：第五节：021 2102201(1)!( 1)(2)sin(21)!( 1)(3)cos(2 )!Atk kkkkkkkkkkeA tkAtAtkAtA tk这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，即性质，即定理：定理：设设 ，那么当，那么当 时，时，我们有我们有,n

27、 nA BC22(1)(2)sin()sincoscossin(3)sin22sincos(4)cos()coscossinsin(5)cos2cossinA BABBAee ee eABABAAAAAABABABAAAABBA证明：首先证明第一个等式证明：首先证明第一个等式2222322311()2!11()2!1()()2!1(33)3!ABnne eIAAAnIAAAnIABAABBABAA BABB2311()()()2!3!A BIABABABe现在证明第二个等式现在证明第二个等式()()1sin()()21()211()()2211()()22sincoscossini A Bi