汽车及发动机优化设计练习及答案

1、一、填空题1 目标函数 是设计变量的标量函数。2.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。3.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。4设计空间中的一个点就是一种 设计方案 。5设计空间是 所有设计方案 的集合6下降迭代算法中的三个要素是：搜索方向 、搜索步长 、收敛准则 。7方向导数是函数在某点 沿指定方向的变化率 。8约束条件可以用数学 等式 或 不等式 来表示。9.目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法

2、。10.二元函数在某点处取得极值的必要条件是 充分条件是 该点处的海赛矩阵正定11多元函数F(x)在x*处梯度F(x*) = 0是极值存在的 必要 条件。12.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将 等式约束 优化问题变成 无约束 优化问题，这种方法又被称为 升维 法。13.数值解法的一般迭代公式是 ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 14公式表示了数值迭代搜索法由K到点（K1）间的搜索情况，式中表示 搜索方向 ，表示 搜索步长 。15由于函数极值点的必要条件是函数在这一点的梯度值的模为 0 ，因此当迭代点的函数梯度的模已充分小时，则认为 迭代可以终止 。16凸规划的一个重要性质是

3、：凸规划的任何局部极小解一定是 全局最优解 。17.函数在点处的梯度为，海赛矩阵为18函数变化率最大的方向是 梯度方向 ，函数变化率最大的数值是 梯度的模。19函数F(x)= 3x12+x22- 2x1 x2+2在点(1，0)处的梯度为 (6,-2)T 。20黄金分割法又叫 0.618 法是一种 等比例 缩短区间的直接搜索方法。21在单峰搜索区间a,b内,任取两个试算点a1,a2,若两点的函数值F(a1)> F(a2),则缩小后的区间 a1,b 。22.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。23. 改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩

4、张，收缩，压缩 24各种多维优化方法之间的主要差异是在于构造的 搜索方向 。二、单项选择题1（ D ）更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程。A曲线或曲面 B曲线或等值面 C曲面或等值线 D等值线或等值面 2机械最优化设计问题多属于（ C ）优化问题。 A. 约束线性 B. 无约束线性 C. 约束非线性 D. 无约束非线性3当设计变量数目（ B ）时，该设计问题称为中型优化问题。 A. n10 B. n1050 C. n50 D. n50  4梯度方向是函数具有（ D ）的方向。 A. 最速下降 B. 最速上升 C. 最小变化 D. 最大变化率。 5若矩阵A的各阶顺序主子式均大于零

5、，则该矩阵为（ A ）矩阵A. 正定 B. 正定二次型 C. 负定 D. 负定二次型6为了确定函数单峰区间内的极小点，可按照一定的规律给出若干试算点，依次比较各试算点的函数值大小，直到找到相邻三点的函数值按（ A ）变化的单峰区间为止。 A. 高低高 B. 高低低 C. 低高低 D. 低低高。7梯度法和牛顿法可看作是（C）的一种特例。 A. 共轭梯度法B. 共轭方向法 C. 变尺度法 D. 复合形法8. 数F(X)为在区间10，20内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F(13)<F(16)，则缩小后的区间为（ A ）。 A10，16 B10，13 C13，16 D1

6、6，209目标函数F(x)= x12+x22-x1 x2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)= x1+ x2 -1=0，则目标函数的极小值为（ C ）。 A1 B0.5 C0.25 D0.110一个多元函数F(x)在x*附近偏导数连续,则该点为极小值点的充要条件是（ C ）。 A.F(x*) = 0 C.F(x*) = 0, G(x*) 正定 B. G(x*) = 0 D.F(x*) = 0, G(x* 负定11对于多元函数的无约束优化问题，判断其最优点可以根据（ A）。 A目标函数的梯度判定 C目标函数的形态判定B目标函数的凹凸性判定 D目标函数值的大小判定 12若矩阵A的所有奇数阶主子

7、式小于零，而所有偶数阶主子式大于零，则该矩阵为（C ）矩阵。 A正定 B正定二次型 C负定 D负定二次型13求多维优化问题目标函数的极值时，迭代过程每一步的格式都是从某一定点xk出发，沿着某一使目标函数（ D ）的规定方向S(K)搜索，以找出此方向的极小点X（K1）。 A正定 B负定 C上升 D下降140.618法是一种（ C ）缩短区间的直接搜索方法。 A等和 B等差 C等比 D等积15海森矩阵H(X(0)其逆矩阵H(X(0)1为（ B ）。 A B C D 16多元函数F(X)在X*处存在极大值的充分必要条件是：在X*处的Hessian矩阵（ C ）。 A等于零 B大于零 C负定 D正定1

8、7对于一个无约束优化问题,若其一阶、二阶偏导数易计算,且设计变量不多(n 20),宜选用的优化方法是（ A ）。 A拟牛顿法 B变尺寸法 C0.618法 D二次插值法18机械优化设计中，凡是可以根据设计要求事先给定的独立参数，称为（ C ）。 A设计变量 B目标函数 C设计常量 D约束条件19当设计变量数目（ A ）时，该设计问题称为小型优化问题。 An10 Bn1050Cn50 Dn5020当满足（ A ）条件时，矩阵A为正定矩阵。A各阶顺序主子式均大于零 C各阶顺序主子式均小于零B所有偶数阶主子式大于零 D所有奇数阶主子式小于零21在任何一次迭代计算过程中，当起步点和搜索方向确定后，求系统

9、目标函数的极小值关键就在于求出（ C ）的最优值问题。 A约束 B等值线 C步长 D可行域22在设计空间内，目标函数值相等点的连线，对于三维以上问题，构成了（ D ）。A等值域 C同心椭圆族B等值面 D等值超曲面23在下列无约束优化方法中，（ C ）需要计算Hessian矩阵。  Apowell法     C牛顿法   B.梯度法   D共轭梯度法24优化设计的自由度是指（ A ）。A 设计空间的维数 C 可选优化方法数B 所提目标函数数 D 所提约束条件数25. 对于函数F(x)=x12+2x22,从初

10、始点x(0)=1，1T出发，沿方向s(0)= -1，-2T进行一维搜索，最优步长因子为（ B ）。 A10/16 B5/9 C9/34 D1/226函数在点处的梯度是（ C ）。 A B C D 27优化设计的数学模型中，设计变量是一组（ C ）的基本参数。 A相互依赖 B互为因果关系 C相互独立 D相互约束28在设计空间内，目标函数值相等点的连线，对于二维问题，构成了（ A ）。 A等值线 B等值面 C同心椭圆族 D等值超曲面29工程优化设计问题的数学本质是求解（ A ）的极限值。 A多变量非线性函数 C多变量线性函数 B少变量非线性函数 D多常量线性函数30函数f(X)在给定点X(K)的梯

11、度向量是函数等值线在该点X(K)的（ D ）方向。 A趋近线方向 B平行线方向 C切线方向 D法线方向31f(X1，X2)在点X处存在极小值的充分条件是：要求函数在X处的Hessian矩阵H(X)为（ B ）。 A负定 B正定 C各阶方子式小于零D各阶方子式等于零32利用黄金分割法选取内分点原则是每次舍弃的区间是原区间的（ C ）倍。A0.618 B0.5 C0.382 D0.7533已知函数F(X)=x12+x22-3x1x2+x1-2x2+1，则其Hessian矩阵是（ A ）。A B C D 34n元函数在点附近沿着梯度的正向或反向按给定步长改变设计变量时，目标函数值（ A ）。 A变化

12、最大 B变化最小 C近似恒定 D变化不确定35当设计变量数目（ D ）时，该设计问题称为大型优化问题。 An10 Bn1050Cn50 Dn50 36工程优化设计问题大多是（ C ）规划问题。 A多变量无约束的非线性 C多变量有约束的非线性 B多变量无约束的线性 D多变量有约束的线性37函数的梯度是一个（ B ）。 A标量 B向量 CT阶偏导数D一阶偏导数38黄金分割法是一种等比的缩短区间的（ B ）方法。 A间接搜索 B直接搜索 C下降搜索 D上升搜索39实际工程中约束问题的最优值f(X*)不一定是目标函数的自然最小值，但它却是（ C ）的最小值。 A函数可行域内 B约束条件限定下C约束条件

13、限定的可行域内 D转化为无约束下40利用0.618法在搜索区间a,b内确定两点a1=0.382,b1=0.618，由此可知区间a,b的值是（ D ）。A 0,0.382 C 0.618,1 B 0.382,1 D 0,141约束极值点的库恩塔克条件为F(X)=，当约束条件gi(X)0(i=1,2,m) 和i0时，则q应为（ B ）。 A等式约束数目 B起作用的等式约束数目 C不等式约束数目 D起作用的不等式约束数目42n元函数F(X)在点X处梯度的模为（ D ）。 A|F|= B|F|= C|F|= D|F|=43已知函数F(X)=-x1x2+1，则其Hessian矩阵是（ A ）。 A B

14、C D44在设计空间内，目标函数值相等点的连线，对于四维以上问题，构成了（ D ）。A等值域 B等值面 C同心椭圆族 D等值超曲面45一维优化方程可用于多维优化问题在既定方向上寻求（ C ）的一维搜索。 A最优方向B最优变量 C最优步长 D最优目标46凡在可行域内的任一设计点都代表了一允许采用的方案，这样的设计点称为（ D ）。 A边界设计点 B极限设计点 C外点 D可行点47当满足（ B ）条件时，矩阵A为负定矩阵。A各阶顺序主子式均大于零 C各阶顺序主子式均小于零B所有参数阶主子式小于零 D所有参数阶主子式大于零48（ A ）的主要优点是省去了Hessian矩阵的计算，被公认为是求解无约束

15、优化问题最有效的算法之一。A变尺度法 C惩罚函数法B复合形法 D坐标轮换法 三、简答题 1什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？ 1）内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。 内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小，且趋近于0的数列。相邻两次迭代的惩罚因子的关系为 为惩罚因子的缩减系数，其为小于1的正数，通常取值范围在2）外点惩罚函数法简称外点法，这种方法新目标函数定义在可行域之外，序列迭代点从可行

16、域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。外点惩罚函数法的惩罚因子，它是由小到大，且趋近于的数列。惩罚因子按下式递增，式中为惩罚因子的递增系数，通常取2共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。. 对于二次函数，,从点出发，沿G的某一共轭方向作一维搜索，到达点，则点处的搜索方向应满足，即终点与始点的梯度之差与的共轭方向正交。3为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进？.答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降法。其余各

17、步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。5.算法的收敛准则由哪些？试简单说明。略6.优化设计的数学模型一般有哪几部分组成？简单说明。略7简述复合形法的基本思路略三、计算题1试用牛顿法求的最优解，设。（迭代一次即可）初始点为，则初始点处的函数值和梯度分别为 ，沿梯度方向进行一维搜索，有 为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件 ，从而算出一维搜索最佳步长 则第一次迭代设计点位置和函数值，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。2、试用黄金分割法求函数的极小点和极小值，设搜索区间（迭代一次即可）解：显然此时，搜索区间，首先插入两点，由式计算相应插入点的函数值。因为。所以消去区间，得到新的搜索区间，即。第一次迭代：插入点，相应插入点的函数值