数列求和7种方法

1、数列求和的根本寿法和技巧配以相应的练习oOF总论总数列求和7种方法首6Qb o 人.*o«5!Os：利用等差宇等比数列求和公式;OMMB反序相加法求和分组相加法求和B j ° =Sc* 裂项消去法求和法,口压'等致夕I旳求和7一、利用常用求和公式求和 利用卞列常用求和公武求和是数列求和的最根本最重要的方法.% / . 1% * "V v 1,.等差数列求和公式；»=巴字"台M +土na"Zd-.2s=i玉等比敷列壊和公丸坊产同g WL IT4, »=£宀新442叶1p矢耳±£於=中&qu

2、ot;11加2<1 y 御求m,：求无+工+*+4疋+严的前n项和.2利用常用公式?解土由等比数列求和公式得 为=花主於十/呼"+才=lijc心_址会 丄i-A 袈z 2E皤申*加心射斫占严最咖° £ 利用常用公式?%:' 解:由簟緯興漏瞬溺得S =n(w + l)r S =(n + 1)(« + 2)呵厂畝22、*A /(«) =''(+32心沖+3硼+64*当* 即 n=g®t" /(W)ma"错位相减法求和;谴种方法是在推导等比数列的前n项和容武时所用的方法J这种方法主要用于求数

3、列伽 时的前n 翔 舞中騒扎 0.30破絢徹够电無3:求孤？ Sr=1+3x+；5x + lx 4?+£2川 一!*1"：.："：艸ag.弹解:由题可知， 2卅-1疋7 的通项是等差数列2H-1J的通项与等比数列挈心的通项之积(设制错齢药.5| *设母S 9玫4软萇+5#+7才+"丰2也一耳护匕七叶“十十片r r 国猖(1 -x)Sn =l+2x42#+2¥24-p2xT_(2?rjl)j再利用等比数列的求和公式得：1一刃£ =1*2心匕二1加一1捫1 j賤G2川一1屛祕一2川七1牡+ 1+羽勺T7 4 fi; 7m：例4求数列应右卅

4、圧詁前n项的和.2 尝 2- 2T2n1_ . - . d 刍 I 厶 1 f f ©© 0。 * 今一f V2 1 2厶 2$iwb , -“厂；4 6 2m ；，公 24旷2吻1八弦.2虫眄扣皤解:由题可知，莎的通项是等差数列2町的通璇与等比数列上莎的通项之积 .246 In谑比=二令詞牛命千W 2 5wf严1亠 2 . 222 -. 2 2n十 -尹尹f萨y.*.1：2n=2r-.公*.刃 + -2»4右k 32雁云处發求M <4曲盘"项知文 2 9 * » - %辱第每二冰2 一五222网=加2巴12"+11 35：&a

5、mp;-1练习贬夕讶巴尹H製2X的前n项和为V. 三.逆序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公送时厉用的方法八就是将一冷数列倒过来排列?反序却再把它与原数列相加P就可以得到11个+舛.銅5厂求吧 C： +3C：+3C；+'+如+1© =如 + 12岷崔是 设S傩=型*箕;申3空牛曲+i屮；1沟；u.：yr.把式右边倒转过来得Sn = 2n +啊 + 2仏一 lCj+ v + 3CJ+又由碍=C厂可得S血=2用士1£ +2斤一1© 七"用 3CT Y/夕夕谬得2Sn = 2n + 2Xe； + G： + 亠十砖4 十£ -2041濟 ,

6、反序相加?题1函软JB证明第砂吠1一或巴： Ct <<用擋数的相关性质时函数牝臥 C2X刑用第右?.冰题E銘证朝敢结議可矩有一类数列，既不是等養数列， 常见的数列然后分别求札 再将其合并即可. # . . . ( . 因麟町求数列的前*：n项和? 1+1* +4?+ 7严v w - + 3/12 *：皐 a aa解，设=(1 + l)+(i 七 4)+(亠十7)+叱 + (-L + 3n “ 2)a 圧严将其每一项拆开再重薪组舍得JV-*-四、分组法求和也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开.可分为几个等差*等比或in片.=(1 + d + “ +-r) + (1+4+7 + *

7、+3n；2) aa <''*当Bl时，必=卄匹5-伽十咖： - 2更丄i_ 1)死_岳一探忖° (3ii-l)n ? 伍 J 2 I-当o工1时e S =1例8求数列n(n+l)(2ii+l)的前n项租解：设色沪k(k 2k + 1)产2疋+ 3k2 + kJTHrS*=工斤仗4玫2匕丄耳=?(22丄3疋+灯El44將其每一项拆开再重新组合得». nSn=2V F +3£ 严+£ £ M 魏?3;=2(13 十2 +"+')+3(12 +挈+“七严)十(1+2 十+n) _/如+1)2 n(«+

8、IX2w+l) , n(«+l)=土吋、m* 1 _""5+护5上2)五、裂项法求和° f ；这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用雷裂项法的实质是将数列中的每项项分解,然启 重新组台 使之能消去一些顼，最终到达求和的目的.通项分解 空顷关如心=于3七耳。/5) jtMB 1*“话盂时F吨+1)7“©=面:亀+1广T丄1一為a =2= _F- f m(m -1X« + 2) i n(n +l) (n+l)(n + 2) Q* eJV 丐=孟影存鴛假设产苏召一諾沪艰亠諾面' 如 (An + BAn + Q 匚B "加

9、 + B An +翊换I丘,#护屛帚2的前n项和.、V 解设兔=一 =&卡-扳M '9那么兀Q订厉4厉孫" 1血虽时=r + (/3+ 注；*+亠. B 1 1例10)在数列 伽中# an = -_-+-;+H+1n+1于上"又» = 一-一,求数列6的前n双的和. 角解:27 州=+ +n-i-1n+1：虬=8(十71/1 + 12 二数列"的前n项和 Pi n n+ ：n+1 2 丄) n n+19(裂项求和)©009年广东文?20.(本小题满知14分? . K>0已卸点Q订)是函数子(匹)A0,且幺弄1)的图象上一筋

10、等比数列仏的前匹顶和为f g f数列® ®.AO)的首顶为5且前n项和S理满足Sn風*応.陆对(D；求数列BJ和%的逋项公龙假设如佥严财林吟踹血°°的最水正整数n是多宓o.【解析】W V沢1)*合力何=GJ«1 =/(l)-e=ic f -ai -/(2)g-/岂= 他=才(3)-9-子(2)-可一寻； 宀 A-.：又数列%成等比数列沪兔=空=马-=2=Il©，.所以C = XZ/r块公比彳三眷比卜所臥心=¥(£)jS" = (7r J乳 J于.揖R弋(臨2)又瓦AO,屈AO. /-科"Af数列

11、屈构成r个首相为1公趙为1的尊蹇数列，屁=1+(1)XUS" 当Q ：2;»力=s疳-心=7Z2 M I' =2/1 1 :/reJV*心111.1111.1s S 晒 b並屛wa 3< 5x7 讥21X2妇4=(H卜衆弓卜期箱72rt+lJ2匕 3)2匕.5丿 2(5 刁丿 22n-l 2n+丄丁土 h1000&1000 俺口 穴由兀=決石忌得刃?，满足7； 石忌的最小正整数为H2.2n +1 290992021n2n+lI T “农jl4 m當 谑并一2次*1 / :3冷44»*-J+! h! f 宀! 斜鑫加；24 3-*1 46血朝炉

12、+号答案:.求数列通项公式的常用方法匕曾w麻=4,求血.注意到 %1 =%L Sn S= 4(1) 求差(商)法又$严4它$/是等比数列：区=4円练习数列%满足那+ S崗=“工2时，鬲越：= =34啊(2) 叠乘法如:数列兔中M 3, M c % "+1西:：94 nn.1 2 .711 < < 2 3 n(3) 等差型递推公式由an -%=/(")*坷士吋求為事用遨嚥角I -/(2)«>2Mr 2二二!问两边相加得心-国*(2)打£-J=f 叫儿7A叫"+于(2)+/+土/(町练习数列中玄切=b毎“小十认N2"求 *数列仏满足6 =rX.。柿.=%+ #： m求角 6 解:朋伸：些予=:朮忒誌旷.右占 分别令/i=l,23叫“Th代入上式得山T个等武累加之，即£ %阿于扌二角十么4 -吗十"卡 Fin1 i I . .131m cin 存尸+1一=pL2 2 n 2 n.4等比型递推公式