概率论与数理统计第一章习题解答

1、概率论与数量统计第一章习题解答 1、写出下列随机试验的样本空间：（1） 记录一个班 一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。解：（1） 设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，100n。 故随机试验的样本空间S=i/n|i=0,1,2,100n。（2）随机试验的样本空间S=10,11,12,。（3）以0表示检查到一个次品，1表示检查

2、到一个正品，则随机试验的样本空间S=00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111。（4）随机试验的样本空间S=（x,y）|x2+y2<1。2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。（2）A与B都发生，而C不发生。（3）A，B，C中至少有一个发生。（4）A，B，C都发生。（5）A，B，C都不发生。（6）A，B，C中不多于一个发生。（7）A，B，C中不多于两个发生。（8）A，B，C中至少有两个发生。解：（1）A （2）AB （3）ABC （4）ABC（5） （6）ABC

3、（7）S-ABC （8）ABCABACBC3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求AB，ABC，C，C的概率。（3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求 P（A），（ii）若P（AB）=1/8，求P（A）。解：（1）因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0。故P（ABC）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-

4、P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。（2）P（AB）=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15,P（）=1-P（AB）= 4/15,P（ABC）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+1/30=51/60，P()=1- P（ABC）=3/20,P(C)=P（）- P()=7/60，P(C)=P（）+ P(C)- P(C)=4/15+1/5-7/60=7/20。（3）（i）因为A，B互不相容，所以AB=，P（AB）=0。故 P（A）=P（A）-P（

5、AB）=1/2。（ii）P（A）= P（A）-P（AB）=1/2-1/8=3/8。4、设A，B为两个事件。（1）已知A=B，验证A=B。（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）+P（B）-2P（AB）。证明：（1）A=A（B）=ABA=ABB=（A）B=B。（2）因为AB =，所以P（AB）= P（A）+ P（B）- P（AB）= P（A）+ P（B）=P（A）-P（AB）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-2P（AB）。5、10 片药片中有5 片是安慰剂。（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率。（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率

6、。解：（1）p=1-/-/。（2）p=/。6、在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小号码为5的概率。（2）求最大号码为5的概率。解：（1）从10人中任选3人的选法有种。要求最小号码为5，即有一个人的号码是5，其他两人的号码都在6到10之间。故共有种不同的选法。故最小号码为5的概率p=/。（2）同理最大号码为5的概率p=/。7、某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：p=/。8、在

7、1500件产品中有400 件次品、1100件正品。任取200件。（1）求恰有90件次品的概率。（2）求至少有2件次品的概率。解：（1）恰有90件次品的概率p=/。（2）至少有2件次品的概率p=1- /-/。9、从5双不同的鞋子中任取4只。问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解： 设A为事件“这4只鞋子中没有配成一双”，则事件“这4只鞋子中至少有两只配成一双”是。从10只鞋子中任取4只有种取法，事件A的取法可以有10（第一只的取法）×8（第二只的取法，和第一只一双的那一只也不能取了）×6（第三只的取法）×4（第一只的取法）。故P（A）=16/。P（）=1-

8、P（A）=1-16/。10、在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。解： 从11个字母中选取7个字母有种选法。由于b和i各有两个，故排列ability共有4种不同的选法。因此排列结果为ability的概率p=4/。11、将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。解： 杯子中球的最大个数为1的概率p=/43。杯子中球的最大个数为2的概率p=1-/43-/43。杯子中球的最大个数为3的概率p=/43。12、50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只铆钉强度太弱。每个部件用3只铆钉。若将3

9、只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 解：一个部件强度太弱的事件相当于从50只铆钉中随机地选出的3只铆钉恰好都是强度太弱的且装在了同一个部件上。故p=/。或p=/。13、一个俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生。（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。解：（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率=/。（2）设事件A为“一年级有2名学生，其他年级各有一名”，事件B为“二年级有2名学生，其他

10、年级各有一名”，事件C为“三年级有2名学生，其他年级各有一名”，事件D为“四年级有2名学生，其他年级各有一名”，。则A，B，C，D两两不相容，且P（A）=/，P（B）=/，P（C）=/，P（D）=/，所以在其中任选5名学生，一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=240/。14、（1）已知P（）=0.3，P（B）=0.4，P（A）=0.5，求条件概率P（B|A）。（2）已知P（A）=1/4，P（BA）=1/3，P（AB）=1/2，求P（AB）。解：（1）因为P（B|A）=P（B（A）/P（A），P（A）=P（A）+P（）-P（A）=1- P（）+1-

11、P（B）-0.5=0.8，P（B（A）=P（AB）=P(A)-P（A）=0.7-0.5=0.2，所以P（B|A）=0.25。（2）因为P（BA）=P（AB）/P（A），所以P（AB）=1/12。又因为P（AB）=P（AB）/P（B），所以P（B）=1/6。故P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=1/3。15、掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。16、据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P孩子得病=0.6，P母亲得病|孩子得病=0.5，P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4，求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：设事件A为“孩

12、子得病”，事件B为“母亲得病”，事件C为“父亲得病”，则要求的概率为P（AB）。由已知，P（A）=0.6，P（B|A）=0.5，P（C|AB）=0.4，所以P（AB）=P（AB）P（|AB）=P（A）P（B|A）1- P（C|AB）=0.6×0.5×0.6=0.18。17、已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样。求下列事件的概率。（1）两件都是正品。（2）两件都是次品。（3）一件是正品，一件是次品。（4）第二次取出的是次品。解： 设事件A为“第一件是正品”，事件B为“第二件是正品”，则（1）两件都是正品的概率P（AB）=/（或=P（A）P（B

13、|A）=4/5×7/9）。（2）两件都是次品的概率P（）=/（或=P（）P（|）=1/5×1/9）。（3）一件是正品，一件是次品的概率P（AB）=P（A）P（|A）+P（）P（B|）=4/5×2/9+1/5×8/9。（4）第二次取出的是次品的概率P（）=P（A）+P（）=P（A）P（|A）+P（）P（|）=4/5×2/9+1/5×1/9。18、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，则此概率是多少？解： 设A表示事件“第一次拨通所需电话”，B表示事件“第二次

14、拨通所需电话”，C表示事件“第三次拨通所需电话”，D表示事件“拨号不超过三次接通所需电话”。则D=ABC，所以P（D）=P（A）+P（B）+P（C）= P（A）+P（）P（B|）+ P（）P（C|）= P（A）+P（）P（B|）+ P（）P（|）P（C|）=1/10+9/10×1/9+9/10×8/9×1/8。当已知最后一个数字是奇数时，则P（D）=1/5+4/5×1/4+4/5×3/4×1/3。19、（1）设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球。今从甲袋中任意取一只球放入袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球

15、的概率是多少？（2）第一只盒子装有4只白球、5只红球；第二只盒子装有5只白球、4只红球。先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中，然后从第二个盒子中任取一只球。求取到白球的概率。解：（1）设A表示事件“从甲袋中取到的是红球”，B表示事件“从乙袋中取到的是白球”。则P（B）=P（AB）+P（B）=+P（C）= P（A）P（B|A）+P（）P（B|）=m/(m+n)×N/(M+N+1)+ n/(m+n)×(N+1)/(M+N+1)。（2）设A表示事件“从第一个盒子中取到0个红球”，B表示事件“从第一个盒子中取到1个红球”，C表示事件“从第一个盒子中取到2个红球”，D表示事件“

16、从第二个盒子中取到白球”。则P（D）=P（AD）+P（BD）+P（CD）=P（A）P（D|A）+ P（B）P（D|B）+ P（C）P（D|C）=/×/+/×/+/×/。20、某种产品的商标是“MAXAM”，其中有2 个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍“MAXAM”的概率。解： 设A1，A2，A3，A4，A5分别为事件“脱落M、M”，“脱落A、A”，“脱落M、A”，“脱落M、X”，“脱落A、X”，。D为事件“放回后仍为MAXAM”。因为P（A1）= P（A2）=/，P（A3）=/，P（A4）=/，P（A5）=/，P（D|A1）= P（D|A2）=1, P（D|

17、A3）= P（D|A4）= P（D|A5）=1/2，所以P（D）=。21、已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解： 设A表示事件“选出的是男性”，H表示事件“选出的人是色盲患者”。则已知条件P（A）=1/2，P（）=1/2，P（H|A）=0.05，P（H|）=0.0025。由贝叶期公式可得P（A|H）=P（H|A）P（A）/P（H|A）P（A）+ P（H|）P（）。22、一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概

18、率为p/2。（1） 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解：设事件A表示“第1次考试及格”，事件B表示“第2次考试及格”，事件C表示“他能取得某种资格”。由已知条件可知，P（A）=p，P（B|A）=p，P（B|）=p/2。（1）因为C=AB，所以P（C）=P（A）+P（B）=P（A）+P（）P（B|）=p+(1-p)p/2。（2）P（A|B）=P(AB)/P(B)=P(B|A)P(A)/ P(B|A)P(A)+ P(B|)P()=p2/p2+(1-p)p/2=2p/(p+1)。23、将两信息分别编码为A和B传送出去，接收

19、站收到时，A被误收作B的概率是0.02，而B被误收作A的概率是0.01。信息A 与信息B传送的频繁程度为2：1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解：设A表示事件“将信息A传送出去产”，B表示事件“接收站收到的信息是A”。则由已知，P（A）=2/3，P（|A）=0.02，P（B|）=0.01。则P（A|B）=P(AB)/P(B)=P(A)P(B|A)/P(A)P(B|A)+P()P(B|)=2/3×0.98/2/3×0.98+1/3×0.01。24、有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中

20、任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。26、病树的主人外出。委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率是0.8。若浇水则树死去的概率是0.15。有0.9的把握确定邻居会记得浇水。（1）求主人回来树还活着的概率。（2）若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率。27、设本题涉及的事件均有意义。没A，B都是事件。（1）已知P（A）>0，证明P（AB|A）P（AB|AB）。（2）若P（A|B）=1，证明P（|）=1。（3）若设C也是事件，且有P（A|C）P（

21、B|C），P（A|）P（B|），证明P（A）P（B）。28、有两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立。求（1）这两颗花籽都能发芽的概率。（2）至少有一颗能发芽的概率。（3）恰有一颗能发芽的概率。29、根据报道美国人血型的分布近似地为：A型为37%，O型为44%，B型为13%，AB型0 6%。夫妻拥有的血型是相互独立的。（1）B型的人只有输入B、O两种血型才安全。若妻为B型，夫为何种血型未知，求夫是妻的安全输血者的概率。（2）随机地取一对夫妇，求妻为B型夫为A型的概率。（3）随机地取一对夫妇，求其中一人为A型，另一人为B型的概率。（4）随机地取一对夫妇，求其

22、中至少有一人是O型的概率。30、（1）给出事件A、B的例子，使得（i）P（A|B）<P（A）。（ii）P（A|B）=P（A）。（iii）P（A|B）>P（A）。（2）设事件A，B，C相互独立，证明（i）C与AB相互独立。（ii）C与AB相互独立。（3）设事件A的概率P（A）=0，证明对于任意另一事件B，有A，B相互独立。（4）证明事件A，B相互独立的充要条件是P（A|B）= P（A|）。31、设事件A，B的概率均大于零，说明以下的叙述（1）必然对。 （2）必然错。（3）可能对。并说明理由。（1）若A与B互不相容，则它们相互独立。（2）若A与B相互独立，则它们互不相容。（3）P（A）

23、=P（B）=0.6，且它们互不相容。（4）P（A）=P（B）=0.6，且它们相互独立。32、有一种检验艾滋病毒的方法，其结果有概率0.005报导为假阳性（即不带艾滋病毒的人被认为带艾滋病毒）。今有140名不带艾滋病毒的正常人全部接受此种检验，被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为多少？33、盒中有编号为1，2，3，4的4只球，随机地自盒中取一只球，事件A为“取得的是1号或2号球”，事件B为“取得的是1号或3号球”，事件C为“取得的是1号或4号球”。验证：P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），但P（ABC）P（A）P（B）P（C），即事件A，B，C两两独立，但A，B，C不是相互独立的。35、如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。在C发生时这些开关每一个都 应完全，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.9