大学高等数学_06中值定理_洛必塔_泰勒_单调性

1、第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三节)推广推广微分中值定理 与导数的应用 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理,)(0有定义在x且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf证证: 设, )()(, )(0000 xfxxfxxx则)(0 xf xxf

2、xxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x)(xfy 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理)(xfy 满足:(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 证证:，上连续在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 则, ,)(baxMxf因此.0)(, ),(fba在( a , b ) 内至少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 M m ,

3、 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 , )(afM 则至少存在一点, ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,1,010,)(xxxxfx1yo则由费马引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo机动 目录 上页 下页 返回 结束 使2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为)(xfy 在 ( a , b ) 内可导, 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 内至少存在一点,. 0)(f证明提示证明提示: 设证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . )(xFaxaf,

4、 )(bxaxf, )(bxbf, )(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于1 的正实根 .证证: 1) 存在性 .则)(xf在 0 , 1 连续 , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假设另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点,. 0)(f使但矛盾, 故假设不真!设机动 目录

5、上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在区间 a , b 上连续)(xfy 满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然 ,)(x在 a , b 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且证证: 问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba,0)(使即定理结论成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 0)()

6、()(abafbff证毕拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论推论: 若函数在区间 I 上满足,0)( xf则)(xf在 I 上必为常数.)(xf证证: 在 I 上任取两点, )(,2121xxxx上用拉在,21xx日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上为常数 .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx证证: 设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论可知Cxxx

7、farccosarcsin)( (常数) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所证等式在定义域 上成立. 1, 1自证自证:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0经验经验: 欲证Ix时,)(0Cxf只需证在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明不等式证证: 设, )1ln()(ttf上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值定理条件,即因为故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此应有机动 目录 上页 下页 返

8、回 结束 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点, ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0要证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaF

9、bfa,),(,)(内可导在上连续在则babax且, ),(ba使, 0)(即由罗尔定理知, 至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF两个 不一定相同错错! !机动 目录 上页 下页 返回 结束 上面两式相比即得结论. 柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:xyo弦的斜率切线斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 )0() 1 (

10、ff)0() 1 (FF例例4. 设).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点),1,0(使证证: 结论可变形为设则)(, )(xFxf在 0, 1 上满足柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使)(f )(F012即)0() 1 (2)(fff证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 11lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(eFfFeFfef例例5. 试证至少存在一点), 1(e使.lncos

11、1sinlncos1sin 证证: 法法1 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 试证至少存在一点), 1(e使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件, ), 1 ( e使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系

12、罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维设辅助函数费马引理机动 目录 上页 下页 返回 结束 4412 3412思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1) 函数4)(xxf在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理条件, 则中值._2) 设有个根 , 它们分别在区间341530)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程2. 设,0)(Cxf且

13、在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 若)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 提示提示: 设,0)()(2121xxxfxf欲证:, ),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0 )(xxxfe作辅助函数, )()(xfexFx验证)(xF在,21xx上满足罗尔定理条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 思考: 在0,00,si

14、n)(12xxxxfx,0 x),0(, )0)()0()(xxffxf即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(xxx111sinsin2cos当,0 0 x时. 0cos1问问是否可由此得出 ?0coslim10 xx不能不能 !因为)(x是依赖于 x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 . 0 x应用拉格朗日中值定理得上对函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(111nnf作业作业P132 7, 8 , 10 , 12 , 14 , 15提示提示:xexfx)()(题15. )(nxxf)0(f 0)0(f0题14. 考虑第二节 目录 上页 下页

15、 返回 结束 费马费马(1601 1665)法国数学家, 他是一位律师, 数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博览群书并善于思考, 在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献, 近百余年来, 数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.柯西柯西(1789 1857)法国数学家, 他

16、对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一, 他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 备用题备用题求证存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使1. 设 1 , 0可导，且,0) 1 (f在连续，) 1 ,0()(xf证证：)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在显然)(x在 上满足罗尔定理条件, 1 , 0)(即0)()(ffn设辅助

17、函数使得)()(1ffnnn0机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)0(,0)( fxf设 证明对任意0, 021xx有)()()(2121xfxfxxf证证：210 xx )()()(1221xfxfxxf12)(xf0)(121 fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx2.不妨设 )0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x11)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三三章 )()(limxgxf微分中值定理函数

18、的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化00( 或 型)()(limxgxf本节研究本节研究:洛必达 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或为 )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 在 x , a 之间)证证: 无妨假设, 0)()(aFaf在指出的邻域内任取,ax 则)(, )(xFxf在以 x, a 为端点的区间上满足柯0)(lim)(lim)

19、 1xFxfaxax故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理条件定理条件: 西定理条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(lim)3xFxfax存在 (或为 ),)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且推论推论1. 定理 1 中ax 换为, ax, ax,xx之一,推论推论 2. 若)()(limxFxf满足定且型仍属)(, )(,00 xFxf理1条件, 则)()(lim)()(limxFxfxFxf)()(limxFxf 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成

20、立.,x)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax洛必达法则定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求.123lim2331xxxxxx解解: 原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求.arctanlim12xxx解解: 原式 limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考思考: 如何求 nnn12arctanlim( n 为正整数) ?型机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、型未定式型未定式)

21、(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或为)()(limxFxfax定理定理 2.证证: )()(limxFxfax仅就极限存在的情形加以证明 .)()(limxFxfax(洛必达法则)机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且1)0)()(limxFxfax的情形)()(limxFxfax limax)(1xF)(1xf limax)()(12xFxF)()(12xfxf)()()()(lim2xfxFxFxfax)()(lim)()(lim2xfxFxFxfaxax)()(lim)()(lim1xfxFx

22、Fxfaxax)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax从而型00机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)0)()(limxFxfax的情形. 取常数,0k,0 kkxFxfax)()(lim)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfaxkxFxfax)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax可用 1) 中结论机动 目录 上页 下页 返回 结束 3)()(limxFxfax时, 结论仍然成立. ( 证明略 )说明说明: 定理中ax 换为之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立., ax,

23、ax,xx,x定理2 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求. )0(lnlimnxxnx解解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4. 求求解解: (1) n 为正整数的情形.原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求. )0, 0(limnexxnx(2) n 不为正整数的情形.nx从而xnexxkexxkex1由(1)0limlim1xkxxkxexex0limxnxex用夹逼准则kx1kx存在正整数 k , 使当 x 1 时,机动 目录 上页 下页 返

24、回 结束 . )0(0lnlimnxxnx例3. 例4. )0, 0(0limnexxnx说明说明:1) 例3 , 例4 表明x时,lnx后者比前者趋于更快 .例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim而xxx21lim11lim2xx1)0(xe, )0( nxn用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 若,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在)sin1 (limxxx1机动 目录 上页 下页 返回

25、结束 三、其他未定式三、其他未定式:,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例5. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 型. )tan(seclim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例6. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例7. 求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxel

26、n0lim0e1例5 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例8. 求.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到xsin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x型00机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnneln11例例9. 求. ) 1(limnnnn分析分析: 为用洛必达法则 , 必须改求. ) 1(lim121xxxx法法1 用洛必达法则型0但对本题用此法计算很繁 ! 21 limnn法法2) 1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121

27、lnlimnnn0u1ue原式例3 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设)()(limxgxf是未定式极限 , 如果)()(xgxf不存在 , 是否)()(xgxf的极限也不存在 ? 举例说明 .极限)1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx说明 目录 上页 下页 返回 结束 原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx)03(2123分析分析:分析分析:203cos1limxxx30

28、 limxx3.xxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxxx20sin)sin(coslim,1xt 则2011221limtttt4. 求xxxxx122lim23解解: 令原式tt2 lim021)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4第三节 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达洛必达(1661 1704)

29、法国数学家, 他著有无穷小分析(1696), 并在该书中提出了求未定式极限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲线的书 .则 ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出机动 目录 上页 下页 返回 结束 求下列极限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;1lim)2211000 xxex)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0tttt备用题备用题

30、ttt21lim11021)1(xt 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 令,12xt 则ttet50lim原式 =txet50lim0ttet4950lim2110001lim)2xxex解解:tte!50lim(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxxcossec)1ln(lim22201xxxxxcossec)1 (lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解解:原式 =342xxxxtansec)sin(x第三节 目录 上

31、页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒 ( Taylor )公式 第三三章 特点:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?xx 的一次多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 1

32、. 求求 n 次近似多项式次近似多项式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21机动 目录 上页 下页 返回 结束 令)(xpn则)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0a

33、nnxxaxxaxxa)()()(020201)0(之间与在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 余项估计余项估计)()()(xpxfxRnn令(称为余项) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn则有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1

34、()()1(nRnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn时的某邻域内当在Mxfxn)() 1(0)0(之间与在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .泰勒中值定理泰勒中值定理 :内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数 ,),(bax时, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf n

35、nxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR则当)0(之间与在xx泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano) 余项余项 .在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以证明: 阶的导数有直到在点nxxf0)( 式成立机动 目录 上页 下页 返回 结束 特例特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 当 n

36、 = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 误差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为麦克劳林（麦克劳林（ Maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx则有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf

37、2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn则有误差估计式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束 由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其

38、中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe机动 目录 上页 下页 返回 结束 )sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm机动 目录 上页 下页 返回 结束 ! )2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx机动 目录 上

39、页 下页 返回 结束 ) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n类似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的

40、应用三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差1! ) 1()(nnxnMxRM 为)() 1(xfn在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知例例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1

41、!2111nen) 10(由于, 30ee欲使) 1 (nR!) 1(3n610由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过,105 . 076总误差为6105 . 076106105这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过.106因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .e!91!2111机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 用近似公式!21cos2xx计算

42、cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解解: 近似公式的误差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0 x即当588. 0 x时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例3. 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法则不方便 !2x用泰勒公式将分子展到项,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n)

43、1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(机动 目录 上页 下页 返回 结束 x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4. 证明).0(82112xxxx证证:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0

44、(82112xxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项)(0nxxo当00 x时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 ( P140 P142 ),xe, )1ln(x,sin x,cos x)1 (x3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.

45、(2) 利用多项式逼近函数 , xsin例如例如 目录 上页 下页 返回 结束 4224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近机动 目录 上页 下页 返回 结束 12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近机

46、动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 计算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式第四节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P143 1 ;4 ; 5 ; 7 ; 8;10(1),(2)泰勒泰勒 (1685 1731)英国数学家, 他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 线性透视论(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .他是有限差分理论的奠基

47、人 .麦克劳林麦克劳林 (1698 1746)英国数学家, 著作有:流数论(1742)有机几何学(1720)代数论(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数麦克劳林级数 ., 1 ,0)(上具有三阶连续导数在设函数xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff.24)(, f使一点)(xf)(21之间与在其中x, 1,0 x由题设对证证:备用题备用题 1.321)(!31 xf)(21f221)( x)(! 2121f )(2121xf有)(21f221)( x)(!2121f 321)(!31 xf内至少存在证明) 1,0(且得分别令, 1,0 x机动 目录 上页 下

48、页 返回 结束 ), 0(211)(21f)1 ,(2123211)(! 3)( f3212)(! 3)(f )0(1f)(21f22121)(! 2)( f) 1 (2f22121)(! 2)(f 1下式减上式 , 得)()(48112ff )()(48112ff )(241f ) 10(令)(,)(max)(12fff 24)( f机动 目录 上页 下页 返回 结束 e) 10(! ) 1(!1!2111nen两边同乘 n !en!= 整数 +) 10(1ne假设 e 为有理数qp( p , q 为正整数) ,则当 时,qn 等式左边为整数;矛盾 !2. 证明 e 为无理数 . 证证:2n

49、 时,当故 e 为无理数 .等式右边不可能为整数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三三章 一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1. 设函数)(xf0)( xf则 在 I 内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .证证: 无妨设,0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf这说明 在 I 内单调递增.)(xf在开

50、区间 I 内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕例例1. 确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xoy12机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo说明说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,),(,

51、3xxy23xy 00 xyyox3xy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明20 x时, 成立不等式.2sinxx证证: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(处左连续在又xf因此且证明 目录 上页 下页 返回 结束 * 证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)0()(x即),0(,0tan2xxxAB定义定义

52、. 设函数)(xf在区间 I 上连续 ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点 .图形是凸凸的 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 内,0)( xf则 在 I 内图形是凹的 ;)(xf(2) 在 I 内,0)( xf则 在 I 内图形是凸的 .)(xf证证:,21Ixx利用一阶泰勒公式可得)()(1fxf221xx !2)(1f 21)(x2