第五章--假设检验

1、第五章 假设检验第一节 假设检验中的基本概念和基本原理一、统计假设的概念统计假设，指的是和抽样手段联系在一起,并且依靠抽样数据来进行验证的假设。统计假设的内容都是数量化了的，而且验证的依据都是凭借抽样调查所取得的资料，在抽取样本资料时，必须保证抽样的随机性。假设原假设，又称为零假设。它一般是根据已有的资料，或经过周密考虑后确定的、具有稳定性的、受保护的经验和看法。因此，若没有充分根据, 是不会被轻易否定的。备择假设，又称为研究假设。经过抽样调查,若有充分根据否定原假设,自然就得接受其逻辑对立面。原假设的逻辑对立面即为备择假设。以总体均值的假设检验为例，根据问题的不同，假设检验可能有三种：1、双

2、边检验 ：2、右侧单边检验 ：3、左侧单边检验 ：二、假设检验的基本原理小概率原理小概率原理可归纳为两个方面：一是可以认为小概率事件在一次观察中是不可能出现的；二是如果在一次观察中出现了小概率事件，那么，合理的想法是否定原来认为该事件具有小概率的看法。假设检验的基本思想:经过随机抽样获得一个来自总体的样本,然后根据样本计算某个(或某几个)统计量的数值。若在原假设成立的条件下，该统计量数值的出现几乎是不可能的,就拒绝或否定原假设,并接受它的逻辑对立面备择假设。反之,如果在原假设成立的条件下,该统计量数值出现的可能性不是很小的话，就没有理由拒绝原假设。 三、假设检验中的统计量1、在原假设成立的情况

3、下，统计量中不应包含有未知参数，其数值应该是确定的。2、所选用的统计量的分布应该是已知的，是有表可查的。例如，对于正态总体均值的检验：，应选择的统计量为： （已知） =（未知）四、显著性水平显著性水平是假设检验中所规定的小概率的数量界限。也就是在原假设成立的条件下，判断统计量数值的出现是否是小概率事件的标准。常用的标准有：或。五、临界值、接受域和拒绝域选定一个检验统计量后，在原假设成立的条件下，就可画出统计量的分布。再根据给定的显著性水平，就可确定临界值、接受域和拒绝域。比如，对于正态总体均值的双边检验：，在总体方差已知的情况下，我们选择为统计量；根据原假设：，就可以画出如图5-1-1所示的统

4、计量的分布。图5-1-1 Z统计量的分布由于双边检验把拒绝原假设的小概率事件定在了统计量分布的两侧，因此，两侧尾部面积总和所代表的概率即为显著性水平。又由于统计量的分布是对称的，所以每侧的概率都是。查标准正态分布表可得： ，即 = 根据假设检验的小概率原理,如果统计量的值，就应拒绝原假设；反之，若统计量的值，就应接受原假设。因此，该双边检验以为临界值，两者之间的区域为接受域，两边为拒绝域。六、双边检验和单边检验 (一)双边检验双边检验的假设形式为：双边检验的拒绝域被定在了统计量分布的两侧。若给定的显著性水平为,则每侧拒绝域的概率应各为。假定所选统计量为统计量，则临界值和显著性水平有如下的关系式

5、：=也就是说，该双边检验的拒绝域为：,如图5-1-3所示。图5-1-3 双边检验的接受域、拒绝域(二)单边检验l.右侧单边检验右侧单边检验的假设形式为：右侧单边检验把拒绝域定在了统计量分布的右侧。若给定的显著性水平为,则统计量分布右尾的概率应为。假定所选统计量为统计量，则临界值和显著性水平有如下的关系式：也就是说，该右侧单边检验的拒绝域为：，如图5-1-4所示。图5-1-4 右侧单边检验的接受域、拒绝域2.左侧单边检验左侧单边检验的假设形式为：左侧单边检验把拒绝域定在了统计量分布的左侧。若给定的显著性水平为,则统计量分布左尾的概率应为。假定所选统计量为统计量，则临界值-和显著性水平有如下的关系

6、式：也就是说，该左侧单边检验的拒绝域为：，如图5-1-5所示。图5-1-5 左侧单边检验的接受域、拒绝域第二节 假设检验的步骤和两类错误一、假设检验的步骤1、根据实际问题作出假设，包括原假设和备择假设两部分；2、根据样本构造合适的统计量,并在原假设成立的条件下确定统计量的分布；3、根据有关要求给定显著性水平，并根据统计量的分布求出拒绝域和临界值；4、根据样本统计量的观测值进行判断。若样本统计量的值落入统计量分布的拒绝域,则拒绝原假设,接受备择假设；反之,则接受。二、假设检验的两类错误1、弃真错误弃真错误，又称为第一类错误，指的是否定了未知的真实状态，把正确的原假设当成了假的而加以拒绝的错误。这

7、是在拒绝原假设时可能出现的错误。犯弃真错误的概率就是显著性水平。2、纳伪错误纳伪错误，又称为第二类错误，指的是接受了未知的不真实状态，把错误的原假设当成了真的而加以接受的错误。这是在接受原假设时可能出现的错误。犯纳伪错误的概率的大小是不确定的。它的数值大小取决于真实的和原假设中的的偏离程度。越小, 犯纳伪错误的概率越大；反之，越大,的数值就越小。（下图中阴影部分的面积）在样本容量一定的情况下, 不可能同时减小犯两类错误的概率。要想同时减小犯两类错误的概率，就只能增加样本容量。第三节 单总体假设检验一、大样本假设检验（一）大样本总体均值的假设检验在大样本情况下，总体均值的假设检验的统计量为：1、

8、双边检验： （ 拒绝域为： ）2、右侧单边检验： （ 拒绝域为： ）3、左侧单边检验： （ 拒绝域为： ）图5-3-1 大样本总体均值的假设检验例、某部门统计报表显示,该部门职工的人均月收入为1500元。为检查统计报表的正确性，在该部门职工中抽查了60人，抽查结果为：元，问该部门统计报表中的人均月收入是否正确（）？解：本问题是在0.05下检验假设：。由于是大样本，所以应选用作为检验统计量，在成立的条件下，。查标准正态分布表可得=1.96。因此，该双边检验的拒绝域为：。根据抽样结果有， =4.3031.96所以,拒绝原假设,认为该部门的报表中的人均月收入不正确。由假设检验的原理及方法可知，假设检

9、验与区间估计其实是同一个问题的两种不同的表述方法，假设检验的接受域也正是区间估计的置信区间。（二）大样本总体成数的假设检验大样本总体成数的假设检验的统计量为：1、双边检验： （ 拒绝域为： ）2、右侧单边检验： （ 拒绝域为： ）3、左侧单边检验： （ 拒绝域为： ）图5-3-2 大样本总体成数P的假设检验例、某县近年的高考升学率都保持在30%左右，为提高升学率，该县各校进行了一系列的教学改革。为检查改革的成效，在该县今年的应届毕业生中抽查了100人，结果有38人考上大学。请问该县各校的一系列教学改革是否取得成效（）？解：本问题是在0.05下检验假设：由于是大样本，所以应选用作为检验统计量，在

10、成立的条件下，。查标准正态分布表可得=1.645。因此，该右侧单边检验的拒绝域为：。根据有关数据，得 =1.7461.645所以,拒绝原假设,认为该县的教学改革取得了成效。二、小样本假设检验在小样本情况下，检验统计量的分布与总体分布有关。（一）单正态总体的均值检验1、已知总体均值的假设检验的统计量为: （1）双边检验： （ 拒绝域为： ）（2）右侧单边检验： （ 拒绝域为： ）（3）左侧单边检验： （ 拒绝域为： ）图5-3-3 单正态总体均值的假设检验(已知)例、某厂生产的某种螺栓的直径（单位：mm）服从正态分布，设备维修后，从新生产的产品中随机抽查20个，测得=21mm。若方差没有发生变化

11、，问设备维修后，螺栓的直径有没有显著变化（）？解：本问题是在0.05下检验假设：由于是正态总体及小样本，且已知，所以应选用作为检验统计量，在成立的条件下，。查标准正态分布表可得1.96。因此，该双边检验的拒绝域为：。根据抽样数据，可得 =3.7271.96所以,拒绝原假设,认为设备维修后螺栓的直径发生了变化。2、未知总体均值的假设检验的统计量为: （1）双边检验： （ 拒绝域为： ）（2）右侧单边检验： （ 拒绝域为： ）（3）左侧单边检验： （ 拒绝域为： ）图5-3-4 单正态总体均值的假设检验(wei 3知)例、某糖厂用自动打包机装糖，每袋糖的额定重量为50千克，设每袋糖的重量服从正态分

12、布。每天开工后，都要检查打包机所装糖包的重量是否符合标准。某天开工后抽查了12包，测得平均包重为49.32千克,标准差为1.35千克。问该天打包机工作是否正常（0.05）？解：本问题是在0.05下检验假设：由于是小样本，总体方差又未知，所以应选用=作为检验统计量，在成立的条件下，。查分布表可得=2.201。因此，该双边检验的拒绝域为：。根据上述抽样结果，有 2.201所以,接受原假设,认为打包机工作正常。（二）单正态总体的方差检验总体方差的假设检验的统计量为:（1）双边检验 （ 拒绝域为： ）（2）右侧单边检验 （ 拒绝域为： ）（3）左侧单边检验 （ 拒绝域为： ）图5-3-5 单正态总体方

13、差的假设检验例、某厂生产某种型号的螺钉，要求其长度的方差不超过2mm。今从某批该型号的螺钉中抽出10颗，测得样本方差2.38mm,设该螺钉的长度服从正态分布。问这批螺钉的长度的方差是否合乎标准（0.05）？解：本问题是在0.05下检验假设：2：2应选用作为检验统计量，在成立的条件下，。查分布表可得临界值=16.919。因此，该检验的拒绝域为：16.919。根据题中数据,有 =10.7116.919所以,接受原假设,认为这批螺钉的长度的方差合乎标准。复习思考题1、据有关部门统计，某市历年的年人均医疗费支出为564元。该市最近执行了一项新的门诊病人治疗收费标准。然后抽查了150人，抽查结果为：元，

14、问该标准实施后该市的年人均医疗费支出有无明显下降（）？2、某单位即将进行换界选举，为了解该单位职工对某候选人的支持度，组织部门在该单位职工中随机抽查了100人，结果有72人对该候选人表示支持，请在显著性水平下，检验该单位职工对该候选人的支持度不低于75%的假设。3、某部门工作人员去年人均不到岗天数为16.2天，标准差为5.8天。部门领导为整顿工作纪律，解决人员长期缺勤的问题，对劳动报酬制度进行了修改，规定无故缺勤者按缺勤天数扣发当月津贴。此规定实施后，对20名工作人员的进行初步调查的结果表明，平均不到岗天数下降为9.3天。若该部门工作人员人均不到岗天数服从正态分布，且方差没有发生变化。问该规定的实施是否有效地解决了该部门人员长期缺勤的问题？（）4、有关资料显示，某地区职工的工资水平服从平均数为1