距离空间的概率列紧性

1、距离空间的概率列紧性 作者：张志旭 汪宏远 曹万昌 崔成贤 温绍泉【摘要】 讨论了距离空间中集合的概率列紧性，在一定的条件下证明了距离空间中的概率列紧性是可分的。 【关键词】 距离空间； 三角范数； 列紧性 1 基本概念定义1.11 （X，F）称为距离空间，X为抽象集，映射F ：XXX0 （简记 F(a,b,c)=Fabc, Fabc(t)表示Fabc 在实数t 的值）满足下列条件： Fabc(0)=0； a,bX, ab cX,t00，使得Fabc(t0)0,当a,b,c 中至少有二元相等； Fabc=Facb=Fbca； Fabc(t1)=Facb(t2)=Fbca(t3)=1Fabc(t

2、1+t2+t3)=1 。定义1.2 T 称为三角范数，且T 满足0,10,10,10,1 映射，T 还满足下列条件： T(a,1,1)=a, T(0,0,0)=0； T(a1，b1,c1)T(a2,b2,c2), 当a1a2,b1b2,c1c2 ； T(a,b,c)=T(a,c,b)=T(b,c,a)； TT(a,b,c),d,e=Ta,T(b,c,d),e=Ta,b,T(c,d,e)。定义1.3 (X,F,T)称为Menger空间，满足下列条件： (X,F)为距离空间； T为三角范数；不等式Fabc(t1+t2+t3)T(Fabc(t1),Facb(t2),Fbca(t3) 成立。 定义1.

3、4 设(X,F) 为距离空间，若 x1,x2,xnX,xn 收敛于X 充要条件为0,0,aX,N(,) 使得当nN(,) 时，有Fxxna()1-； AX，a 为A 的聚点充要条件为：对X 中的任意有限个点b1,b2,bn ，A中存在不同于a 的点列 an，使得limnFaanbj(t)=H(t)(j=1,2,n) ； 称=AA的聚点 为A 的闭包。 定义1.5 设(X,F) 为距离空间， X中的无穷集A 称为概率列紧集充要条件为A 的任一无穷子集A1 必然含有一个收敛的点列，即存在anA1,aX ,使得ana ,若X 是概率列紧集,则称(X,F) 为概率列紧空间。 定义1.6 设(X,F)

4、为距离空间，0,0,AX,BX ，若存在A 的有限子集A=a1,a2,an ，使得对任意的aiA ，有Faaib()1-(bB) ，则称 A是关于B 的一个(,) 网。 定义1.7 距离空间（X，F） 具有性质K 充要条件为对任意的使F(abc(t)H(t) ，而 limnFaban(t)=H(t)，limnFacan(t)=H(t) 成立的X 中的点列an 的limnFaann(t)=H(t),aX 定义1.8 (X,F)为距离空间，AX 称为概率可分的充要条件为存在X 的可数子集B ，使得A 若X 为概率可分的抽象集，称(X,F) 为概率可分距离空间。2 主要结论 定理2.1 设（X，F，

5、T） 为Menger空间，T 连续函数，AX 是概率列紧的充分条件为0,0 及X 的任意有限子集B ，存在A 关于B 的(,) 网。 证明：设B=bb1,b2,bn 是X 中的任一有限子集，0,0 ，取a1A ，若a1 不是A 关于B 的 （,)网，则必存在一点a2A,b12B ，使得Fa1a2b12 ()1-，若a1,a2 仍不构成A 点关于B 的(，) 网，则必存在a3A,b13,b23B ，使得Fa1a3b13()1- ，Fa2a3b23()1-。如此继续下去，我们便得到A 的有限子集 A=a1,a2,an为A关于B 的(,) 网。 若不然，依上法便得到A 中的点列an 及B 中的点列b

6、12，b13,b23,b1m,bb-1m, 使得： Faiajbij()1- ij(1) 因AX 是概率列紧集，且anA ，aiaj(ij) ，故存在an 的子列ank 及aX ，使得ank a 。 因为T 连续函数，则对上述的0 ，存在0 ，使得T(1-,1-,1-)1- 。 又因B 为有限集及anka ，故对上述0,0 存在自然数1，当k1 时，对bB ，有：Faankb(3)1-(2) 特别的，有 Faan1b(3)1- 又对0 ，0 及an1 ，存在自然数S ，当ks 时，有 Faanka(3)1-(3) 取k=max1,s ，当kK 时，、式都成立，故对bB ，有： Fan1ankb

7、()T(Faankb(3),Faan1b(3),Faan1ank(3)T(1-,1-,1-)1-这与式矛盾，故A 为A 关于B 的(,) 网。 定理2.2 （X，F） 为距离空间，AX,aX ，a 为A 的聚点充要条件为存在Fabc(t)H(t),a,b,cX 及点列anX,ana,i1,2,n，使limnFaba(t)=H(t),limnFcan(t)=H(t) 。 定理2.3 设(X,F,T) 为2Menger空间且具有性质K ，T连续,AX 为概率列紧的充分条件是 A为概率可分的。 证明：取c,dX,cd ，则有eX,t00 ，使得Fcde(t0)1-1n;Fabnd(1n)1-1n;F

8、abne(1n)1-1n 。于是对B 中的点列bn ，有： limnFabnc(t)=H(t) (4) limnFabnd(t)=H(t) (5) limnFabne(t)=H(t) (6) 因为Fade(t0)1 ，而有Fabe(t)H(t) ，Face(t)H(t) ，Fade(t)H(t) 至少有一个成立。 若不然，由 Fabe(t03)=1，Face(t03)=1 ，Fade(t03)=1 及定义1.5得到Fcde(t0)=1 。 不妨设Face(t)H(t) ,因(S,F,T) 所具有的性质及、式成立，由定理2.2，已知 a是B 的聚点，而有a ，进而A ，A 是概率可分的。 推论 设（X,FT) 为