第五章 向量空间

1、第五章 向量空间基础训练题1. 设V是数域F上向量空间，假如V至少含有一个非零向量a，问V中的向量是有限多还是无限多？有没有n(n ³ 2)个向量构成的向量空间？ 解 无限多；不存在n(n ³ 2)个向量构成的向量空间(因为如果F上一个向量空间V含有至少两个向量, 那么V至少含有一个非零向量a , 因此V中含有a , 2a , 3a , 4a , ,这无穷多个向量互不相等,因此V中必然含有无穷多个向量).2. 设V是数域F上的向量空间，V中的元素称为向量，这里的向量和平面解析几何中的向量，空间解析几何中的向量有什么区别？解 这里的向量比平面中的向量意义广泛得多,它可以是多项

2、式,矩阵等,不单纯指平面中的向量.3. 检验以下集合对所指定的运算是否构成数域F上的向量空间. （1）集合：全体n阶实对称矩阵；F：实数域；运算：矩阵的加法和数量乘法；（2）集合：实数域F上全体二维行向量；运算：(a1, b1)(a2, b2)(a1a2, 0)k(a1, b1)(ka1, 0)（3）集合：实数域上全体二维行向量；运算：(a1, b1)(a2, b2)(a1a2, b1b2)k( a1, b1)(0, 0)解 (1) 是; (2) 不是(因为零向量不唯一);(3) 不是(不满足向量空间定义中的(8).4. 在向量空间中，证明，(1) a(a)=aa=(a) a ,(2) (a-

3、b)aaaba , a, b是数，a是向量. 证明 (1) 0= 0 又 0 综上, (2) .5. 如果当k1k2kr0时，k1a1k2a2krar0, 那么a1, a2, , ar线性无关. 这种说法对吗？为什么?解 这种说法不对. 例如设a1=(2,0, -1), a2=(-1,2,3), a3=(0,4,5), 则0a1+0a2+0a3=0. 但a1, a2, a3线性相关, 因为a1+2a2a3=0.6. 如果a1, a2, , ar线性无关，而ar1不能由a1, a2, , ar线性表示，那么a1, a2, ar , ar1线性无关. 这个命题成立吗？为什么？解 成立. 反设a1,

4、 a2, ar , ar1线性相关,由条件a1, a2, , ar线性无关知ar1一定能由a1, a2, , ar线性表示,矛盾.7. 如果a1, a2, , ar线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合. 这种说法对吗？为什么？解 对. 反设 ai= k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +krar ,则 k1a1+k2a2+ki-1ai-1+(1) ai +ki+1ai1 +krar=0.由于10, 故a1, a2, , ar线性相关.8. 如果向量a1, a2, , ar线性相关，那么其中每一个向量都可由其余向量线性表示. 这种说法对吗？为什么？解 不对. 设

5、a1=(1,0) , a2=(2,0) , a3=(0,1) , 则a1, a2, a3线性相关, 但a3不能由a1, a2线性表示.9. 设a1 (1, 0, 0), a2 (1, 2, 0), a3(1, 2, 3)是F3中的向量，写出a1, a2, a3的一切线性组合. 并证明F3中的每个向量都可由a1, a2, a3线性表示. 解 k1a1+k2a2+k3a3 k1, k2 , k3F.设k1a1+k2a2+k3a3=0,则有, 解得 k1= k2 =k3=0.故a1, a2, a3线性无关.对任意(a,b,c)F3, (a,b,c)=,所以F3中的每个向量都可由a1, a2, a3线

6、性表示.10. 下列向量组是否线性相关(1) a1 (1, 0, 0), a2 (1, 1, 0), a3(1, 1, 1)；(2) a1(3, 1, 4), a2(2, 5, -1), a3(4, -3, 7). 解 (1) 线性无关; (2) 线性无关.11. 证明，设向量a1, a2, a3线性相关，向量a2, a3, a4线性无关，问：(1) a1能否由a2, a3线性表示？说明理由；(2) a4能否由a1, a2, a3线性表示？说明理由. 解 (1)因为a2, a3线性无关而a1, a2, a3线性相关,所以a1能由a2, a3线性表示; (2)反设a4能由a1, a2, a3线性

7、表示,但a1能由a2, a3线性表示,故a4能由a2, a3线性表示,这与a2, a3, a4线性无关矛盾,所以a4不能由a1, a2, a3线性表示.12. 设a1 (0, 1, 2), a2 (3, 1, 0), a3(2, 1, 0)，b1 (1, 0, 0), b2 (1, 2, 0), b3(1, 2, 3)是F3中的向量. 证明，向量组a1, a2, a3与b1, b2, b3等价.证明 (b1, b2, b3)=()A (a1, a2, a3)= ()B其中A=, B=.易验证A , B均可逆, 这样 (b1, b2, b3) = (a1, a2, a3 )(B-1A) (a1,

8、 a2, a3) = (b1, b2, b3)(A-1B) ,故向量组a1, a2, a3与b1, b2, b3等价.13. 设数域F上的向量空间V的向量组a1, a2, , as线性相关，并且在这个向量组中任意去掉一个向量后就线性无关. 证明，如果0 (kiÎF)，那么或者k1k2ks0, 或k1，k2，ks全不为零. 证明 由条件0 (kiÎF)知 kiai= - (k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +ksas) （*）(1) 当ki=0时,（*)式左边等于零,故k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +ksas=0. 由于这s-1个向

9、量线性无关,所以k1k2ks0.(2) 当ki0时, ai = -(k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +ksas),下证对于任意时kj0. 反设kj=0, 则ai可由s-2个向量线性表示.这与任意s-1个向量线性无关矛盾,所以此时k1,k2，ks全不为零.14. 设a1(1, 1), a2(2, 2), a3(0, 1) , a4(1, 0)都是F2中的向量. 写出a1, a2, a3, a4的所有极大无关组. 解 a1, a3 ; a1, a4 ; a2 ,a3 ; a2 ,a4 ; a3 ,a4 .15. 设A1,A2, A3,A4ÎM2×2(F).

10、求向量空间M2×2(F)中向量组A1, A2,A3, A4的秩及其极大无关组. 解 秩A1, A2,A3, A4=3, A1, A2,A3是向量组A1, A2, A3, A4的一个极大无关组.16设由F4中向量组a1=(3，1，2，5)，a2(1，1，1，2)，a3(2，0，1，3)，a4 =(1，1，0，1)，a5 =(4，2，3，7). 求此向量组的一个极大无关组.解 (a1,a2,a3,a4,a5)= ()A , 其中A=, 则秩A=2.又(a1,a2 )= ()B , 其中B=. 秩B=2, 故a1,a2线性无关, 它是向量组a1,a2,a3,a4,a5的一个极大无关组.17

11、. 证明，如果向量空间V的每一个向量都可以唯一表成V中向量a1, a2, , an的线性组合，那么dim Vn. 证明 由条件零向量可唯一的表示成a1, a2, , an的线性组合, 这说明a1, a2, , an线性无关, 故可作为V的基, 从而dim Vn.18. 设b1, b2，bn是F上n(>0)维向量空间V的向量，并且V中每个向量都可以由b1, b2，bn线性表示. 证明, b1, b2，bn是V的基. 证明 由条件标准正交基 e1, e2, ,en可由b1, b2，bn线性表示, 反过来b1, b2，bn又可由 e1, e2, ,en线性表示,所以 e1, e2, ,en和b

12、1, b2，bn等价. 由 e1, e2, ,en线性无关知b1, b2，bn线性无关,又因V中每个向量都可以由b1, b2，bn线性表示, 由基的定义知b1, b2，bn是V的基.19. 复数集C看作实数域R上的向量空间（运算: 复数的加法，实数与复数的乘法）时，求C的一个基和维数. 解 基为1, i； dim C2.20. 设V是实数域R上全体n阶对角形矩阵构成的向量空间（运算是矩阵的加法和数与矩阵的乘法）. 求V的一个基和维数.解 基为Eii (i=1,2, ,n)； dim Vn.21. 求§5.1中例9给出的向量空间的维数和一个基. 解 任意一个不等于1的正实数都可作为V

13、的基； dim V1.22. 在R3中，求向量a(1, 2, 3)在基e1(1, 0, 0)，e2(1, 1, 0)，e3(1, 1, 1)下的坐标.解 (-1,-1,3)T .23. 求R3中由基a1, a2, as 到基b1, b2, b3 的过渡矩阵，其中a1(1, 0, -1), a2(-1, 1, 0), a3(1, 2, 3)，b1(0, 1, 1), b2(1, 0, 1), b3(1, 1, 1). 解 所求过渡矩阵为.24. 设a1, a2, an是向量空间V的一个基，求由这个基到基a3, a4, , an，a1, a2的过渡矩阵. 解 所求过渡矩阵为.25. 已知F3中向量

14、a关于标准基e1(1, 0, 0)，e2(0, 1, 0) ，e3(0, 0, 1)的坐标是(1, 2, 3)，求a关于基b1(1, 0, 1), b2(0, 1, 1), b3(1, 1, 3)的坐标. 解 (1,2,0)T.26. 判断Rn的下列子集哪些是子空间(其中R是实数域，Z是整数集). (1) (a1, 0, , 0, an)| a1, an ÎR;(2) (a1, a2, , an)|，a1, a2, , anÎR;(3) (a1, a2, , an)|ai ÎZ, i1, 2, , n ;解 (1) 是; (2) 是; (3) 不是(数乘不封闭).

15、27. 设V是一个向量空间，且V¹0. 证明，V不能表成它的两个真子空间的并集. 证明 设W1与W2是V的两个真子空间 (1) 若，则W1W2= W2V ;(2) 若,则W1W2= W1V ;(3) 若且, 取但,但, 那么,否则将有,这与矛盾, 同理, 所以V中有向量,即V.28. 设V是n维向量空间，证明V可以表示成n个一维子空间的直和. 证明 设a1, a2, an是向量空间V的一个基, L(a1),L(a2) , L(an)分别是由a1, a2, an生成的向量空间, 要证L(a1+a2+an)=L(a1)L(a2)L L (an)(1) 因为a1, a2, an是V的一个基

16、, 所以V中任一向量a都可由a1, a2, an线性表示, 此即L (a1+a2+an)= L (a1)+ L (a2)+ L (an). (2) 对任意ij1,2, n,下证L (ai)L (aj)=0. 反设存在0 L (ai)L (aj),由 L(ai)知存在k使得=kai； 由 L (aj)知存在使得=aj , 从而ai =aj , 即a1与a2线性相关, 矛盾, 所以L (ai)L (aj)=0.综上, L (a1+a2+an)= L (a1) L (a2) L(an).29. 在R3中给定两个向量组a1(2, -1, 1, -1), a2(1, 0, -1, 1),b1(-1, 2

17、, -1, 0), b2(2, 1, -1, 1). 求L (a1, a2)L (b1, b2) 的维数和一个基. 解 取R4的标准正交基,于是(a1, a2, b1, b2)= ()A,其中 A= , 秩A = 4. 故a1, a2, b1, b2线性无关, 又因为L (a1, a2)L (b1, b2)=0,所以dim L (a1, a2) + dim L (b1, b2)= 4, a1, a2, b1, b2是它的基.30. 设W1, W2都是向量空间V的子空间，证明下列条件是等价的：(1) W1ÍW2;(2) W1W2W1;(3) W1W2W2. 证明 (i) (1)(2)

18、因为W1ÍW2 , 所以W1W2W1. (ii) (2)(3) W1W2 =a1+a2 | a1W1, a2W2 由(2)知对任意aW1, 都有aW2 , 所以W1W2 =a1+a2 | a1, a2W2=W2 .(iii) (3)(1) W1W2 =a1,+a2 | a1W1, a2W2=W2 , 说明对任意aW1, 都有aW2 , 此即W1ÍW2 .31. 设V是实数域R上n阶对称矩阵所成的a2向量空间；W是数域R上n阶上三角矩阵所成的向量空间，给出V到W的一个同构映射. 解 对V (A=(aij)且aij= aji)和BW(B=(aij),当i>j时, aij=0)定义f : V W AB 易验证f 是V到W的一个同构映射.32. 设V与W都是数域F上的向量空间，f是V到W的一个同构映射，证明a1, a2, , an是V的基当且仅当f (a1), f (a2), , f (an)是W的基. 证明 设a1, a2, , an是V的基.(1