空间向量、极坐标与导数计算单元测验

1、空间向量、极坐标与导数计算单元测验一、选择题(每题4分，共40分)1柱坐标对应的点的直角坐标为 A. B. C. D. 2已知直线与曲线切于点（1，3），则b的值为A3B3C5D53已知, ，且与互相垂直，则k的值是 A. 1 B. C. D.4 在同一坐标系中，将曲线y = 2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是 A B. C. D. 5. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是A3 B2 C1 D06若与在上都是减函数，对函数的单调性描述正确的是 A. 在上是增函数 B. 在上是增函数 C. 在上是减函数 D. 在上是增函数，在上是减函数-22O1-1-11

2、7极坐标系内曲线上的动点P到定点Q的最近距离等于 A. B. C.1 D. 8已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD9已知，则的值为（ ）A、4 B、0 C、4 D、810若OA、OB、OC两两垂直，则下列各式中不成立的是 AB CD 请将选择题答案填在下列表格内：12345678910二、填空题（每题4分，共16分）11若直线的极坐标方程为,则极点到这条直线的距离是 .12在空间直角坐标系中，已知A(1,1,0), B(2,1,3), C( 2, -1, 1)，点A在

3、直线BC上的射影点为E，则点E的坐标为 .13过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 14三棱锥O-ABC中, OA=8,AB=6,BC=5,AC=4,ÐOAC=45°,ÐBAO=60°,则异面直线OA与BC所成角的余弦值为 .三、解答题（共44分）15（本题共10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。设椭圆的长轴长为10，中心为(3,0), 一个焦点在直角坐标原点. (1)求椭圆的直角坐标方程，并把它化为极坐标方程；(2)当椭圆的过直角坐标原点的弦的长度为时，求弦所在直线的直角坐标方程.·xyO

4、16（本题共10分）如图1，已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的余弦值.图1 图217（本题共12分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ÐACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是DABD的重心。(1) 求底面等腰三角形的腰长;(2) 求A1B与平面ABD所成角的大小；(3) 求点A1到平面AED的距离.18（本题共12分）定义F(x,y)=(1+x)y, x,y Î (0,+¥)

5、.(1)令函数f(x)=F1,log2(x3 3x )的图象为曲线C1，求与直线4x+15y-3=0垂直的曲线C1的切线方程；(2)令函数g(x)=F1,log2(x3 +ax2+bx+1 )的图象为曲线C2，若存在实数b使得曲线C2在点P（x0，y0）处切线的斜率为-8，x0 Î (1,4), 求实数a的取值范围；(3)当x,y Î N*,且x<y时，证明：F(x,y)>F(y,x).(注：解答做在背面)参考解答12345678910AADBDCACAC1112（）13(1, e); e1415解 (1)设椭圆的长半轴,短半轴半焦距分别为a,b,c则a= 5,

6、 c =3,所以b = 4所求椭圆可以看作是由椭圆向右平移3个单位得到故所求椭圆的直角坐标方程为代入x= rcosq , y=rsinq , 得 (2) 设过坐标原点的弦的倾斜角为q ,弦的两个端点分别P1(r1, q) ,P2(r2, q+p) 有, 由于r1+r2 = , 所以+= Û cosq =ABOCO1Dxyzq = 所求直线的直角坐标方程为y = 16解（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0）

7、，B（0，3，0），C（0，1，）图3O1（0，0，）.从而所以ACBO1. （II）因为所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由 得. 设二面角OACO1的大小为，由、的方向可知，>，所以cos，>=17. 解 以C为原点,射线CA、CB、CC1分别为x, y, z的非负半轴建立空间直角坐标系C-xyz,设底面等腰三角形的腰长为a，则A（a, 0, 0）, B(0,a,0), D(0, 0, 1), A1(a,0,2) (1) G是三角形ABD的重心，所以G(a,a,), 又E(a, a, 1), 又由

8、EG平面ABD Þ EGAD Þ Þ Û a=2故底面等腰三角形的腰长为2. (2) G(,), 又E(1, 1, 1), GE = 又B（0，2，0）， BE=设A1B与平面ABD所成角为q ，则sinq = Þ q =arcsin故A1B与平面ABD所成角为arcsin (3) 设平面AED的一个法向量为, 取x =1，得,又A1到平面AED的距离d = =18.解 (1) f(x) = , 由log2(x3 3x)>0 Û x3 3x>1, 设此不等式解集为A，则函数f(x)定义域为A 设所求切线的切点坐标为(x0,

9、y0) 则K切线= = Û x02 = Û ,代入x3 3x>1检验 符合要求，于是f(x0) = , 故所求切线方程为y = (x +), 即15x 4y +27 = 0 (2) g(x) = 由log2(x3 +ax2+bx+1)>0 Û x3 +ax2+bx>0, 设此不等式解集为B，则函数g(x)定义域为B 存在实数b, 使得3x02+2ax0+b = -8在x0 Î (1,4)有解.又x03 +ax02+bx0>0 消去b得2x02+ax0+8<0 Û -a >2(x0+),此不等式在x0 Î (1,4)上有解 令h(x0)= 2(x0+)，容易知道此函数在x0 Î (1,4)上的值域为 -a > 8 Û a < -8， 即实数a的取值范围是(-¥, -8) (3) 要证F(x, y) >F(y, x)，只要证 (1+x)y > (1+y)x 即证 yln(1+x) >