高二数学解含绝对值的不等式及不等式证明方法的小结 人教版

1、解含绝对值的不等式及不等式证明方法的小结解含绝对值的不等式及不等式证明方法的小结一. 本周教学内容：含绝对值的不等式及不等式证明方法的小结教学目标1. 掌握绝对值的几个重要性质，理解绝对值的定理及推论。2. 学会含有绝对值符号的不等式的证明，能利用绝对值的有关性质，求较简单的含绝对值符号的综合问题。3. 熟练掌握常用的不等式的证明方法，培养学生的发散思维，提高学生的逻辑推理能力，提升学生的思维品质。二. 重点、难点：1. 教学重点：（1）理解掌握含绝对值符号的不等式的证明。（2）不等式证明的方法的灵活选用。2. 教学难点：（1）含绝对值符号不等式在证明过程中的转化、放缩的调控。（2）不等式证明

2、时方法的灵活选用及技巧的把握。【典型例题】【典型例题】一. 含有绝对值的不等式（一）相关知识的复习1. 绝对值定义：aaaaa，002. 绝对值性质：ababbabaa，03. 等价性质：xaxaaxa a 220 xaxaxaxa a 220或4. 定理：ababab5. 推论：ababab（二）应用举例例 1.求证： xx12解析：解析：xxx000，或证法一：证法一：（ ）当时，1010 xxxx12xx12（ ）当时，2010 xx xxxx112xx12综合、：( )( )1212xx证法二：证法二：xx与同号1xxxx112注：。在证明时用到了这个充要条件。ababab 0abab

3、ab 0例 2.求证：的充要条件是，且。ababcacbc22| | |解析：解析：对已知和证明的目标上作对比分析，关键在于，与，的相互ababab22| | |转化，注意，。ababababab2222证明：证明：（先证必要性） aababababcac2222， bababababcbc2222，再证充分性：（ ）当时，即1022ababab ababab220与同号或其中之一为ababababa2222 acababc，22（ ）当时，即2022| | | |ababab ababab22与异号ababababbc2222| |当且时，| | |acbcababc22注： 证明此题时又一

4、次用到了两个充要条件， 因此要求同学们要记住这个结论，以便使用。例 3.设，f xxxaaR( ) 2（ ）若的两个实根、满足，求 的值；102f xa( ) （ ），若，求证：。2121bRxbf xf bb( )( )解析：解析：（1）、为根，a 为系数，可以用韦达定理这座“桥”实现两者之间的互化，注意将根写成和与积的形式。 14014aa，又，12、异号，2242142a a3414 a34为所求（ ）左右对比，从左向右要设法消去 ，注意这个条件。2xxb1f xf bxxbbxb xbxb( )( )2211xbbbbb211212221f xf bb( )( )21二. 不等式证明方

5、法的小结（一）证明不等式的主要依据1. 书上的 8 条基本性质（略）2. 一组等价命题：，abababababab0003. 几个重要不等式：（ ），100022aaababR（ ），2222abababR（ ），当且仅当时取“”号32abababRab（ ）， ，4222abcabbcacabcR（二）应用举例例 1.已知： 、 、 是的三边，求证：abcABCabcbaccba 2分析分析：从不等式的结构看，使用比较法、综合法、分析法均有一定困难。因此，根据本题的具体条件我们来探索一下放缩法。证明：证明：不妨设，则abcbca00abcbaccababcbbccbcabcbcabc12说明

6、：放缩法的技巧是：（1）舍掉或加进一些项；（2）在分式中放大或缩小分子或分母。但用放缩法是有危险的，要控制放缩的度。这种方法只能在较特殊的情况下用。例 2.求证：12113222xxx分析分析：此不等式可拆成两个不等式分别证明再综合即可完成。两个不等式均可采用作差比较法，同学自己完成。现在我向大家介绍构造函数的方法，通过求函数的值域使不等式得证。证明：证明：设yxxx2211yxxy1102xRy，当时，100 14102y1232y当时，使原不等式成立。yx101232y即：12113222xxx例 3.已知： 、 、 、 都是实数，且，。abcdabcd222211求证： acbd1分析分

7、析：（1） 所证明的不等式与已知比较， 不难发现， 可将 ac+bd 变形为 a2+b2+c2+d2的结构实现问题的解决。（2）可以用分析法去掉绝对值符号，或采用平方。（），的结构特点，可以实施三角代换。3112222abcd证法一：证法一：（综合法）acbdacbdacbdabcd222222222221acbd1证法二：证法二：（比较法）acbdacbd 111先证：acbd 1acbdacbdacbdabcd11212222222acbd2220 acbd1再证：acbd1acbdacbdacbdabcd11212222222acbd2220acbd1综上，得： acbd1证法三：证法三

8、：（分析法）要证： acbd1acbd21a cacbdb dabcd222222222adbc20 adbc20恒成立acbd1证法四：证法四：（代换法）abcd222211，设，abcdcossincossinacbdcoscossinsincos1acbd1说明：方法四只因具备 a2+b2=1，c2+d2=1 才能进行三角代换。否则就不一定了。通过此题还应认识到不等式的证明方法最重要的还是：比较法、综合法、分析法。例 4.已知： 、 、 是实数，函数，当时，abcf xaxbxcg xaxbx( )( ) 211f x( ) 1。（ ）证明：11c （ ）证明：当时，2112 xg x(

9、 )解析：解析：（ ）， ，101101 f( )又，fcc( )01（ ）当时，在， 上是增函数2011ag xaxb( )gabfcfc( )( )( )1112gabfcfc()()() 1112 g xx( )211，当时，在， 上是减函数ag xaxb011( )gg xgf xc()( )( )( )| |1111，又， gabfcfc()()()1112gabfcfc( )( )( )1112 g x( )2当时，ag xbf xbxc0( )( ) fc( ) 111， g xfcfc( )( )112综上可知，当时，都有112xg x( )1.abcabcabc11111，求证：| |2. 设 a、b、c 为ABC的三条边，求证：abcabacbc22223. 已知：ababab111，求证：参考答案参考答案1. 提示：提示：用分析法，平方去掉绝对值符号，即可证出。2. 提示：提示：法一：法一：abcbaccab，aa bcbb accc ab222，三式相加化简法二：