15数列综合问题

1、江苏省2014届一轮复习数学试题选编15：数列综合问题填空题 已知数列满足,则该数列的前20项的和为_.【答案】 2101 . 如图所示的螺旋线是用以下方法画成的,是边长为1的正三角形,曲线分别是为圆心,为半径画的弧,曲线称为螺旋线的第一圈;然后又以A为圆心,半径画弧,如此继续下去,这样画到第圈.设所得螺旋线的总长度为,则=_【答案】 数列的通项,其前项和为,则为_.【答案】470 已知实数a1,a2,a3,a4满足a1a2a3,a1a42a2a4a2,且a1a2a3,则a4的取值范围是_.【答案】 已知,则_.【答案】 个正整数排列如下:1，2,3,4,n2，3,4,5,n+l3，4,5,6

2、, n+2n,n+l,n+2,n+3,2n一1则这个正整数的和S=_.【答案】 设等比数列的公比,表示数列的前n项的和,表示数列的前n项的乘积,表示的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积,即,则数列的前n项的和是_(用和q表示)【答案】 已知数列满足,则其前99项和=_.【答案】9 已知数列an的通项公式为an=-n+p,数列bn的通项公式为bn=2n-5.设cn=若在数列cn中,c8>cn(nN*,n8),则实数p的取值范围是_.【答案】(12,17) 已知,则第n个等式为_.【答案】 如图所示:矩形的一边在轴上,另两个顶点、在函数的图像上,若点的坐标为),矩形的周长记为,则_.【

3、答案】216数列满足,且 =2,则的最小值为_. 【答案】 解答题设数列满足:是整数,且是关于x的方程的根.(1)若且n2时,求数列an的前100项和S100;(2)若且求数列的通项公式.【答案】 已知数列的各项都为正数,且对任意,都有(k为常数).(1)若,求证:成等差数列;(2)若k=0,且成等差数列,求的值;(3)已知(为常数),是否存在常数,使得对任意都成立?若存在.求出;若不存在,说明理由. 已知数列an和bn满足:,其中为实数,n为正整数.()若数列an前三项成等差数列,求的值;()试判断数列bn是否为等比数列,并证明你的结论;()设0<a<b,Sn为数列bn的前n项和

4、.是否存在实数,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】()证明:, 由条件可得,所以 ()解:因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+9=(-1)n+1(an-2n+6) =(-1)n·(an-3n+9)=-bn 又b1=,所以 当=-6时,bn=0(nN+),此时bn不是等比数列, 当-6时,b1=0,由上可知bn0,(nN+). 故当-6时,数列bn是以-(+6)为首项,-为公比的等比数列. ()由()知,当=-6,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. -6,故知bn= -(+6)·(-)n-1,

5、于是可得 Sn= 要使a<Sn<b对任意正整数n成立, 即a<-(+6)·1-(-)n<b(nN+) 当n为正奇数时,1<f(n) f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= , 于是,由式得a<-(+6)< 当a<b3a时,由-b-6-3a-6,不存在实数满足题目要求; 当b>3a时存在实数,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b, 且的取值范围是(-b-6, -3a-6) 已知函数在区间上是增函数.(1)求实数的取值范围;(2)若数列满足,N* ,证明.【答案】解:(1)函数在区间上是增函数. 在区间

6、上恒成立, ,又在区间上是增函数 即实数的取值范围为 (2)先用数学归纳法证明. 当时,成立, 假设时,成立, 当时,由(1)知时,函数在区间上是增函数 , 即成立, 当时,成立 下证. . 综上 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”:;.(1)若等比数列为 ()阶“期待数列”,求公比;(2)若一个等差数列既是 ()阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;(3)记阶“期待数列”的前项和为:()求证:;()若存在使,试问数列能否为阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由. 【答案】解:(1)若,则由=0,得, 由得或. 若,由得,得,不可能. 综上所述,. (

7、2)设等差数列的公差为,>0. , , >0,由得, 由题中的、得, , 两式相减得, , 又,得, . (3)记,中非负项和为,负项和为, 则,得, (),即. ()若存在使,由前面的证明过程知: , 且. 记数列的前项和为, 则由()知, =,而, ,从而, 又, 则, , 与不能同时成立, 所以,对于有穷数列,若存在使,则数列和数列不能为阶“期待数列”. 已知数列满足(nN*),且a2=6.(1)求数列an的通项公式;(2)设(nN*,c为非零常数),若数列bn是等差数列,记cn=,Sn=c1+c2+cn,求Sn.【答案】解:(1)由,得(n-1)an+1-(n+1)an=-

8、(n+1),当n2时, 有-=-, 所以,-=-=-(-), 由叠加法,得 当n3时,an=n(2n-1) 把n=1,a2=6代入,得a1=1,经验证:a1=1,a2=6均满足an=n(2n-1). 综上,an=n(2n-1),nN* (2)由(1)可知:bn=,于是b1=,b2=,b3=, 由数列bn是等差数列,得b1+b3=2 b2,即+=,解得c=-(c=0舍去). 此时,bn=2n,所以,数列bn是等差数列.所以c=-满足题意 所以,cn=. 所以Sn=1+,由错位相减法,得Sn=4- 一位幼儿园老师给班上个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒

9、内糖果的分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第二个小朋友;,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的分给第个小朋友.如果设分给第个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为.(1)当,时,分别求;(2)请用表示;令,求数列的通项公式;(3)是否存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列,如果存在,请求出所有的和,如果不存在,请说明理由.【答案】解:(1)当,时, , , (2)由题意知: , 即, , 累加得, 又, (3)由,得, 若存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列, 则, 即, 当时, ,对任意正整数,有成等差数列 注:

10、如果验证不能成等差数列,不扣分 【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推理论证能力;考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力.本题还可以设计:如果班上有5名小朋友,每个小朋友都分到糖果,求的最小值. 已知整数的所有3个元素的子集记为A1,A2,AC.(1)当n=5时,求集合A1,A2,AC中所有元素之和;(2)设mi为Ai中的最小元素,设【答案】(1)当n=5时,含元素1的子集中,必有除1以外的两个数字,两个数字的选法有=6个,所以含有数字1的几何有6个.同理含2,3,4,5的子集也各有6个, 于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)×=6&

11、#215;15=90 (2)证明:不难得到1min-2,miZ,并且以1为最小元素的子集有个,以2为最小元素的子集有个,以3为最小元素的子集有,以n-2为最小元素的子集有个.则 设是各项均为非零实数的数列的前项和,给出如下两个命题上:命题:是等差数列;命题:等式对任意()恒成立,其中是常数.若是的充分条件,求的值;对于中的与,问是否为的必要条件,请说明理由;若为真命题,对于给定的正整数()和正数M,数列满足条件,试求的最大值.【答案】解:(1)设的公差为,则原等式可化为 所以, 即对于恒成立,所以 (2)当时,假设是否为的必要条件,即“若对于任意的恒成立,则为等差数列”. 当时,显然成立 当时

12、,由-得, ,即. 当时,即、成等差数列, 当时,即.所以为等差数列,即是否为的必要条件 (3)由,可设,所以. 设的公差为,则,所以, 所以, ,所以的最大值为 已知数列,其中(1)求满足=的所有正整数n的集合(2)n16,求数列的最大值和最小值(3)记数列的前 n项和为,求所有满足(m<n)的有序整数对(m,n)【答案】(1)an+1=|bn|,n-15=|n-15|,当n15时,an+1=|bn|恒成立, 当n<15时,n-15=-(n-15) ,n=15 n的集合n|n15,nN* (2)= (i)当n>16时,n取偶数=1+ 当n=18时()max=无最小

13、值 n取奇数时=-1- n=17时()min=-2无最大值 (ii)当n<16时, = 当n为偶数时=-1- n=14时()max=-()min=- 当n奇数 =1+ , n=1 , ()max=1-=, n=15,()min=0 综上,最大值为(n=18)最小值-2(n=17) (3)n15时,bn=(-1)n-1(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (16-2k)0 ,n>15时,bn=(-1)n(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) >0,其中a15b15+a16b16=0 S16=S14 m=7, n=8 如图，一颗棋子从

14、三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率记为pn（1）求p1，p2的值；（2）求证：ABCDEF（第23题）【答案】解（1）p1，p2××(1) 2分（2）因为移了n次后棋子落在上底面顶点的概率为pn，故落在下底面顶点的概率为1pn于是移了n1次后棋子落在上底面顶点的概率为pn+1pn(1pn)pn 4分从而pn+1(pn)所以数列pn是等比数列，其首项为，公比为所以pn×()n1即pn× 6分用数学归纳法证明：当n1时，左式，右式，因为，所以不等式成立当n2时，左式，右式，

15、因为，所以不等式成立假设nk(k2)时，不等式成立，即则nk1时，左式要证，只要证只要证只要证只要证3k+12k26k2因为k2，所以3k+13(12)k3(12k4C)6k232k26k22k(2k3)12k26k2，所以即nk1时，不等式也成立由可知，不等式对任意的nN*都成立 10分已知数列满足,.(1)求,猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明;(2)设,比较与的大小.【答案】 已知数列是首项为1,公差为的等差数列,数列是首项为1,公比为的等比数列.(1)若,求数列的前项和;(2)若存在正整数,使得.试比较与的大小,并说明理由.【答案】解:(1)依题意, 故, 所以, 令, 则, 得,

16、 , 所以 (2)因为, 所以,即, 故, 又, 所以 ()当时,由知 , ()当时,由知 , 综上所述,当时,;当时,;当时,. (注:仅给出“时,;时,”得2分.) 设无穷数列满足：，.记.（1）若，求证：=2，并求的值；（2）若是公差为1的等差数列，问是否为等差数列，证明你的结论【解】（1）因为，所以若，则矛盾，若，可得矛盾，所以 4分于是，从而 7分（2）是公差为1的等差数列，证明如下： 9分时，所以， ，13分即，由题设，又，所以，即是等差数列16分设为部分正整数组成的集合,数列的首项,前项和为,已知对任意的整数,当整数时,都成立.(1)设,求的值;(2)设,求数列的通项公式.【答案

17、】【命题立意】本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,考查考生分析探究及逻辑推理的能力. 【解析】(1)由题设知,当时,即,从而.又,故当时,.所以的值为8. (2)由题设知,当且时,且. 两式相减得,即. 所以当时,成等差数列,且也成等差数列. 从而当时, (*) 且,所以当时,即,于是当时,成等差数列,从而,故由(*)式知,即.当时,设. 当时,从而由(*)式知,故. 从而,于是. 因此,对任意的都成立.又由可知.故,解得,.因此数列为等差数列.由. 所以数列的通项公式为. 已知数列的前项和为且,数列为等比数列,且=l,=64.(1)求数列,的通项公式;(2)若

18、数列满足,求数列的前项和;(3)在(2)的条件下, 数列中是否存在三项,使得这三项成等差数列?若存在,求出此三项,若不存在,说明理由.【答案】 已知，是函数图象上的两点，且，点共线，且 (1)求点坐标(2)若 求（3）若，记为数列前n项的和，若时，对一切都成立，试求的取值范围。【答案】解（1）共线且,又（2）（3）令 已知数列 和满足 ,的前项和为.()当m=1时,求证:对于任意的实数一定不是等差数列; () 当时,试判断是否为等比数列;()在()条件下,若对任意的恒成立,求实数的范围. 【答案】解:(1) (2) (3),不成立 当时 当为奇数时,当为偶数 从而求得 已知数列,且满足().(

19、1)若,求数列的通项公式;(2)若,且.记,求证:数列为常数列;(3)若,且,.求数列的前项和.【答案】,解:() ()先证,即, 然后 ,数列为常数列 () 已知数列满足且(1)计算的值,由此猜想数列的通项公式,并给出证明;(2)求证:当时,【答案】,猜想: 当时,结论成立; 假设当时,结论成立,即, 则当时, 即当时,结论也成立,由得,数列的通项公式为 原不等式等价于. 证明:显然,当时,等号成立; 当时, , 综上所述,当时, 设数列,即当时,记,对于,定义集合(1)求集合中元素的个数; (2)求集合中元素的个数.【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能

20、力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列的定义得:, , , 集合中元素的个数为5 (2)证明:用数学归纳法先证 事实上, 当时, 故原式成立 假设当时,等式成立,即 故原式成立 则:,时, 综合得: 于是 由上可知:是的倍数 而,所以是 的倍数 又不是的倍数, 而 所以不是的倍数 故当时,集合中元素的个数为 于是当时,集合中元素的个数为 又 故集合中元素的个数为 已知Sn=1+.(1)求S2,S4的值;(2)若Tn=,试比较与Tn的大小,并给出证明.【答案】解:(1)S2=1+=,S4=1+= (2)当n=1,2时,T1=,T2=,所以,=Tn. 当n=3时,T3

21、=,S8=1+=>=T3. 于是,猜想,当n3时,>Tn 下面用数学归纳法证明: 当n3,显然成立; 假设n=k(k3)时,>Tk; 那么,当n=k+1时,=+ >+(+)+(+) >+×2k-1+×2k-1=+=, 这就是说,当n=k+1时,>Tn. 根据、可知,对任意不小于3的正整数n,都有>Tn. 综上,当n=1,2时,>Tn;当n3时,>Tn 已知数列an中,a1=2,nN+,an>0,数列an的前n项和Sn,且满足.()求Sn的通项公式;()设bk是Sn)中的按从小到大顺序组成的整数数列.(1)求b3;(

22、2)存在N(NN+),当nN时,使得在Sn中,数列bk有且只有20项,求N的范围.【答案】 设数列,对任意都有,(其中、是常数).(1)当,时,求;(2)当,时,若,求数列的通项公式;(3)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当,时,设是数列的前项和,试问:是否存在这样的“封闭数列” ,使得对任意,都有,且.若存在,求数列的首项的所有取值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)当,时, , 用去代得, -得, 在中令得,则0, 数列是以首项为1,公比为3的等比数列, = (2)当,时, 用去代得, -得, , 用去代得, -得,即, 数列是等差数列. ,公

23、差, (3)由(2)知数列是等差数列,. 又是“封闭数列”,得:对任意,必存在使 , 得,故是偶数, 又由已知,故. 一方面,当时, ,对任意,都有. 另一方面, 当时, 则, 取,则,不合题意 当时,则 , 当时, , 又,或或或 已知数列满足,.(1)证明:();(2)证明:.【答案】(1)因为所以 假设当时,因为, 所以,由数学归纳法知,当时 (2)由(1)知,得, 所以所以即 所以,以此类推,得,问题得证 已知数列的相邻两项,是关于的方程的两根,且.(1)求证:数列是等比数列;(2)设是数列的前项和,问是否存在常数,使得对任意都成立,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案

24、】解:(1) ,是关于的方程的两根, . 由,得, 故数列是首项为,公比为的等比数列 . (2)由(1)得, 即. 又 . 要使对任意都成立有: 当为正奇数时,有: , 所以有: ,即,对任意正奇数都成立. 又因为单调递增,所以当时,有最小值1. . 当为正偶数时,有: , 即: 即: ,又因为 所以有: ,即对任意正偶数都成立. 单调递增, 所以当时,有最小值. . 综上所述,在常数,使得对任意都成立,的取值范围是 . 已知且令且对任意正整数,当时,当时,(1)求数列的通项公式;(2)若对任意的正整数,恒成立,问是否存在使得为等比数列?若存在,求出满足的条件;若不存在,说明理由;(3)若对任

25、意的正整数且求数列的通项公式.【答案】当时, 且, 所以, 又当时,且, , 因此,数列是以为首项,为公比的等比数列, 所以, 因为,所以,所以, , 假设存在,使得能构成等比数列,则, 故,化简得,与题中矛盾, 故不存在,使得为等比数列 因为且,所以 所以 所以, 由知,所以 , , 所以, 已知数列an的首项a1=a,Sn是数列an的前n项和,且满足:S=3n2an+S,an0,n2,nN*.(1)若数列an是等差数列,求a的值;(2)确定a的取值集合M,使aM时,数列an是递增数列.【答案】解:(1)在S=3n2an+S中分别令n=2,n=3,及a1=a得(a+a2)2=12a2+a2,

26、(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2,因为an0,所以a2=12-2a,a3=3+2a 因为数列an是等差数列,所以a1+a3=2a2,即2(12-2a)=a+3+2a,解得a=3 经检验a=3时,an=3n,Sn=,Sn-1=满足S=3n2an+S.(2)由S=3n2an+S,得S-S=3n2an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n2an,即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因为an0,所以Sn+Sn-1=3n2,(n2), 所以Sn+1+Sn=3(n+1)2,-,得an+1+an=6n+3,(n2). 所以an+2+an+1=6n+9,-,得an+2-an=6,(n2

27、)即数列a2,a4,a6,及数列a3,a5,a7,都是公差为6的等差数列, 因为a2=12-2a,a3=3+2a.所以an= 要使数列an是递增数列,须有a1<a2,且当n为大于或等于3的奇数时,an<an+1,且当n为偶数时,an<an+1,即a<12-2a,3n+2a-6<3(n+1)-2a+6(n为大于或等于3的奇数),3n-2a+6<3(n+1)+2a-6(n为偶数),解得<a<.所以M=(,),当aM时,数列an是递增数列 已知为实数,数列满足,当时, ();()证明:对于数列,一定存在,使;()令,当时,求证:【答案】解:()由题意知

28、数列的前34项成首项为100,公差为-3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而= =. ()证明:若,则题意成立 若,此时数列的前若干项满足,即. 设,则当时,. 从而此时命题成立 若,由题意得,则由的结论知此时命题也成立. 综上所述,原命题成立 ()当时,因为, 所以= 因为>0,所以只要证明当时不等式成立即可. 而 当时, 当时,由于>0,所以< 综上所述,原不等式成立 已知数列满足:,.若,求数列的通项公式;设,数列的前项和为,证明:.若时,所以,且. 两边取对数,得, 化为, 因为, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列 所以,所以 由,得, 当

29、时, ,得, 由已知,所以与同号 因为,且,所以恒成立, 所以,所以 因为,所以, 所以 记等差数列an的前n项和为Sn.(1)求证:数列是等差数列;(2)若a1=1,且对任意正整数n,k(n>k),都有+=2成立,求数列an的通项公式;(3)记bn=a (a>0),求证:.【答案】解(1)设等差数列an的公差为d,则Sn=na1+d,从而=a1+d. 所以当n2时,-=(a1+d)-(a1+d)=.即数列是等差数列 (2)因为对任意正整数n,k(n>k),都有+=2成立,所以+=2,即数列是等差数列 设数列的公差为d1,则=+(n-1)d1=1+(n-1)d1,所以Sn=1

30、+(n-1)d12,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=1+(n-1)d12-1+(n-2)d12=2dn-3d+2d1,因为an是等差数列,所以a2-a1=a3-a2,即(4d-3d+2d1)-1=(6d-3d+2d1)-(4d-3d+2d1),所以d1=1,即an=2n-1.又当an=2n-1时,Sn=n2,+=2对任意正整数n,k(n>k)都成立,因此an=2n-1 (3)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d,bn=a,所以=a-=ad,即数列bn是公比大于0,首项大于0的等比数列 记公比为q(q>0).以下证明:b1+bnbp+bk,其中p,k为正整数,且p

31、+k=1+n.因为(b1+bn)-(bp+bk)=b1+b1qn-1-b1qp-1-b1qk-1=b1(qp-1-1)( qk-1-1).当q>1时,因为y=qx为增函数,p-10,k-10,所以qp-1-10,qk-1-10,所以b1+bnbp+bk.当q=1时,b1+bn=bp+bk.当0<q<1时,因为y=qx为减函数,p-10,k-10,所以qp-1-10,qk-1-10,所以b1+bnbp+bk.综上,b1+bnbp+bk,其中p,k为正整数,且p+k=1+n 所以n(b1+bn)=(b1+bn)+(b1+bn)+(b1+bn)(b1+bn)+(b2+bn-1)+(

32、b3+bn-2)+(bn+b1)=(b1+b2+bn)+(bn+bn-1+b1),即 已知数列中,且点在直线上.(1)求数列的通项公式; (2)求函数的最小值;(3)设表示数列的前项和.试问:是否存在关于的整式,使得对于一切不小于2的自然数恒成立? 若存在,写出的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.【答案】解:(1)由点P在直线上, 即, 且,数列是以1为首项,1为公差的等差数列 ,同样满足,所以 (2) 所以是单调递增,故的最小值是 (3),可得, , ,n2 故存在关于n的整式g(x)=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立 已知数列an满足:.(1)若,求数列an的通项公式;(2

33、)若,试证明:对,an是4的倍数.【答案】解:(1)当时,. 令,则. 因为奇数,也是奇数且只能为, 所以,即 (2)当时, 下面利用数学归纳法来证明:an是4的倍数. 当时,命题成立; 设当时,命题成立,则存在N*,使得, , 其中, ,当时,命题成立. 由数学归纳法原理知命题对成立 设整数,是平面直角坐标系中的点,其中(1)记为满足的点的个数,求;(2)记为满足是整数的点的个数,求【答案】【命题立意】本小题主要考查计数原理,考查探究能力和解决实际问题的能力. 【解析】(1)点P的坐标满足条件:,所以. (2)设k为正整数,记为满足题设条件以及的点P的个数,只要讨论的情形.由知,且. 设其中

34、,所以 . 将代入上式,化简得. 所以 已知数列an中,a2=1,前n项和为Sn,且.(1)求a1;(2)证明数列an为等差数列,并写出其通项公式;(3)设,试问是否存在正整数p,q(其中1<p<q),使b1,bp,bq成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.【答案】解:(1)令n=1,则a1=S1=0 (2)由,即, 得 . -,得 . 于是,. +,得,即 又a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列an是以0为首项,1为公差的等差数列. 所以,an=n-1 (3)假设存在正整数数组(p,q),使b1,bp,bq成等比数列,则lgb1,l

35、gbp,lgbq成等差数列, 于是, 所以,(). 易知(p,q)=(2,3)为方程()的一组解 当p3,且pN*时,<0,故数列(p3)为递减数列, 于是<0,所以此时方程()无正整数解. 综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使b1,bp,bq成等比数列 注 在得到式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列的,亦相应评分.但在做除法过程中未对n2的情形予以说明的,扣1分. 本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算,考查创新能力.两个基本数列属C能要求,属高考必考之内容,属各级各类考试之重点. 第(3)问中,若数列an为等差数列,则数列(k&

36、gt;0且k1)为等比数列;反之若数列an为等比数列,则数列(a>0且a1)为等差数列. 第(3)问中,如果将问题改为“是否存在正整数m,p,q(其中m<p<q),使bm,bp,bq成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(m,p,q);若不存在,说明理由.”那么,答案仍然只有唯一组解.此时,在解题时,只须添加当m2时,说明方程组无解即可,其说明思路与原题的解题思路基本相同. 对于第(2)问,在得到关系式:后,亦可将其变形为,并进而使用累乘法(迭乘法),先行得到数列an的通项公式,最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可.但需要说明n2. 考虑到这是全市的第一次大考,又是

37、考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检测,因而在评分标准的制定上,始终本着让学生多得分的原则,例如本题中的第(1)问4分,不设置任何的障碍,基本让学生能得分. 设函数,数列满足.(1)若,试比较与的大小;(2)若,求证:对任意恒成立.【答案】设函数,数列满足. (1)若,试比较与的大小; (2)若,求证:对任意恒成立. 解:(1)时, 所以, 所以, 所以 (2)用数学归纳证明当时,对任意恒成立, 时,结论成立; 设时, 则当时, ,即, 当时, 即是上的单调递增增函数, 所以,即 即时,结论成立, 综上可得,当时,对任意恒成立, 为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建