第十一章11.311.3.1平行直线与异面直线2019(秋)数学必修第四册人教B版(新教材)改题型

1、11.3 空间中的平行关系11.3.1 平行直线与异面直线课标要求素养要求1 .了解空间中两条直线的位置关系.2 .理解空间平行线的传递性,会证等角定理.3 .理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形.借助实物理解异面直线的概念，进 行两条直线平行的判断，培养学生 的直观想象素养与逻辑推理素养.课前预习知汨探究教材知识探究B情境引人深夜的街道非常寂静，路口处只有几盏灯亮着，斑马线上无人走过问题 街道上斑马线所在直线都互相平行吗？提示互相平行.，新知梳理 1 .平行直线(1)在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线 .(2)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(3)传递性：平行于同一条直

2、线的两条直线互相平任一用符号可表示为：如果a/b,a / c, b / c.(4)等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行、并且方向相同，那么这两个角相等.2 .异面直线(1)定义：空间中既不平行也不相交的直线.(2)判定：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.3 .空间四边形顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点为顶点,连接 相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边 形的对角线.教材拓展补遗微判断1 .平面a内的一条直线l与平面B内的一条直线m是异面直线.(X)提示 如果l与m可以放在一个平面内，则不是异面

3、直线.2 .若两条直线异面，则两条直线没有公共点.(V)3 .梯形不是空间四边形.(V)微训练1 .若a? a , b?a ,则a与b的位置关系可能是()A.平行或异面B.相交或异面C.平行、相交或异面D.平行或相交解析 b?a,则直线b与平面a最多一个交点，若交点在a上，则相交；若交点不在a上，则异面；若b与a无交点，则可能平行或异面.答案 C2 .空间四边形ABCD的一组对边AB与CD是()A.平行B.相交C.垂直D.异面解析 空间四边形的每一组对边都是异面.答案 D微思考1 .如果/ AOB与/ CO D的两边分别对应平行，则/ AOB与/ CO D有什么关系？提示 如果一个角的两边与另

4、一个角的两边分别对应平行，并且方向都相同或都相反，则这两个角相等；如果一组对应边的方向相同，另一组对应边方向相反,则这两个角互补.2 .对边分别相等的四边形是平行四边形，这一结论能推广到空间中吗？提示 不能.在空间中，对边分别相等的四边形可能是空间四边形，它的对边是异面直线.II 题型剖析课堂互动题型一平行直线的判定【例1】 如图所示，在空间四边形ABCD中，AE=AH, CF=CGAB AD CB CD则EH与FG的位置关系是 AE AHAB= AD' EH/BD，解析连接BD,如图,p CF CGEH / FG.又 = , . . FG / BD,CB CD答案平行【迁移11 在空

5、间四边形ABCD中，E, F, G, H分别是边 AB, BC, CD, DA的中点，若 AC=BD.求证：四边形EFGH是 菱形.证明 在4ABD中，E, H分别为AB, AD的中点,_ -1EH 餐BD. ，一 1同理FG统尹口.所以EH统FG,所以四边形EFGH为平行四边形.又在 ABC中，可得EF统gAC,. AC=BD,，EF=EH,四边形 EFGH 是菱形.【迁移2】若空间四边形ABCD中，E, F, G, H分别是边AB, BC, CD,DA的中点，且 ACXBD,则四边形EFGH是.解析 由迁移1知，四边形EFGH是平行四边形.又HG/AC,EH/BD,AC，BD,EHXHG,

6、故四边形EFGH为矩形.答案矩形规律方法 (1)空间两条直线平行的证明： 定义法：即证明两条直线在同一个 平面内且两直线没有公共点；利用基本性质：找到一条直线，使所证的直线都 与这条直线平行；在同一平面内用对应线段成比例，特殊的用三角形的中位线、 平行四边形等.【训练11已知正方体ABCD AiBiCiDi中，E, F, G, H分别为AB, AD,CiBi, CiDi的中点，试判断下列直线是否平行，并给出理由：(1)ADi 与 BCi;(2)EF 与 GH;(3)DE 与 HBi.解如图所示.平行. . AB统DiCi,四边形ABCiDi是平行四边形, .ADi / BCi.(2)平行.因为

7、 EF/ BD/ BiDi / GH.平行.取CD中点S,连接BS, HS,可证DE / BS/ HBi.题型二等角定理应用【例2】 如图，已知棱长为a的正方体ABCD AiBiCiDi中，幺 UM, N分别是棱CD, AD的中点.月田V* * I，(1)求证：四边形MNA1C1 是梯形；(2)求证：/ DNM = /DiAiCi.证明(1)如图，连接AC,在4ACD中，-. M, N分别是CD, AD的中点， MN是ADAC的中位线， -1MN /AC, MN = AC.由正方体的性质得：AC/AS AC = AiCi.1 一一 .MN/AiCi,且 MN = 2AiCi,即 MNwAiCi

8、, 四边形MNAiCi是梯形.(2)由(i)可知 MN/AiCi,又ND/AiDi, / DNM与/ DiAiCi相等或互补.而/DNM与/ DiAiCi均是直角三角形的锐角， ./ DNM=/DiAiCi.规律方法在证出两个角的对应两边分别平行后，要借助于图形判断两个角是相 等，还是互补.在证相等时，不要忽略“对应两边方向”的判断.【训练2】 如图所示，在正方体ABCD AiBiCiDi中，E, F,一十G分别是棱CCi, BBi及DDi的中点.求证/ BGC=/FDiE.卜卜证明 /E, F, G分别是正方体的棱CCi, BBi, DDi的中点，炉仃CEMGDi, BFM GDi.四边形C

9、EDiG与四边形BFDiG均为平行四边形.GCM DiE, GB 所 DiF.又/ BGC与/ FDiE对应两边的方向相同, ./ BGC=/FDiE.题型三异面直线的判断【例3】 如图，G, H, M, N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH, MN是异面直线的图形有解析(1)中HG / MN , (3)中GM / HN且GM w HN ,所以直线 HG与MN必相答案 （2）（4）规律方法 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交，也不平行，就是异面直线.【训练3】 在四棱锥P ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有 解析与AB异面的有侧棱PD和PC,

10、同理，与底面的各条边异面的都有两条侧 棱，故共有异面直线4X2 = 8（对）.答案 8核心素养 IilMlulllil in 全面提升 M lillli'Illll'IIHI HIIIII 1|1|1：|一、素养落地1 .通过平行直线、异面直线的判断，培养直观想象素养与逻辑推理素养.2 .求证两直线平行有两种常用的方法：一是应用平行线的传递性，二是证明在同 一平面内，这两条直线无公共点.证明时要充分应用好平面几何知识，如平行线 分线段成比例定理、三角形的中位线定理等.3 .求证角相等也有两种常用的方法，一是应用等角定理，在证明的过程中常用到 平行线的传递性，注意两角对应边方向的

11、讨论；二是应用三角形全等或相似 二、素养训练1 .如果 OA/ O1A1, OB/O1B1,那么/ AOB 和/ AiOiBi()A.相等B.互补C.相等或互补D.大小无关解析 因为角的方向不定，所以/AOB与/A1O1B1相等或互补.答案 C2 .E, F, G, H分别是空间四边形 ABCD四条边AB, BC, CD, DA的中点，则EG与FH的位置关系是（）A.异面B.平行C.相交D.重合解析 由题意易知四边形EFGH是平行四边形，则EG与FH是两条对角线, 定相交.答案 C3 .若a/ a, b? a ,则a与b的位置关系是（）A.平行B.相交或异面C.异面D.平行或异面解析 a与b

12、一定不相交，但可能平行也可能异面.答案 D4 .若直线11和12是异面直线，11在平面a内，12在平面B内，l是平面a与平面B的交线，则下列命题正确的是（）A.1与11, 12都不相交B.1与11, 12都相交C.1至多与11, 12中的一条相交D.1至少与11, 12中的一条相交解析 如图1, 11与12是异面直线，11与1平行，12与1相交，故A, B不正确；如图2, 11与12是异面直线，11, 12者B与1相交，故C不正确，选D.答案 D课后作业巩虞握高基础达标一、选择题1 .若 OA/ OA； OB/OB',且/AOB=130°,则/ AOB'为（）A.13

13、00B.500C.130或50°D.不能确定解析 根据等角定理，/AOB与/AOB相等或互补，即/A'OB'=130°或/AOB'二50 ：答案 C2 .如果把两条异面直线看成“ 1对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面 直线共有（）A.12 对B.24 对C.36 对D.48 对解析 六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另外四条边异面，这样异面直线一共有 4X6 = 24（对）.答案 B3 .下列说法中正确的是（）A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交C.已知空间

14、中四条直线 a, b, c, d,如果a / b, c / d,且a / d,那么b / cD.分别在两个平面内的直线是平行直线解析 空间中没有交点的直线也可能是异面，故 A错；B中还可能异面；在两个平面的直线可能平行、相交或异面，故 D错.答案 C4 .点P, Q, R, S分别在正方体的棱上，且是所在棱的中点，则直线 PQ与RS 成异面直线的一个图为（）p解析 A、B中平行，D中相交.答案 C5 .下列结论正确的个数是（）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相 等；如果两条直线同时平行于第三条直

15、线，那么这两条直线平行.A.0B.1C.2D.3解析 中没有判断角两边的方向，故错.正确，正确.答案 C二、填空题6 .若空间四边形ABCD的两条对角线AC, BD的长分别是8, 12,过AB的中点 E且平行于BD, AC的截面四边形的周长为 .解析 取BC中点F, CD中点G, AD中点H ,得?EFGH ,平面EFGH就是过E11且与 AC, BD 平行的平面，且 EF = GH = 2AC = 4,EH=FG=2BD = 6,所以？EFGH的周长为20.答案 207 .如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线上，E在线段PA上，则直线 AB, BC, AC, EF, AP, BP中有

16、对异面直线.解析 异面直线有 AB与EF, BP与AC, BC与AP, AC与EF,BP 与 EF.答案 58 .下列叙述中不正确的是（填序号）.空间四边形的四个顶点不共面，它有四条边和两条对角线；空间四边形不是 平面图形，可以把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形沿着公共底边 适当翻折而成的空间图形；顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四 边形；有三个角都是直角的空间四边形是矩形.解析 由空间四边形定义知 正确，中，如在正方体 ABCDAiBiCiDi中，四边形ABCDi符合三个直角的条件但不是矩形，故 不正确.答案 三、解答题9 .在正方体 ABCD AiBiCiDi中，M,

17、Mi分别是棱AD和AiDi的中点.求证：/ BMC=/ BiMiCi.证明 在正方形ADDiAi中，M, Mi分别为AD, AiDi的中点， 刈2=J I . AiMiMAM,、沿二力四边形AMMiAi是平行四边形，J点 - AiA统 MiM.又. AiA统 BiB, a MiM M BiB,一四边形BBiMiM为平行四边形. BiMi / BM.同理可得四边形CCiMiM为平行四边形， .CiMi/ CM.由平面几何知识可知，/ BMC和/ BiMiCi都是锐角. ./ BMC=/BiMiCi.i0.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,1一 1= /FAB=90, BC 所AD,

18、 BEFA, G, H 分别为 FA, FD 的中点.证明：四边形BCHG是平行四边形.证明 由已知FG = GA, FH=HD,可得 GH 统2AD.又 BC 统1AD, . .GH 统 BC,一四边形BCHG为平行四边形.能力提升11.已知a, b, c是空间中的三条直线，下面给出四个命题:若 a / b, b / c,贝U a / c；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交;若a?平面%b?平面&则a, b一定是异面直线;若a, b与c成等角，则a/ b.上述命题中正确的是（填序号）.解析 由平行线的传递性知 正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故

19、不正确；a? a, b? B,并不能说明a与b “不同在任何一个平面内”，故不正确；当a, b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确.12.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F, E1, F1分别为AD, AB, B1C1, C1D1的中点.(1)求证：EF ME1F1；(2)求证：/ EAF = / E1CF1.证明连接BD, B1D1. E, F分别为AD, AB的中点,，. 一 1丁在4ABD 中有 EF / BD 且 EF = 2BD.1_ _同理，EiFi/BiDi 且 EiFh/BiDi.而在正方体 ABCD AiBiCiDi 中，BBi M DDi,四边形BBiDiD为平行四边形， . BD/ BiDi 且 BD = BiDi,.EFEiFi.（2）取AiBi的中点M,连接BM, FiM,则 BF = AiM = /aB.又 BF/AiM, a BF M AiM,四边形AiFBM为平行四边形，.AiF /