2015届高三理科数学综合测试（四）

1、2015届高三理科数学综合测试（四）第卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1、如图，在复平面内，若复数对应的向量分别是，则复数所对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 设等比数列的公比，前项和为，则的值为（ ）A B C D3已知向量,则（ ）AB CD4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是（） A B C D5、已知为两条不同的直线，为一个平面。若，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件

2、 D. 既不充分又不必要条件6某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如下表：零件数（个）102030加工时间（分钟）213039现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（） A84分钟B94分钟C102分钟D112分钟7、函数具有下列特征：，则的图形可以是下图中的（）8、函数是定义域为R的奇函数，且时，则函数的零点个数是（ ） A1 B2 C3 D49、已知外接圆的半径为，且，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，判断的形状（ ）A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形10 已知集合，若对于任意，存在，使得成

3、立，则称集合是“集合”. 给出下列4个集合： 其中所有“集合”的序号是（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分将答案填在答题卡的相应位置.11在的展开式中的常数项为p，则 .12已知实数满足若目标函数取得最小值时最优解有无数个，则实数的值为 .13定义一种运算，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义。那么，按照运算“”的含义，计算 第13题图14已知命题：在平面直角坐标系中，的顶点和，顶点B在椭圆上，则（其中为椭圆的离心率）试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题：在平面直角坐标系中，的顶点和，顶点B在双曲线上，则 15、对于个互异的实数，可以

4、排成行列的矩形数阵，右图所示的行列的矩形数阵就是其中之一将个互异的实数排成行列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为，并设其中最小的数为；把每列中最小的数选出，记为，并设其中最大的数为.两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：和必相等； 和可能相等；可能大于； 可能大于以上四个结论中，正确结论的序号是_（请写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是

5、:. (I)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数;(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为,求的分布列及数学期望.A1C1B1ACBA1D17（本小题满分13分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，B = 900，D为棱BB1上一点，且面DA1 C面AA1C1C.。(1)求证：D为棱BB1中点；（2）为何值时，二面角A A1D C的平面角为600。18（本小题满分13分）已知向量

6、向量与向量的夹角为，且。（1）求向量 ； （2）若向量与共线，向量，其中、为的内角，且、依次成等差数列，求的取值范围19、（本小题满分13分）如图所示，设抛物线的焦点为，且其准线与轴交于，以，为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为P（1）当时，求椭圆的方程；（2）是否存在实数，使得的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由。20（本题满分14分）如下图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）(1) 求、及

7、数列的通项公式；(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N. 21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作（1）（本小题满分7分）选修42:矩阵与变换已知矩阵A 把点（1，1）变换成点（2，2）（）求的值（）求曲线C：在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程。（2）选修44：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0).()把曲线C的极坐

8、标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；()若直线经过点(1,0)，求直线被曲线C截得的线段AB的长.（3）选修4-5：不等式选讲 已知函数, 若恒成立，实数的最大值为。（1）求实数。（2）已知实数满足且的最大值是，求的值参考答案三、解答题17解：（1）过点D作DE A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF EF。面DA1 C面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE A1 C直线DE面AA1C1C 3分A1C1B1ACBA1DyOxZ又面BA C面AA1C1C且相交于AC，易知BFAC，BF面AA1C1C由此知：DEBF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1面AA1C1

9、C，故有DBEF ，从而有EFAA1，又点F是AC的中点，所以DB EF AA1 BB1，所以D点为棱BB1的中点； 6分（2）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA1 2b ，ABBC ，则D（0,0,b）, A1 (a,0,2b), C (0,a,0) 7分 所以， 8分设面DA1C的法向量为则 可取又可取平面AA1DB的法向量A1C1B1ACBA1DHEFGcos 10分 据题意有：，12分 解得： 13分分 (2)解法2：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB面AA1B1B，过B作BHA1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 GCH，由此知CHB为二面角A A1D C的平面角；

10、 9分设AA1 2b ，ABBC ；在直角三角形A1A G中，易知AB BG。在DBG中，BH ， 10分在CHB中，tanCHB ，据题意有： tan600 ，解得：所以 。 13、解：（1）抛物线的焦点为分椭圆的半焦距，离心率，所以椭圆的长半轴长，短半轴长分所以椭圆的方程为分当时，椭圆的方程分（2）假设存在满足条件的实数由，解得分，分所以的三条边的边长分别是，所以当时使得的三条边的边长是连续的自然数分20(1) 解: 由，设直线的斜率为，则.直线的方程为.令，得， 1分， . .直线的方程为.令，得. 2分一般地，直线的方程为，由于点在直线上，. 3分数列是首项为，公差为的等差数列. 4分（2）解： . 6分（3