Ising模型简述

1、Ising 模型简述Lenz 曾向他的学生 Ising 提出一个研究铁磁性的简单模型，而 Ising 于 1925 年发表了他对此模型求解的结果，所以这个模型被称为 Ising 模型。当时 Ising 只做出了该模型一维下的严格解， 在一维情况下并没有自发磁化的发生。 另外他 还由此错误地推断出在更高维的情况下， 这个模型也不存在自发磁化。 这个推断 在后来被证明是错误的。1936年PeierlS论证了二维或三维的ISing模型存在着自 发磁化，虽然当时他并没有能够给出模型的严格解。1944年，当OnSager给出了 二维 ISing 模型的严格解之后， ISing 模型开始引起人们广泛的关注

2、。这次求解是 相变理论发展上的一个重要进展， 它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿 量体系出发，在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而 OnSager本人也因此获得了诺贝尔奖。在此之后很多人又相继发表ISing模型的各 种不同解法， Baxter 甚至有篇论文叫 ISing 模型的第 399 种解法。但至今没有 被学术界公认的三维 ISing 模型精确解。甚至有人发表论文证明无法解出三维 ISing 模型的精确解，因为三维 ISing 模型存在拓扑学的结构问题。人们通常用分 子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙特 - 卡罗模拟等近似计算三维

3、ISing 模型的居里温度和临界指数，而其中 WilSon 于 1971 年发展的重整化群理论能以较高精度计算三维ISing 模型的近似结果18-20。我国科学家张志东提出三维“Is ing模型”精确解猜想。张志东的出发点就是拓扑学中的一个常识：低维空间的扭曲和纽结可以被高一维空间的旋转打 开。通过引入第四卷曲起来的维与本征矢量上的权重这两个猜想作为处理三维 ISing 模型拓扑学问题的边界条件，并应用这些猜想用自旋分析法评估了三维简 单正交晶格 ISing 模型的配分函数。当系统的对称性越高，居里温度也越高。他 猜测三维系统具有最高对称性的简单立方 ISing 模型具有最高的居里温度黄金 解

4、，在二维系统具有最高对称性的正方 ISing 模型具有最高的居里温度白银解。 获得的结果具有一定的对称性和美学价值，并可部分返回到二维和一维的结果。 当然，推定的精确解正确性取决于猜想的正确性， 而且其与学术界通常接受的评 价标准尚不完全吻合， 有待于对相关的物理本质作进一步探讨。 因此，这一工作 目前还只是停留在猜想阶段。今天的 ISing 模型根本不再是 ISing 博士论文中的模样。每年差不多有 6000 篇左右的论文研究这一模型。除了铁磁性之外，该模型还应用于很多方面，如合 金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、 玻璃物质的性质，甚至于神经网络蛋白质折叠

5、、生物膜场论甚至社会现象等广泛 的领域。通过上述介绍，我们知道三维ISing模型尚未得到严格解，而一维和二维情 况下的解法确是多种多样的。在这里，我们将给出ISing模型的严格解，采用的是 1941 年 KramerS和 Wannier提出的转移矩阵方法(Transfer MatriX MethOd)。然 后简要地说明二维ISing模型严格解的主要结果，并且同平均场理论所得的结果 进行对比。可将哈密顿量时，边界效应将不会影响到体系的热力学性质。根据如上的条件,(1-14)写为:H J SS 1iS S1 ，2 i(1-15)其相应的配分函数为:QT,hs11SNexp 丄 JSSI-BhSSi

6、I。1 kBT2(1-16)在这里我们引入矩阵P,其矩阵元定义为:(SPSiI) exp 丄kpTJSSi 1-Bh Si S 1，2(1-17)因为Si与S+1都能取1两个值，所以2的矩阵:Si1PSi 1O(S1PSi1PSi 11 (S1PPBJ kBTJ eS 1S 1h .gTJkBTeJ Bh kBT e(1-18)于是配分函数(1-16)可以重新写成:QT,hS1S1(SI P SXs2 P S3)(SN1 SN 1(s1 P SI)TrP1SN(1-19)将P矩阵对角化得,(1-20)+和-即为矩阵P的本征值，由下面的久期方程决定Bh .1 k BTJ kpTJ kBTeeJB

7、h kBT(1-21)其解为:eJkBTCOSh-BhkBTCOSh2 卫 2e JkBT Sinh TkBT(1-22)要注意的一点就是+ -。现在将等式(1-20)代入(1-19),配分函数可以表达为：NQT,h N N N 1，(1-23)所以，当N 时，我们得到:1Iim In Q T, h InN N，(1-24) -JIn COSh-BhJcosh2-Bh2e J kBTSinh -2jkBTkpTkBTkBT即配分函数有P矩阵较大的本征值决定。体系的自由能和总极化强度分别为:F T,hNkBTQT,hNJ kBT COSh kBT(1-25)COSh2Bh2e J甘.2J Sin

8、h kBTkBTSi nhBhM1F NIkBT(1-26)N BBhTe 4J kBTSin h2 BhVkBT其它的热力学函数也可同样由自由能求出如图1.3所示，在计算中我们选取交换相互作用常数 J=IkBK,对于一切T0 都有M(T, 0)=0,也就是说ISing模型在一维的情况下不存在自发磁化，不会发生顺磁-铁磁转变。从物理上看，任何温度下自旋的平均取向由两个对抗的因素相 互竞争决定，即能量趋向最小而熵趋向最大，使得自由能达到最小值。在一维情 况下，由于近邻数低，使得自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向， 结果在任何有限温度下都不能形成自发磁化。图1.3 一维ISing模型在

9、不同温度下，磁化强度M随外场h的变化曲线1234567910-l Y图1.4 一维ISing模型在有限温度下长程序被破坏的示意图n0.2n-rr0.023KJ图1.5严格解与平均场近似所得二维ISing模型磁化强度的比较在图1.5中，与平均场近似所得的解(Tc=4K)相比，严格解(Tc=2.269K)有着 更低的临界温度TC,而且磁化强度在T Tc-O有着更陡的温度变化率。平均场 近似忽略了系统的涨落，而涨落是倾向于破坏有序的，所以在平均场近似下所得 的TC是高于实际体系的，磁化强度的变化也反映的这一特点。在这里我们需要 注意，在平均场近似所得的结果中，ISing模型在一维的情况下存在着自发的

10、磁 化，这个结果是错误的。在前文我们提过，在一维系统中由于近邻数目低，系统 的涨落完全抑制了有序，而平均场近似忽略了系统的涨落才得到了有序相。Ising 模型自 Ising 提出后，有了很多的发展，不仅是解法的多样化，其具体 形式也发生了不少变化。 Ising 模型的一些重要拓展成为描述相变 （比仅仅是磁性 ） 等问题重要工具。比如说横场伊辛模型 （Transverse-field ISing mode,简称TlM）, 它是于1963年由Gennes提出。TIM是在ISing模型的基础上考虑了 横向外场 的作用,所谓横向外场,是指外场的方向垂直于 Ising 模型中自旋投影的方向。 在这里横向

11、外场可以看作是晶体内部横向遂穿效应的一种等效, 从而可以应用于 零温的量子相变。 TIM 的哈密顿量可以写成：H J siz sjzsix ,（1-34）i,ji这里 是横向场,也可以看作是遂穿积分,决定了从一个势能极小态到另一个势 能极小态的遂穿几率。 TIM 被广泛运用到多种体系, 比如量子自旋玻璃, 量子弛 豫,量子磁滞,量子铁电等,详细的内容我们将在第三章中做具体的阐述。我们再说ISing模型的另一种拓展形式弹性伊辛模型（ElaStiC ISing Model ,简 称 EIM） 。我们知道,晶体中的原子 （离子）受到其周围的原子 （离子）作用,被束缚 在晶格格点,也就是平衡位置周围做微小的振动,可以用劲度系数（StiffneSSfaCtor）k 来描述。在 EIM 中,交换相互作用 J 不再是常数,而是同离子间的距离 存在某种类似于弹性能的关系, 新的弹性作用使得原子产生位移, 出现新的平衡 位置。当自旋以某种有序状态排列时, 弹性交换相互作用使得晶格中的某些原子 产生同向的位移。