第四章4.3.2对数的运算

1、4. 3.2对数的运算【学习目标】1.掌握积、商、耗的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件2掌握换底公式 及其推论3能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.知识梳理梳理教材夯实居础；知识点一对数的运算性质如果，>0,且 M>0, N>0,那么(l)logn(A/ , N) = loggM+loggM M(2)logfl=10期加一 lo 理M(3Moga"=川 o&M( G R).拓展：log”", M" =§ogcM(n£R, ¥0)思考 当 M>0 , N>0 时，logfl(/W + N)=

2、 logW + 1。珈N , log.(MN) = logM log“N 是否成立？答案不一定.知识点二换底公式1 . logn=谭且 “Wl； c>0,且 c/1： Z?>0).2 .对数换底公式的重要推论(1 )log“N=oa(/V>0,日 NW 1； a>0,且 1). log (1 bm =§Oga仅4>0,且 4工 1 , /?>0).(3)logn/?- Iog/,C- log, J= lognJ(</>0, b>0, c>0, c/>0,且 “Wl,力#1, cWl).思考 换底公式中底数C是特定数还是

3、任意数?答案 是大于。且不等于1的任意数.-预习小测自我检验-1. log84+log82=.答案1解析 logs4 + log»2 = log»8 = 1.2. logslO-log52=.答案1解析 log510 - Iog52 = log55 = 1.3. .g/而=：(2)已知 In 4=0.2,则 ln=答案(1)； (2)0.81 1解析 lg V=lgl02=2； *lnd-0.2 = 08Iog2910g23 答案2题型探究解析磊力叫9 : 2.探究重点提升素系一、对数运算性质的应用例1计算下列各式的值：(I)(lg5)2+21g2-(lg 2尸：1g 3+

4、,1g 9+lgV27 lg/3(2) Ig81-lg 27:7(3)log53521og5-+Iog57 log51.8.J解(1)原式=(怆5)2十(2-怆2)馆2= (lg 5)2 + (l+lg5)lg2= (lg 5)2 + lg 2-lg5 + lg2= dg5 + lg 2)lg5 + lg2= lg5 + lg2= 1.原式=(1 十%lV91g3_ii(4 - 3)lg 3- 59原式=logs(5X7) - 2(logs7 - logs3)十 logs? - logs5 =logs5 + logs7 - 210gs7 + 210g53 + logs7 - 21ogs3 +

5、Iogs5=210g$5 = 2.反思感悟对数式化简与求值的基本原则和方法基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.(2)两种常用的方法：“收”，将同底的两又擞的和(差)收成积(商)的对数；“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).跟踪训练1计算下列各式的值：(1 班H 4g 群+>§7245:(2)lg 25+|lg 8 + lg5Xlg 204-(lg 2)2.解(1)方法一 原式二 *51g 2 - 21g 7) - gx|lg 2+ g(21g 7 +检 5)=|lg 2

6、 - 1g 7 - 21g 2 + 1g 7 +54g 2 十 gig 5 二规 2 十 1g 5)= 1lg 10二:方法二原式二1 - Ig4 + lg二 ig*啜骗二 lg(娘 雄)二 ig (2)原式= 21g5 + 21g2 + lg5X (21g 2 + lg5) + (1g 2)2 = 21g 10 + (lg5 + lg 2)2 = 2 + (1g 10)2 = 2+l=3.二、换底公式的应用例 2 (1)计算：(log43+log83)(log32+log92)；(2)已知 logi89=a,18"=5,用 a, b 表示 log3645 的值.解侬二(标十颗喈十颗

7、(2)方法一 Vlog189 = tA 18 = 5 ,，logi85 二尻力 白 i 一 Iogis45 logi8(9X5)于正*45 = 1咱836 = 1咱 #8X2)logis9 + logis5 a + b a + b"1+1咱正方法二 Vlogis9 = </J8/? = 5 x Alogis5 = Z?.丁日.*(9X5) iogi«9 + logis5 "十 b于是 log5645 =.logjj： 210giS18-10g189 2”(教师)延伸探究若本例条件不变，求loggl5.(用a , b表示)解 因为18”=5 ,所以logis5

8、 = b.6rp i"1咱815 logl8(3X5)所以1吧15 =前演=咱gglogis3 + log i»5 logi8地 + b a - a4#+/:垣丝一 a -0a + b a + 2h二 a 二反思感悟 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧跟踪训练2 (1图的值是()23A.q B.5 C. 1 D. 2 J4答案A解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，1g 919,1§8,21a3 102_2即 log23 一史一 31g 2。3-3,检2方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的又擞，酷9目陛2_丝身一强生二即 10g23 - 1

9、0g23 - 310g23 - 3,计算：1。呼飞9Iog5jlog7/4解原式。呼.弋910g5g 10g?-/41=logj V2 1og9 = logj 2-31og22 32 331 3="yloga2-3Iog23= - 2«三、对数运算性质的综合应用2 1例3 设3。=，=36,求工+/勺值；(2)已知 2*=3''=5",且一+1+!=1,求尤，y, z. x y z解(1)方法一由3J# = 36,得 a = 1哨36 , b = Iog436 ,由换底公式得J = 10g363 , 1 = 10g364 z2 1，7 十万二 21

10、0g363 + Iog364 = log3636 = 1.方法二 由3=4 二 36 ,两边取以6为底数的对数，得410g63 = Mog64 = log636 = 2 f - 1。陟3 , 1 = |log64 二 log62 ,2 1，/ 十石二 log63 + log62 = log66 = 1.(2)令 T = 3V = 5：= k(k>0),/ a = log2k , y = log,z = log火,二；= logx2 , 1 二 logx3 , 1 二 10gt5 ,1 1 1由一十一+一二1,-V y z得 1。&2 + log«3 + logx5 =

11、lo耿30二 1 ,二 30 ,Ax = log230= 1 + log215 ry = logj30 = 1 + logjlO , z = logs30 = 1 + logs6.反思感悟利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条 件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒 数化为同底的对数，从而使问题得解.跟踪训练3已知3。=5人=0,且冷=2,求c的值.解 / 3a = 5,f = c , a = logjc f b = l

12、ogsc ,：To&3 , Qo&5 ,弓十:Tog6由1。&15=2彳导c2=15 ,即c二随堂演练基础巩固学以致用'1 .求值：210g510+唾50.25等于()A. 0 B. 1 C. 2 D. 4答案C解析 210g510 + logsO.25 = log5100 + Iogs0.25=log525 = 2.2 .若 a>0, “Wl,则下列各式:(10gaX)" = 10gaT；(10gaT)" = 10"： 10轲=-10 "；封 10goT = ogaT； 华£=观即其中正确的有（）A. 2

13、个B. 3个C. 4个D. 5个答案A 解析 根据对数的运算性质log/"二noM（M>0 ,心0，且"1）知与正确.3 .己知 2。=5=10,则' + "=答案1 解析因为2。二5二10, 所以（i = logilO , b = logs 10.根据换底公式得“二七，=会, 所以% 1g 2 + 1g 5= 1.4 . log23 10g34 log”=.答案1解析 Iog23-log341og42 = ,21g4 + lg9 +；lg 0.36+lg 8答案2物垢力T 21g 4+lg92收122-12原式一谒怆0 36+M-1+怆0.6+怆2

14、-怆12课堂小结- 1.知识清单: 对数的运算性质.换底公式.对数的实际应用.2.方法归纳：换底公式、转化法.3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆.课时对点练注重双基强化落实N“基础巩固1. log242+log243+log244 等于()A. 1 B. 2 C. 24 D.1答案A解析 10g242 + 10g243 + 10g244 = log24(2 X 3 X 4)=log2424 = 1.2.化简 4(log23)2 4k)g23 + 4 + log?得()A. 2B. 2-21og23C. -2D. 210g23-2答案B解析 (log23)2 - 410gz3

15、+ 4 = y(log23 - 2)2=2 - log23.:.原式=2 - log23 + logz3-1 =2 - 210g23.3 . O.25+Iog23.log34 的值为()c 1-2B 1- 4A7- 4-44 3 1g馆 lxl 3-2 1g馆 1+1 1-2X 3-2 1L吆 + 1-2 - 1 - 47 -4-4 .己知有下列四个等式：lg3") = lg a+lg b lg ©=lgIgb;破g U=i点lg(")=1次,其中正确的是()10gn/?l UB.C.D.答案D解析 式成立的前提条件是</>0 , /?>0 ；式

16、成立的前提条件是ub于1 ,只有式成立.5 .已知1g 2=小1g 3=3则log36等于()答案B 解析1咱6二氤二、除3二丁 6 . 1g巾+ lg回的值是.答案1解析 1g巾 + lg/20 = lg/100 = 1g 10= 1.7 .若log法log/<,lo&3=2,则的值为答案73解析方法一由已知可嘴需黑=2, 即鉴二2 ,，lg3 = 21g，凉二3,4二小.方法二由已知得1。酎黯墨二2, 即 1003二2/二小.8 .若 lgx+lgy=21ga_2y),贝叶=y答案4解析 因为 lg a- + 1g >' = 21g(x - 2y),r a>

17、;0 f y>0 ,所以4 x - 2y>0 , 由 xy - (x - 2y-,知 x2 - 5xy + 4y2 - 0 f 所以x 二 ),或.T = 4y.又.v>0 , y>0 且 x - 2y>0 , 所以舍去x ，故x = 4y ,贝4二4.9 .求值：(1)电5期 400+(电2d)2；10 ) flog33 J + log0.2s|+910g5正 一 log。1 .解 原式= lg5.(2 + 21g 2) +(V21g 2)2=21g 5 + 21g 2-lg5 + 2(lg 2)2=21g 5 + 21g 2.(lg5 + lg 2) = 21

18、g5 + 21g2 =2.if i log3 32+ logo.25, + 910gsy8 - log/ 11 I 9 232+1+9X5-。=i十1十二彳.10.计算下列各式的值：(l)log5354- 21ogj >/2-log5- log514：5 一(2)(log21 25 + log425 + Iogs5)-(log52 + log254 + logl258) .I解 原式=10g535 + log550 - Iog514 + 2 log 1 2 235X50 二 1唆一4+ °gi 2 =log553 - 1 = 2.(2)方法一原式- log225 I log25

19、Vlogs4 logs8 '一(1。段5 + 10g24 + iOg28 A,og52 + log525 + Iog5125,+勰+超(%2+勰+耀=(3+1+； 方法二原式=Hg 125 , lg25 , lg5Vlg2 , lg4 1g 8 AI lg2 + lg4 十lg8人lg5十lg25十lgl25j_f31g5 21g5 lg5Vlg2 21g2 31g2-Ug2 十21g 2十31g 2人 1g 5十21g 5十31g 5)=(器*5y综合运用11.已知 log3=2, log/>v= 1 > logm=4(d, bt c, X>0 且,a9 b, c,

20、 xWl),则 log/abc)等于 ()7-4 D 7-2 c 2-7B 4-7 A答案D解析x = a2 = b = c4 ,所以(“机r=x1 ,17所以 abc = X4 .gP ogx(abc)=不12.设 logs3=p, log35=% 则 lg5 等于()A. jr+cf1B.!(3+2q)C.恶D. pq答案c解析,唯3二版二墨二,，lg 3 = 3plg 2.og35 二黯二 g，A 1g 5 = lg 3 = 3pIg 2 = 3pq( - 1g 5) f“5 二3Pq1 + 3Pq13.已知函数外)=1匕 则./Uog23)+.f(logq)=答案1解析logz3 +

21、log' = log23 - logz3 = 0 ,11 3X 1A - x) +/(.¥)=+=+= 1.3-'+1 3 yl 3'+1 3 rl.A10g23) +/(10g4= 1.14.已知函数./U)=alog2x+ 10gM+2,且/(h篙)=4，则/(2020)=.答案0解析 由/(T52O)= "I°g2&5 + M°g3r5 十 2 = 4 ,得-ulog22 020 - /?log32 020 = 2.alog22 020 + hlog32 020 = - 2.M2 020) = aloga2 020 + felog32 020 + 2= - 2 + 2 = 0.y拓广探究15.已知小b, c是不等于1的正数，且=/=，；+!=0,则"机的值为一