概率统计期中考答案版

1、_ 期中考试（一、四）班级 姓名 学号 一、选择题（共6题，每题3分，共计18分）1.事件C发生导致事件A发生，则 BA. A是C的子事件B. C是A的子事件C. A CD. P(C) P(A)2 .设事件A, B两个事件B 。111P(A) ,P(B) ,P(AB) ，则 P(AB) = 2310A.1115B.D.15（逆事件概率，加法公式,p(Ab) 1P(AU B) 1 P(A) P(B) P(AB)3 .设XN（ , 2）,那么当增大时，P X2 CA.增大 B .减少 C .不变 D .增减不定(随机变量的标准正态化,2 (2) 1)4. 已知 A, B 是两个事件，X , Y 是

2、两个随机变量，下列选项正确的是(C )A.如果A,B互不相容，则A与B是对立事件B . 如果 A, B 互不相容，且P A 0, P B 0 ，则 A, B 互相独立C. X与Y互相独立，则X与Y不相关D. X与Y相关，则相关系数15已知DX 2, DY 1,Cov(X ,Y) 1, 则 D(2X Y) ( C )(A) 3 ；(B) 11；(C) 5；(D) 7(考查公式D(2X Y) 4D(X) D(Y) 2cov(2 X,Y)6.若X,Y为两个随机变量，则下列等式中成立的是(A )A. E(X Y) EX EY B. D(X Y) DX DYC. DXY DX DYD.EXY EX EY

3、二、填空题(共6题，每题3分，共计18分)1 .设三次独立试验中，事件 A出现的概率相等，如果已知 A至少出现一次的概率等于19,则事件A在一次试验中出现的概率为 1.273_(考查贝努里概型)2 .设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分钟)具有概率密度1 x _-e 3, x 0;30,其他.某顾客在窗口等待服务，若超过 9分钟，他就离开.(1)该顾客未等到服务而离开窗口的概率P X9=(2)若该顾客一个月内要去银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数,即事件X9在5次中发生的次数，P(Y=0= 3、5(1 e )3.设随机变量XN (1, 22),(1) PX2.2 =_ P

4、 1.6 X 5.8=(3) P X 3.5=(0.6) 0.7257(2.4) 0.9918,(1.3) 0,9032(1.25) 0.8944,(2.25) 0,9878)4. X,Y,Z,W是独立的随机变量，X服从二项分布B(4,-), Y为参数为2的 2指数分布，Z为参数为3的泊松分布，W是服从2,4上的均匀分布，D(Y Z)= 13/4, E(2Z W) =7, EXY (1 X)Z=-2 o5.二维随机变量(X,Y)在1,3 2,4服从二维的均匀分布，则P 1 X 2,3 Y 51/4 06,二维随机变量(X,Y)服从二维的正态分布N(1,2,4,9,0,5)则Y服从的分布是 N(

5、2,9)。三、解答题(64分)1.(10分)(雷达探测器)在钓鱼岛有一台雷达探测设备在工作，若在某区域有一架飞机，雷达以10%勺概率虚假99%勺概率探测到并报警。若该领域没有飞机，雷达会以报警。现在假定一架飞机以 5%勺概率出现在该地区。求(1)飞机没有出现在该地区，雷达虚假报警的概率(2)飞机出现在该地区，雷达没有探测到的概率(3)雷达报警的概率(4)雷达报警的情况下，飞机出现的概率解：令事件A 飞机出现 B 雷达报警,据题意P(B|A) 0.99, P(B|A) 0.1 , P(A) 0.05(1) P(AB) P(A)P(B|A) 0.95 0.10 0.095(2) P(AB) P(A

6、)P(B| A) 0.05 0.01 0.0005(3) P(B) P(B| A)P(A) P(B | A)P(A)0.99 0.05 0.1 0.950.1445(4) P(A|B)P(A)P(B| A)P(B)0.05 0.990.99 0.05 0.95 0.10.34262. （6分）n只球（1： n号）随机地放进n个盒子（1： n号）中去，一个盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对。记 X为总的配对数，求E（X）, D（X）.解：引入随机变量i 1,2,L ,n.1,若第i号球装入第i号盒子中，0,若第i号球未装入第i号盒子中,则总的配对数X可表示成：X X1 X2

7、 L Xn1显然，PXi 1 , PXinn 10 ，i 1,2,L ,n。因此，EXi nn 1i 1,2,L ,n,D(Xi) 胃(4 分)n于是E(X) E(X1 X2 L Xn)E(X。E(X2) L E(Xn) 1D(X) D(X1 X2 L Xn)D(XJ D(X2) L D(Xn)(2分)3. （24分）已知二维随机变量（X, Y）的联合分布律为0123130 g V 0881 a00-8求(1)参数a(2)随机变量X,Y的边缘分布律；X,Y是否独立(3) PX Y 3, PX 3,Y 2 ；(4) E(X), E(Y), E(X 2Y)(5) Cov(X,Y); (6) D(2

8、X Y); (7)相关系数 xy (8) 求 Z X的分布律解：(1)由规范性，a %X13P6288Y0123P13318888由于PX 1,Y 0 PX 1PY 0,所以X,Y不独立1(3) PX Y 3 PX 1,Y 2 PX 3,Y 0 一 2，、，、，、，、6PX3,Y 2PX1,Y 0PX1,Y 1PX1,Y 2- E(X)18 3 8 2，e(y)0 813333E(X 2Y)2 -222331 9(5) E(XY) 11-12-33888 49 9 Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)04 4(6)222 62 2 3 2 3D(X) E(X ) E (X) 1 -

9、3 -(-)- 88 24D(Y) E(Y2)E2(Y) 02112 322 3 321(3)28888243 3 15D(2X Y) 4D(X) D(Y) 4 -4 44 xy 0(8) Z X YZ=X-Y-2-101 2 3P0340 0-8884. (24分)设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x, y)ke2x y, x 0, y 00, others求：(1) 常数k的值；(2)分布函数F(x,y); (3)边缘密度函数px(x)及PY(y), X与Y是否独立；(4)概率PYX ; (5)概率 PX Y若Z 3X ,求Z的概率密度；E(X), D(Y) (8)1; (6)相

10、关系数X,Y ；解：(1)由规范性，ke2xydxdyke2xeydxdy k 1,o o2k 2x y F(x,y) p(u,v)dvdu(i) 当 x 0 或 y 0 , F (x, y) 01)x y(ii )当乂 0, y 0 ； F (x, y) p(u,v)dvdu (e2x 1)(e y 0 0f (x, y)(e2x 1)(ey 1), x 0,y 00,others(3)Px(x) p(x, y)dy当 x 0, px (x)2 X y2 x2e dy 2e当 x 0, Px(X) 0Px(X)2e2X, x 00 x 0同理，PY(y)e y, y 00 y 0由于p(x, y) px(x) pY(y) ,因此X与Y相互独立(4) PY X P( X,Y) G p(x, y)dxdyG:y xydxPX Y 1 p(x, y)dxdyGi2e2x ydxdy G1/3(5)11 y0dy 0 2e x ydx1 2e1(6) Z 3X22z/3ePz(z)30 E(X) xpx(x)dxx2e 2xdx0xe22x ,0 e dx0E(Y)ypY(y)dy0ye ydy ye