概率论与数理统计Ⅰ分类题集

1、概率论与数理统计(I )分类题集一、事件的关系及运算1、写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点。(1) 掷一颗骰子，出现奇数点。(2) 将一枚均匀硬币抛二次，A:第一次出现正面，B:两次出现同一面，C:至少有一次出现正面，(3) 一个口袋中有五只外形完全相同的球，编号分别为 1、2、3、4、5,从中同时取3只球，球的最小号码为1。参考答案：(1) S=1 , 2, 3, 4, 5, 6, A=1, 3, 5;(2) S =。0, C0, (SO, (g®,® 正面，0 反面。A=(gO,的, B=00,(S®, C=C,(30,的;(3) S=123, 1

2、24, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345,A=123, 124, 125, 134, 135, 1452、靶子由10个同心圆组成，半径分别为一、2、10,且1<2父、< r 10,以事件人表示命中半径为k的圆内，叙述下列事件的意义。68AkAk(1)y y(3)A1A2参考答案：(1)命中半径为6的圆内，(2)命中半径为1的圆内，(3)命中点在半径为1的圆外，半径为2的圆内3、将下列事件用 A、R C表示出来(1) A发生，(2) A与B都发生而C不发生,(3) 三个事件都发生，(4) 三个事件中至少有一个发生,(5) 三个事件中恰好有一

3、个发生，(6) 三个事件中至少有两个发生，(7) 三个事件中恰好有两个发生，参考答案：1) A (5)ABCUABCUABJ(2) ABC(6) AbC u ABC u ABC U ABC(3) ABC ABC ABC ABC(4) AU BU C4、把A10A2表示为互不相容事件的和。参考答案：ALA cA=A1C( A2-A1)c( A3-A<A>)cc(A-AA2cA-1)。二、古典概型1、设A、B为两个事件且P(A)=0.6 , P(B)=0.7。问(1)在什么条件下 P(AR取最大值，最大值是多少？ ( 2)在什么条件下 P(A§取最小值，最小值是多少？参考答案

4、：(1)当 KB时，P(AB最大，其最大值为=0.6(2)当P(A-B)=1时，P(AB)最小，其最小值为 0.32、设Ai、A2为两个事件，证明(1) P(AiA2)= 1-P( Ai )-P( A2)+P( A1 A2)(2) 1-P( A )-P( A2 ) < P(AAO < P(AcA2) < P(Ai) +P( A参考答案：(i)P(AA2)=1-P(AiA2)=1-P( AcA2)=1-P(Ai )-P(A2)+P(AiA2)o(2) 显然，P(AA2)=1-P( A )-P(A2)+P( AiA2 ) >1-P(Ai)-P(A2)由于 AAu AicA,

5、所以 P(AicA2)至 P( AiA2),而 P( AcA尸 P( Ai)+P( A2) P( AiA2) < P( Ai) +P(A),从而有 1-P( Ai)-P( A2) < P( AA2) < P( AcA) < P( Ai) +P( A)3、A、B为两个事件且 P(A)=1/2 , P(R=1/2 ,证明 P(AB=P(KB)。参考答案：P(AB= P( A)+P( B) P(KB)=1 P(A-B)= P(A J B) = P( AB)4、A、R C 为三个事件且 P(A)=P( B=P( C=1/4 , P(AB=P( BC=0 , P(AC=1/8，求

6、 A B、C 中至少有一个发生的概率。参考答案：P(A。B-C)既为所求。由于 ABC二AB, 从而P(ABC < P( A§ ,故P(ABC=0。P(ABC) = P( A)+P( B)+P( C)- P( AB- P( BQ- P( AC)+ P( ABC =1/4+1/4+1/4-0-0-1/8+0=5/85、袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、10的球。今从袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求(1)最小号码为 5的概率，(2)最大号码为 5的概率，(3) 一个号码为5,另外两个号码一个大于5, 一个小于5的概率。参考答案：(1) 1/12; (2) 1/20;

7、 (3) 1/66、在1500个产品中有400个次品，1100个正品。任取 200个，求(1)恰好有90个次品 的概率；(2)至少有两个次品的概率。-10200 C1。199200参考答案：(1) 8.23407 X10 ； (2) 1 ( Cii00+ C400c1100)/ Ci500 u 7、从5双不同的鞋中任取 4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。参考答案：13/218、50只挪钉随机地取来用于 10个部件上，其中有 3个挪钉为次品。若每个部件用3只挪钉，问3个次品挪钉恰好用于同一部件的概率是多少？参考答案：1/19609、甲袋中3个球的编号分别为1、2、3,乙袋中3个球的

8、编号分别为 4、5、6。今从甲袋中 任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为偶数号球的概率是多少？参考答案：7/12三、条件概率1、已知 P( A)=0.3 , P(B)=0.4 , P( AB )=0.5 ,求 P(B AUB)。参考答案：1/4 2、已知 P(A)=1/4 , P(B |A)=1/3 , P(A I B)=1/2 ,求 P(ATE)。参考答案：1/33、掷两颗骰子，已知掷两颗骰子点数之和为参考答案：1/37,求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）4、以往的资料表明，某一 3 口之家患某种传染病的概率有以下规律。P（孩子得病）=0.6 ,P（母亲得病孩子得病）=0.5

9、, P（父亲得病母亲及孩子得病）=0.4。求母亲及孩子得病但是父 亲未得病的概率。参考答案：0.185、袋中有10个球，其中9个白球，1个红球。10个人依次从袋中各取一个球。每个人取一 球后不再放回。问第一人、第二人、最后一人取得红球的概率是多少？参考答案：都为1/106、设有甲乙两袋，甲袋中装有 m只白球、n只红球，乙袋中装有 M只白球、N只红球。今从 甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为白球的概率是多少？参考答案:Mn Mm m(M N 1)(m n)7、设一人群中 A、B、AR。型血的人所占比例分别为37.5%、20.9%、7.9%、33.7%。已知能允许输血的血型配对如

10、下表。现在该人群中任选一人为输血者，再任选一人为需要 输血者，问输血成功的概率为多少？输血者 受血者A型B型AB型。型A型VXVVB型XVVVAB型VVVV。型XXXV允许输血X :不允许输血。参考答案：0.6198 8、现有编号1, 2, 3的3个盒子，1号盒子中有3个红球、2个黄球；2号盒有2个红球、3个黄球；3号盒中有1个红球、4个黄球，现掷3个均匀骰子，若出现 k个6点，则自k 号盒中任取2个球（k=0, 1, 2, 3）,求所取的2个球为一红一黄的概率。参考答案：0.2514西、独立性1、一个大学生想借一本专业书，决定到三家图书馆去借。每家图书馆有这本书的概率为 1/2, 若有，该书

11、被借出的概率也为1/2。假设三家图书馆采购、出借图书是相互独立的，问该学生能够借到书的概率是多少？参考答案：37/64p,且各继电器接点2、如图，1、2、3、4、5表示继电器触点。假设每个触点闭合的概率为 闭合与否相互独立，求 L至R是通路的概率。参考答案：2P2+2 p3- 5 P4+2P53、袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币(次品硬币两面均印有国徽)。从袋中任取一枚硬币，将它投掷次，已知每次均出现国徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少？mr参考答案：m n24、将A B C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为a,而输出为其它字母的概率为(1-口)/2 。今将字母 AAAA BBBB

12、 CCCC之一输入信道，输入 AAAA BBBB CCCC 的概率分别为 pi、P2、P3 ( pi+p2+p3=1),已知输出为 ABCA问输入是 AAAA勺概率是多 少？(设信道传输每个字母的工作是相互独立的。)参考答案:2二 pi(3 1一1)p1 1一二5、事件 A B相互独立且 P(A)=p, P(E)=q。求P(AE)、P(Ab)、P(AB)、P(A-E)、P( AnB)、p(AUB)。参考答案：P(AB= pq ; P( AB)= (1- p)q； P( AB )=(1- p)(1 - q)； P(AoB尸 p+q pq；P( A c§=1 -p+ pq ； P( A

13、U B)=1 pq五、一维离散型随机变量及其概率分布1、设随机变量X的分布列为aokPX=k=2k=1,2,的分布列。求(1)参数 a. (2)PX>4 (3)Y=2X+1k , k=2n+1,n=1,2,3 参考答案：(1)1 ; (2)1/16 ; (3) % 2、对目标独立射击 4次，设每次命中率为 0.1,(1)写出X的分布律，(2)求至少3次命中 目标的概率。参考答案：(1)X叱(4,0.1);(2) 0.00413、某信息服务台在一分钟内接到的问讯次数X服从参数为£的泊松分布，已知任一分钟内无问讯的概率为e-6,求在指定的一分钟内至少有2次问讯的概率。参考答案：0.

14、98264、已知随机变量X的分布函数为x ：00 x ；11 -x <22 - x < 3x -3fA_x22F(x) =J _311 B1)问X是离散型随机变量吗？2)求PXS, PX=1 ,PX>0.5, P2 交<4参考答案：1)X 不是离散型的；2)PX <3=1, PX=1=1/3 ,PX>0.5=0.75, P2<X<4=1/35、将一枚硬币连抛 3次，以X表示所得正面次数，（1）求X的分布函数。（2）求PX<2,PX <20x <01,- 0 Mx <1 8_1 ，-F(x) =PX <x=/一 1 &

15、lt;x <2 27- 2 Mx (3 8参考答案：(1)-1x -3 PX<2=0.5,PX <2=7/86、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6 ,现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。参考答案:0.2517、从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是1/3 .设X为途中遇到的红灯次数，（1）求随机变量 X的分布律（2）求概率 p1<X<4,PX>0_ k 1 k 2 6 kPX =k =C6()(力 ,k =1,2,.,6参考答案：(1)33(2) p1<X&l

16、t;4=0.5487,PX>0=0.91228、某陪审团的审判由12名陪审员参加。 罪的票。假设陪审员的判断是相互独立的, 率为80%,求宣判被告有罪的概率。为宣判被告有罪，必须其中至少8名陪审员判他有 且在某一案件中被告被任一陪审员判断有罪的概12C1k20.8k0.212参考答案：k9、某寻呼台每t时段内接到的呼唤次数X服从参数为77的泊松分布，设每天从零点开始接到第一个传呼的时刻为F求T的分布函数。1 - e-X t > 00 t <0参考答案： 10、假设某地在任何长为 t （周）的时间内发生地震的交数 N （t）服从参数为It的泊松分 布。（1）设T表示直到下一次地

17、震发生所需的时间（单位：周） ，求T的概率分布；（2）求 在相邻两周内至少发生 3次地震的概率；（3）求在连续8周无地震的情形下， 在未来8周中 仍无地震的概率。FT（t）=参考答案：（1）1 -e-Z, t > 0( > 0)、0, t -0; (2) 1 -(1+ 2九+2九2)e"九;(3) e上九六、一维连续型随机变量及其概率分布1、已知随机变量 X的概率密度为2 Ax 0<x<1 f(X>"0其他J(1) 求参数 A (2)求 P0.5<X<3. (3) 求 PX<t 寸tW(-8,g)参考答案：(1)A=1； (2

18、)0.75 (3)t w 0 时，PX<t=0,0 vt <1 时，PX<t=t 2,t >1 时，PX<t=12、某电子元件的寿命X (千小时)服从参数为0.1的指数分布，(1)求该电子元件在未来1千小时内损坏的概率。(2)已知该电子元件已使用了2千小时，求在未来1千小时内损坏的概率。参考答案：(1)1-e° ；(2)1 -e°3、在电源电压不超过200v,200入240v,和超过240v三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,和0.2，假设电源电压 X服从正态分布 N(220,25 2),求该电子元件损坏的概 率。参考答案

19、：0.009-I- x 0 .x ：:1f(x) = 2 -x 1 -x ：:24、已知随机变量X的概率密度为I 0 其他1)求 X 的分布函数 F(x), 2)求 PXW(0.5,1.5)0,x <0参考答案：1) F(x)= 1-X2,0 < X <12) 0.752.12.-1 2x - x , x - 15、某种晶体管寿命服从均值为0.001的指数分布(单位是小时).电子仪器装有此种晶体管5个，并且每个晶体管损坏与否相互独立.试求此仪器在1000小时内恰好有3个晶体管损坏的概率.参考答案：2.1458 10”2、6、已知随机变量 X服从正态分布 N(0.8，0.003

20、 )，求(1)pX <0.8036,(2)P|X-0.8|<0.006(3)满足 PX «C «0.95 的 C.参考答案：(1)0.8849; (2)0.9544 (3) C - 0.804957、设随机变量X的密度函数Ax, 0 :二 x < 1 f(x) =B-x, 1 < x<2 0, 其它连续，试求：(1)常数A, B; (2)X的分布函数F (x);P(:二 X - -)(3) '227参考答案：(1) A=1, B=2; (2)0,1 22 x ,122x - x 121,x :二 0x 2;(3)3/47: 00, 7:

21、 15, 7: 30,有汽车8、某公共汽车站从上午 7时起每15分钟发一班车，即在007: 30的均匀分布随机变量，试求乘客发出.如果乘客到达此汽车站的时间X是在7:在车站等候(1) 不到5分钟的概率；(2) 超过10分钟的概率，参考答案：(1)1/3; (2)1/3七、一个随机变量的函数的分布1、设XU(-1,1),求Y=父的分布函数与概率密度。,0 < y <1 2.y0,其它0, y m 0参考答案：Fy (y) = - W,0 < y <1; fy (y)=1, y 之 12、设已知X的概率密度为fX(x),Y=g(X)是X的严格单增函数，求 Y=g(X)的概率

22、密度。 d参考答案：fy尸 f X(g-1(y) dy g-1 (y)X3、设X小(0,1),求Y=e的概率密度。上参考答案：fY (y)= <2e 2 ,y 0 yQy £04、设随机变量X的密度函数Ax,f(x)=B -x, 0,1 ： x < 2其它连续，试求：(1)常数A, B; (2)X的分布函数F (x);(3) Y = 13'X的密度函数;参考答案：(1)A=1, B=2; (2)(3)5、设随机变量F(x)=0,1 2x ,2122xx21,x :二 0-1一53(1 -y)5,_32fY(y)=<32(1y) (1-y),X的密度函数Ax,

23、f(x)=B -x, 0,连续，试求：(1)常数A, B; (2)参考答案：(1) A=1, B=2 ; (2)fz(Z)=(3)0,1 ： x < 2其它X的分布函数1,0Mz<10,其他八、多维随机变量及其概率分布1、已知 F(x,y)=A(B+arctgx2)(B arctg1)求常数A, B, C,2)求 P0<X<2,0<Y<31 二 二1参考答案：1) A = - , ,;2) 一2 2160 三 y 二 11 - 3, 2 < y < 0其他F (x);(3) Z=F (X)的密度函数。0,1 22 X ,12d2x x -121,

24、x : 0x -22、袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令1第一次摸到红球X=0第一次摸到白球1第二次摸到红球Y = J 0第二次摸到白球y'-x1011/103/1003/103/10求(X,Y)的分布律。参考答案：fx,y = 03、设(X,Y)具有概率密度0 ：二1 x | ：二 y ：1其它,1)求常数 c； 2)求 PY>2X；3)求F(0.5,0.5)参考答案：1) c=1 ; 2) PY>2X=3/4; 3)1/44、设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与下一代

25、只数 Y的联合分布律。_ j j i j 5050PX =i,Y =j =Cij0,8j0.2i1e i =0,1,., j =0,1，i参考答案：j!5、(1)在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件"两数之和小于1.2"的概率为多少？(2)设两个数X与Y的联合分布函数为0x < 0或y <0F(x,y) = «xy 0 <x <1 0 < y <11x>1, y >1 ，则事件"两数之和小于1.2"的概率为多少？参考答案：(1)0.7； (2) 0.76、设二维随机变量(X,Y)在矩形域G=(

26、x,y)10Vx<2,0<y<1上服从均匀分布，(1)试求边长为 X和Y的矩形面积S不超过1的概率。(2)试求边长为 X和Y的矩形面积S不小于0.5的 概率。1参考答案：(1) 1(1 +ln 2) ； (2) 0.69327、设某公司有100件产品进行拍卖，每件产品的成交价为服从正态分布N(1000,1002)的随机变量，求这100件产品的总成交价不低于9.9万元的概率。参考答案：84.13% 8、设随机向量(X, Y)的联合概率密度函数为试求：(1)常数 C; (2)联合分布函数 F(x, y); (3)P(0vxv1, 0vYv2) 参考答案：12 ;(2)F(x,y)

27、；(1e-x)(1 -e-x),x> 0,y> 0其它_3_8;(3) (1 - e )(1 -e )9、设(X, Y)服从二维正态分布，其概率密度函数为P(工'用=艰凝一'U扁试求 P (Xv Y).参考答案：1/210、设随机变量(X, Y)的联合密度函数为f (x, y)cxe-y, 0 : x :二 y ：二0,其它(1)求常数C; (2)求(X, Y)的联合分布函数;F(x, y),0,=« 12y2 + y+1 je;参考答案:(1) C=1； (2)11、设随机变量(X, Y)的联合密度函数为f (x, y)= y-ycxe0,0 x 二 y

28、 ;二其它(1)求常数 C; (2)求 P (X+Y<1 )。1参考答案：(1) C=1; (2) 1 -e二-e12、一台机器制造直径为 X的轴，另一台机器制造内径为Y的轴套。设(X,Y)的密度函数f (x,y) =«25000为0.49 : x : 0.51,0.51 ： y : 0.53其它如果轴套的内径比轴的直径大0.004但不大于0.036 ,则两者就能很好地配合成套。现随机地选择轴和轴套，问两者能很好地配合的概率是多少？参考答案：0.9613、一电子部件含两个主要元件，它们的寿命(以小时计)分别为X和Y。设(X, Y)的分布函数为_ g-O-Olr0,工0,)* 0

29、其它(1)求两元件寿命都超过 120小时的概率。(2)求至少有一元件寿命超过120小时的概率。参考答案：(1) e 24；(2)0.488九、边缘分布、相互独立的随机变量1、已知(X,Y)的分布函数为1 e, -xe_y 0 _x _yF(x,y) =1e，ye- 0 <y <x0其它(1)求X与Y的边缘概率密度。(2)问X与Y是否相互独立?fX(x) =F'x(x)=参考答案:_xe0fY (y)= f'y (y)=J ye=0(2)不独立f (x, y)2、已知(X,Y)的概率密度为'e"y00 三 x M y其它(1)求X、Y的边缘分布函数(

30、2)问X与丫独立吗？Fx(x)FY(y)'1 - e- - ye-0y - 0y : 0(2)不独立3、甲乙约定 8:00-9:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最 多等待15分钟，过时不候。求两人能见面的概率。参考答案：0.43754、将一枚硬币连抛三次， 以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面（X , Y）的联合分布律、关于 X和Y的边缘分布次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出 律。参考答案：5、设（X,2Y)在圆域D : x2y £4上服从均匀分布。（1）求p0<x m1,0<y <1（2）求X与Y的边缘概

31、率密度（3）试判断X与Y是否相互独立?1参考答案：（1）MX _4,22 1 dy )42 二 x :二 2(2)4ylfY(y):-2 4二 dx一4寸（3） X与丫不独立.6、设随机变量（X, Y）的联合密度函数为f (x, y)=，-ycxe , 0 ： x 二 y 二0,其它4 - y2（1）求常数C; （2）求关于X和关于Y的边缘密度函数; 参考答案：（1） C=1；fX (x) =«(2)-bojy-y .0 xe dy =0, xxeothers .othersyfY(y) = L0xe 'dx0,1 22ye，0,十、两个随机变量的函数的分布1、机变量X ,Y

32、,Z相互独立且服从同一贝努利分布 B(1, p).试证明随机变量 X+Y与Z 相互独立.十一、数学期望、方差、协方差及相关系数1、已知随机变量 X的分布函数为0x<01 2F(x)=-x20< x<1x2-1 +2x-x >121)求X的概率密度,2) 求PX三(0.5,1.5), 3)求X的数学期望与方差参考答案:x 0 - x ： 1f(x) =F'(x) = <2x 1 Wx<20 其他2) 0.75 ; 3)1 , 1/42、一批产品共10件，其中7件正品，3件次品。每次从这批产品中任取一件。(1)若每次取出的产品不再放回去，求直至取得正品为

33、止所需次数X的概率分布、数学期望及方差。(2)若每次取出的产品仍放回去，求直至取得正品为止所需次数X的概率分布。参考答案：(1)X1234p7/107/307/1201/120E (X)=11/8, D(X)= 77/192(2) PX =k =0.7 0.3k,k -1,2,.3、一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有一个答案是正确的。某(1)学生靠猜测能答对至少 4道题的概率是多少。(2)学生靠猜测能答对题数的数学期望与方差。 参考答案：(1) 1/64;15D(X)：4、袋中有两只红球，三只白球,现不放回摸球二次，令1第一次摸到红球0第一次摸到白球1第二次摸到红球Y =

34、3”,一,0第二次摸到白球Y-X1011/103/1003/103/10(2)-1/4(1)求(X,Y)的分布律。(2)求X与Y的相关系数 参考答案：(1)为：5、(X,Y)的分布函数为1 -e -xe-yF(x,y)=1 -e-y -ye-y00 _x _ y0 _ y _ x其它、一.(1)求X与Y的联合概率密度及边缘概率密度。22f(x,y)-二 F(x,y)"0<x <ytxtyJ其它°° f/ fX(x)=f (x,y)dy =0e-ydy x 之0_1ex >0x0 x<00x<0fyoO/_y一fy(y) = f f (

35、x,y)dx =fe'dx y 之0 =ye y 之000 其它(1)0其它(2)问X与Y是否不相关?相关(2)xy1011/103/1001/103/106、已知(X,Y)的分布律为(2)求X、Y的相关系数，(3)问X与Y是否不相关?xy10Pi.11/103/102/503/103/103/5P.j2/53/503/103/10边缘分布律。(1)(1)参考答案:5E(X)；(2)4（2） -1/4; （3）不相关7、已知随机变量（X,Y）的分布律为XY1200.150.151CtP且知X与Y独立，（1）求a、P的值。（2）令Z = X 2Y ,求X与Z的相关系数参考答案：（1） ”

36、=作0.35; （2） 0.91658、设随机变量 X与Y相互独立，且同服从0, 1上的均匀分布，试求：U与V的相关系数。并判断 X与丫是否不相关。参考答案：PUV =0,不相关9、已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是 7300,均方差是700。利用切贝雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在52009400之间的概率。参考答案：8/910、将一枚硬币抛 1000次，试利用切贝雪夫不等式估计：在 1000次中，出现正面 H的次 数在400至600次之间的概率。参考答案：0.97511、进行独立重复试验，每次成功的概率为p,令X表示直到出现首次成功为止所进行的试验次数，（1）求X的分布律。（2）

37、求X的数学期望参考答案：（1） PX =k=（1 - p）k/,k =1,2,3,（2）1/ p十二中心极限定理1、生产灯泡的合格率为 0.6,求10000个灯泡中合格灯泡数在58006200的概率。参考答案：12、从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试估1f这1000粒种子发芽率不低于 0.88 的概率。参考答案：0.98263、设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立，已知每户日用情况（单位：度）在0, 20上服从均匀分布。现要以 0.99的概率保证该地区居民供应电量的需要， 问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？参考答案：2426度4、已知某种步枪的命中率

38、为0.05,问需要多少枚这样的步枪同时射击，才能以 0.8的概率保证目标至少被击中步弹？参考答案：1455、一个复杂系统由10000个相互独立的部件组成，在系统运行期间，每个部件损坏的概率为0.1,又知为使系统正常运行，至少有89%的部件工作。求系统的可靠度（系统正常运行的概率）.参考答案：0.99956、一个系统由几个相互独立的部件组成，每部件损坏的概率为0.1,而且要求至少有87%的比部件工作，才能使系统正常运行，问至少为多大时，才能保证系统的可靠度系统正常运行的概率达到97.72% ?参考答案：4007、某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年里汽车出事故的概率为0.006,参加保险的汽

39、车每年交800元的保险费。若出事故，保险公司最多赔偿5000元，求保险公司一年赚钱不小于200000元的概率参考答案：0.77818、现有一批种子，其中良种占 1/6,今从其中任意选 6000粒，试问在这些种子中，良种所 占的比例与1/6之差小于1%的概率是多少？参考答案：0.96249、设某种集成电路出厂时一级品率为0.7,装配一台仪器需要100只一级品集成电路，问购置多少只才能以99.9%的概率保证装配该仪器时够用？参考答案：16810、甲、乙两戏院在竞争1000名观众，假定每个观众完全随机地选择一个戏院，且观众之间的选择是彼此独立的，问每个戏院至少应该设多少个座位，才能保证因缺少座位而使

40、观众离去的概率小于 1%?参考答案：51211、抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接收，应该抽多少件产品可使次品率为10%时的一批产品不被接收的概率达到0.9?参考答案：6912、求在10000个随机数字中，数字 7的出现不多于968次的概率。参考答案：0.1423十三、抽样分布1、设总体x服从正态分布N（y 其中"是已知的，而。2未知的，（x1，x2，x3）是从总体中抽取的一个简单随机样本。(1)求(X1,X2,X3)的密度函数;(2)指出 X1+X2+X3 X +2N min(Xi,X2,X3)哪些是统计量，哪些4是统计量，片什么？3 X2i 4X3

41、- Xi2 之中,(Xi,X2,X3)二(1)(.")3e工(Xi -J)2 1 i 2CX3 - X1(2) X1 +X2 +X3 X +2、min(X1，X2，X3) ,2者B是统计量十四、参数的点估计及估计量的评选标准13m2 = X1 X2,2X21、设母体X服从正态分布Nlm)，(X1，X2)是母体 X的子样，试验证2 、，1 、，m1 = X1 X2,33都是m的无偏估计量，并问哪一个估计量的最有效?参考答案：m3最有效 2、设9是参数8的无偏估计，且有D(6)>0 ,试证9 =例2不是10 2的无偏估计。参考答案：E(32 =d(7)E冏2=D0 f2>u2

42、所以 =例2不是e2的无偏估计。n ai =13、(1)设(X1，X2，Xn)为总体X的样本，ai >0 , i =1,2,，n ,且iT ，试证 n.一 ai X i也 是EX的无偏估计。nn"aiXi0ai -1(2)试证在EX所有形如j m,(ai>0, I =12，n, T )的无偏估计中，以X最为有效。4、设母体X服从均匀分布U0，6,它的密度函数为0txf(x;u) = u,0-x. ,0, otherwise.(1)求未知参数 日的矩法估计量；(2)当子样观察值为 0.3 , 0.8 , 0.27 , 0.35 , 0.62 , 0.55时，求日的矩法估计值

43、。参考答案：(1) S = 2X (2) 4 = 2X = 0.96345、设总体X的分布密度为0 :二 x ：二 1otherwiser(a +i)xa中(x,ot)=0其中a A-1是未知参数。(X1,X2，Xn)是总体X的样本，试求参数 口的矩估计。2X -1a =-参考答案：1-X6、设母体x服从r -分布，它的密度函数为r'_ xre-'xf (x)=1(r)0,其中r和九为未知参数，且r a°，九>0O试求r和人的矩估计。?=xr?=五2 ,r ,2参考答案：SS7、设母体X的密度函数为r/ x 取。1,0 < x <1f(x)=0,ot

44、herwise其中e是未知参数，且e >0。试求e的矩法估计量。参考答案：1-X8、设母体X的密度函数为f(x)b,其中8是未知参数，且8 >0。试求8的最大似然估计量。参考答案:nn“ lnXii=1Jln x- )24e 21 e9、设总体X服从对数正态分布，其分布密度为c1(x; J,二)：x2 二其中<+g,>0是未知参数，X =(X1,X2，Xn)是一样本，试求 R和口 的最大似然估计。1 n? = " ln Xi参考答案：np10、设母体X服从指数分布，它的密度函数为f （x 九）=,eex0儿>0 ,试求未参数 九的最大似然估计。?=工参考答案：一 X11、设总体-X服从“0-1”分布：P( =x) = px(1 - p)1：x = 0,1样本观测值为x1,x2，Xn (xi =00口)，求参数p的极大似然估计。1 n? = % Xi = X参考答案：ny12、设母体X服从均匀分布U0，6, 它的密度函数为0Mx :二二；otherwise.1f (x；u) - 0,求未知参数日的极大似然估计