相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)

1、D当点A落在四边形BCNMj或BC边上时_ 1y = SA A M =N2当A落在四边形BCNM外时，如下图(4 <x<8),设AiEF的边EF，, 一 - 3-上的周j为 hi,则 h1 =2h6=x 62?EF / MN .AEFs/XAMNAMN szABC :2XAEFs/XabcS/X AEF Saabc1 _ _ _, SA ABC = - 6 8 = 242Sa a, ef =3.x -626“23 22 4二 一x21.如图，已知一个三角形纸片 ABC, BC边的长为8, BC边上的高为6, /B和/C都为 锐角，M为AB 一动点(点M与点A B不重合)，过点M作M

2、N / BC ,交AC于点N , 在4AMN中，设MN的长为x, MN上的高为h .(1)请你用含X的代数式表示h .(2)将4AMN沿MN折叠，使 AMN落在四边形BCNM 所在平面，设点 A落在平面的点为A, AA1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为 y ,当X为何值时，y最大，最大值为多少？【答案】解：(1) M MN / BCh x , 3x.AMN s/ ABC ,一=二 h = 684(2) '； AMN AMN.AMN 的边 MN 上的高为 h ,133 2MN h= x- x= x (0<x04)2 48113 23 29 2,y = Saamn -Saaef

3、=3x - 3x -12x 24 =9x12x-24828y = -9 x2 12x -24 (4 ； x ： 8)83 2综上所述：当0<xW4时，y= x 取x = 4, y最大=689 216当 4cx<8 时，y = x +l2x24,Wx=, y 最大=883入八一 16 一一*8>6.当x 时，y取大，y最大一8EF3Ai2.如图，抛物线经过 A(4,0) B(1,0), C(0,2)三点.(1)求出抛物线的解析式；(2) P是抛物线上一动点，过 P作PM _LX轴，垂足为 M,是否存在P点，使得以A, P, M为顶点的三角形与 AOAC相似？若存在，请求出符合条

4、件的点 P的坐标；若不存在，请 说明理由；【答案】解：(1) .,该抛物线过点C(0, -2)，二可设该抛物线的解析式为2y = ax + bx-2 .将 A(4,0), B(1,0)代入,1 =_1/口 16a 4b 2 =0“ /口 a 一 一2'1 2 5得i解得2二此抛物线的解析式为 y = x2 +-x-2.a b -2 =0.522b = _ b 2.(2)存在.125如图，设P点的横坐标为 m,则P点的纵坐标为-m +m-2, 22125当 1<m<4 时，AM =4m, PM = m +- m-2 . 22又；'NCOA =NPMA =90 , 当

5、AM = AO = 2 时，zAPM ACO , PM OC 1125即 4m=2. m+ m2 f.解得 m1=2, m2 =4 (舍去)，, P(2,1).I 22)AM OC 11 2 5当 = 时， APM s匕 CAO，即 2(4 m) = m + m -2 .PMOA 222解得=4, m2 =5 (均不合题意，舍去) 二当1<m<4时，P(2,1).类似地可求出当 m>4时，P(5,2).当m父1时，P(3,14) .综上所述，符合条件的点 P为(2,1)或(5,2)或(3,14).28 ，一3.如图，已知直线l1：y= x+ 与直线l2 : y= 2x+16相

6、交于点C, ll2分别交x轴于 33A B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合.(1)求 ABC的面积；(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长；(3)若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为t(0 w t W 12)秒，矩形DEFG与 ABC重叠部分的面积为 S,求S关于t的函数 关系式，并写出相应的t的取值范围.28 -【答案】（1）解：由x十一=0,得x = 4.二A点坐标为,0） 33由 Nx+16 = 0,得 x=8", B点坐标为(8,0) AB =8(4 ) = 12.28y x由

7、y 3x 3'解得y = -2x 16.x =5,y =6.C 点的坐标为 （5,6）c1 1 -八 “Saabc = AB，yC = 12 6 =36.222 c 8 c(2)斛：.点 D 在 1i上且 Xd =Xb =8,yD =父8 + = 8.33D点坐标为（88 ）又点 E 在 12 上且 yE = yD =8,二 2 xE 比 6=8-XE14-E点坐标为（4,8）OE -8-4 =4, EF =8.（3）解法一：当0Wt<3时，如图1,矩形DEFG与 ABC重叠部分为五边形CHFGR ( tR tR G B=0时，为四边RX t C作CM_L AB于M ,则形CHF

8、GRG =2t.BGBMRG，即CMRG* RtAAFH s RtAAMC, c 1-1-1-2cS=Saabc-Sabrg-Saafh =36 M2t-(8-t)<-(8-t ).223c 4 2 16, 44S =t +1+ 333当3 Mt <8时，如图 2,为梯形面积，= G (8-t,0)GR=2._ .-(8-t)38 2t,一 8_ 1八 8 门 23 _s4 (4 -1)8二23338t 80当8 <t <12时，如图3,为三角形面积,2= 1(8-2t)(12-t) = 8t 482334.如图，矩形ABCD中，AD =3厘米,AB = a厘米（a a

9、 3）.动点M , N同时从B点出发，分别沿 Bt A, Bt C运动，速度是1厘米/秒.过 M作直线垂直于 AB ,分别交AN , CD于P, Q .当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.(1)若a =4厘米，t =1秒，则PM =厘米；(2)若a =5厘米，求时间t ,使 PNBsz pad ,并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值PMBN ,梯形 PQDA ,梯形PQCN的面积都相等？若存在，求(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形3【答案】解： (1) PM4(2) t = 2 ,使

10、PNB s' pad ,相似比为 3: 2(3) P PM ± AB, CB ± AB, NAMP =/ABC , AMP ABC ,PM AMBN ABPMta -itt(a -it)，PM =-aa.QM =3 _t(a -1) a当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即(QP AD)DQ(MP BN)BMt(a -t) 3 (a -1)-(a-t) t ta 工2 6a化简得t =6 a6a7t< 3, A-6a-<3,则 aw6 a6,，3<aw 6,(4) *；3 <a< 6 时梯形 PMBN与梯形PQDA的面积相等二梯形P

11、QCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则 CN = PM二上(a1)=3t,把 t=&-代入，解之得 a=±2j3,所以 a = 2s/3. a6 a所以，存在a,当a =2J3时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等.5 .如图，已知 ABC是边长为6cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出发，分 另沿AB、BC匀速运动，其中点 P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为 t (s),解答下列问题：(1)当t=2时，判断 BPQ的形状，并说明理由；(2)设 BPQ的面积为S (c

12、m2)，求S与t的函数关系式；(3)作QR/BA交AC于点R,连结 PR,当t为何值时， APRA PRQ?【答案】 解：(1) BPQ是等边三角形，当t=2时,AP=2 X 1=2,BQ=2X 2=4，所以BP=AB-AP=6-2=4，所以BQ=BP又因为/ B=6C0,所以 BPQ等边三角形.(2)过 Q作 QEL AB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2t sin60 0= 31,由 AP=t,得 PB=6-t,所以 $ BPQ=1 XBPX QE=1 (6-t) X <'3t= - t2+3t ;222A(3)因为 QR/ BA,所以/ QRCW A=60°

13、;, / RQCW B=60°,又因为/ C=6C0,所以 QRB等边三角形，所以 QR=RC=QC=6-2t因为 BE=BQ cos600= 1 X 2t=t,2所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EP/ QR,EP=QR以四边形 EPRQ平行四边形,所以 PR=EQ=3t,又因为/ PEQ=90, 所以/ APR=Z PRQ=90.因为 APK PRQ,所以/ QPR=/ A=600,所以 tan60 0=QR ,即 61 = J3 ,所以 t= 6,所以当 t=。时， PR 、3t55APR- PRQ6 .在直角梯形 OABC 中，CB/OA, /COA

14、= 90o, CB= 3, OA=6, BA=375.分别以 OA、 OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.(1)求点B的坐标；(2)已知D、E分别为线段 OC、OB上的点，OD=5, OE = 2EB,直线DE交x轴于点F.求 直线DE的解析式；(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N.使以0、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.M； (i)作MU*"于点儿 则四边膨为矩形. /. t)n *cn y. t全)/,= 5 - OHM 7在中.v R41 -AH1二 点用的坐尿为 (

15、九6).*(2)作以轴干点0.财八 区挑富5AoM (4分)."E2d2OGECOH3 1336 *，W二点/:的%怖力忆4 3 .(5分) 乂： 点办的坐标为(0. 5).设在缱的解析式为¥力工人=w -3： -6. 2 分)* y*x(第26题图1)胡能超图1)仃线。E的钝析式为： -1- -= =' !' w事T| 事 不(3)答：存在(«分)I加超1 .当 M-" V = VA 0 7 时,四边口用“八 为受脂一fl J"U，轴F点则VP看 , 轴,二 a川66四仇WP PD Ui)I'/Jr.n/i = *v)

16、 乂当 > 时.-.1+5=0,解得 x = 10. F" f/f/ F1/£A卜点的览麻为“0.曾, A OF < 10.在RSJ"”中.M = .,而F严.序71。2 =3&工# =5 .10 5 5力-i. MP -2杼，P/> = 5 A 点M的壁标为(-2氏5*吁),明就把X21点A的坐标为 -2/5. , 5）2如用2,当" = /八=1= WJ - 5时.因边 八1,为蔓合.延K、”交#轴于点孔 则1加L工轴.丁点 V 也 |*!线）-V1 * 5 上.3 设W点:坐标为明白7, 住RlAO中.门尸尸二。"

17、;二二 个*（_J"+5）-5'.解得 明=，"-0 （舍去）.:、点M的性林为（4.箝，二 点'的里标为14. K）. ，02分）：,T-! V uMlJ 管"='* *喝 ，F（H分）3 如图 3.当"W-，"，= 、=' 时.四 边形”，八为芟胫.迷接VW,交所点匕二“吁；，点、的坐休为（-5. ；）.W W ljon互相垂在甲分，然卜所述.“轴上方的点I E三个.分别为VJ -2 3. 7?）, v（4. 8）.A.7.在图15-1至图15-3中，直线 MN与线段 AB相交于点 O, / 1 = /2 =

18、 45(1)如图15-1 ,若AO = OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系;(2)将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图 求证：AC = BD, AC ± BD;(3)将图15-2中的OB拉长为 AO的k倍得到图15-3,求里的值.AC15-2,其中 AO = OB .【答案】 解：(1) AO = BD, AOBD;(2)证明：如图4,过点B作BE/ CA交DON于E,又AO = OB, / AOC = /BOE, .AOC 9 ABOE.2OoMDOCAN F 图42EABAC = BE.又/ 1 = 45；，/ACO = Z BEO = 135 °.，/D

19、EB = 45 °.1. Z 2 = 45 °, BE = BD, / EBD = 90°. . . AC = BD. 延长 AC 交 DB 的延Nd/图7-1DB图7-2OBAC图7-3F,如图 4. . BE/AC, . AFD = 90 °, ，AC，BD.BE BO(3)如图 5,过点 B 作 BE / CA 交 DO 于 E,/ BEO = / ACO.又./ BOE = Z AOC ,.BOE s AAOC. .AC AO又 OB = kAO,由(2)的方法易得 BE = BD .史 =k . AC10.如图，已知过 A (2, 4)分另1J

20、作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 M N,若点P从O点出发，沿OM乍匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。(1)经过多少时间，线段 PQ的长度为2?(2)写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和 t的取值范围；(3)在P、Q运动过程中，是否可能出现 PQ! MN若有可能，求出此时间 t ;若不可能，请说 明理由；(4)是否存在时间t ,使P、。M构成的三角形与 MON®似？若存在，求出此时间 t;若不可 能，请说明理由；考点五：相似三角形中的动点问题1 .在矩形 ABCD中，AB=12cm , AD=6cm，点P沿AB边从点 A开始向

21、点 B以2cm/秒的 速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果 P、Q同时出发， 用t （秒）表示运动时间（0*6）,那么当t为何值时，4APQ与4ABD相似？说明理由.2 . （2011?乌鲁木齐）如图，在 4ABC中，/ B=90°, AB=6米，BC=8米，动点 P以2米/ 秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动.同时，动点 Q以1米/秒的速度从C点出发，沿t秒.CB向点B移动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为 （1）当t=2.5秒时，求4CPQ的面积；求4CPQ的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在 巳Q移动的过程中，当 4CPQ为等腰三角形时，写出 t的值；3.（金华）如图所示，在 4ABC中，BA=BC=20cm , AC=30cm，点P从A点出发，沿 着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向 A点运动，设运动时间为 x.（1）当x为何值时，PQ/ BC;（2）当沁求学”的值；（3） AAPQ能否与4CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.4.如图