广东省珠海市2020届高三上学期期末考试数学(文)(含参考答案)

1、珠海市2019? 2020学年度第二学期普通高中学生学业质量监测高三文科数学时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合 A=x|x2<4, B=-1,0,1,2,3, 则 A BA.0,1,2B.0,1C.-1,0,1 D.-2,-1,0,1,22.已知i是虚数单位，复数八、.5°3.2A. B. z 满足 1-2i1 i ,则 | z |zC.号 D. .3 3.己知命题p :任意x 4 ,都有log2 x 2 ；命题q :a>b,则有以a2>b2,则下列命题为

2、真命题的是A. p qB. P ( q) C. ( P) ( q) D. ( p) q4.某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生.为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取A. 10名学生B. 11名学生C. 12名学生D.无法确定5 .已知的内角 A, B, C的对边分别为a, b, c, asin A bsin B，则 ABC 一定为A.等腰三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形6 .中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还

3、.”其大意为有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后 到达目的地.”问此人第5天和第6天共走了A. 24 里 B. 6 里 C. 18 里 D. 12 里6,则a在b上的投影为7 .已知 a,b满足 |1| 2V3,|b| 3,a,bA. -2 B. -1 C. -3 D. 2, 11 ,28.双曲线C:勺 aA. 2-B.3.3C.2 D. . 29.函数f (x)2x1 X1在区间卜4,4附近的图象大致形状是10.已知 a log30.3,b0.30.2,c0.20.3,则2卷 1(a> b> 0)的两条渐近线与圆(x 2

4、)2 y2 1相切，则C的离心率为ln x,x > 112.已知函数f(x) 1-x 1,x2A. e,3B. 43C. 4 21n 2,e2 1 D. 2二、填空题(每题 4分，满分2sin(2x )在区间0,15.函数 f (x)A.a<b <c B.a<c<b C.c <a<b D.b <c<a11.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加每次加200元的燃油，则下列说法正确的是A.采用第一种方案划算 B.采用第二

5、种方案划算C.两种方案一样D.无法确定，若f (m) f (n),则| n m|的取值范围是121n 2,32ln2,3)分，将答案填在答题纸上)13 .函数f(x) ln x x2的图象在点(1, f(1)处切线方程为 .02n14 .右 sin(15 )一,则 cos( 105 ).3一的最小值为.16 .在半彳仝为2的球内有一个内三棱锥P-ABC,点 巳A,B,C都在球面上，且ABC是边长为3的等边三角形，那么三棱锥 P-ABC体积的最大值为三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17? 21题为必考题，每个试 题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(

6、一)必考题17 .(本小题满分12分)已知正项等差数列 an满足a2 a5 9,a3 a4 20 ,等比数列 bn 的前n项和Sn满足Sn 2n C,其中C是常数.(1)求C以及数列 an、 bn的通项公式；(2)设cnanbn ,求数列 cn的前n项和Tn ；18 .(本小题满分12分)为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示爨意甑式或公尸机小愿窗鼾笑盘就祖总井40岁以下60040岁以上!E000总计1200L_ _一二-1(1)根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时

7、间;(2)请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关参考公式：K2n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)参考数据:nK*潮G040011,0500.0 L02.7063 SM16 63510.SCX19 .(本小题满分12分)如图，四棱锥 S ABCM底面ABCM直角才形，AB/ CD AB± BC,AB=2BC=2CD=2, SAD为正三角形，点 M为线段AB的中点.(1)证明：SML AD.(2)当时，求点B到平面SAD的距离.20 .(本小题满分12分)1.中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的

8、椭圆C过A(0,-1)、BH'3,5)两点，(1)求椭圆C的方程；1(2)设直线l :y -x m,(m 0)与椭圆C交于P, O两点，求当所取何值时，OPQ的面积最大21 .(本小题满分12分)已知函数f(x) ax sinx,x 0,其中a为常数. 若函数f(x)在0,万上是单调函数，求 a的取值范围；, 一，一1 3(2)当 a 1 时，证明：f(x) -x3.6(二)选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22 .(本小题满分10分)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的非负半轴重合，直线l的极坐标方程1x 2 2cos为： si

9、n(一) 一,曲线C的参数方程为：(为参数).62y 2sin(1)写出直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值23.(本小题满分10分)已知 f(x) |x 1| |x 3|.解关于x的不等式f (x) 4;(2)若f (x)m>2 m恒成立，求实数 m的取值范围珠海市20192020学年度第一学期普通高中学业质量监测高三文科数学试题和答案时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共 目要求的一项.)12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题1.已知集合A2 xx4 , B 1,0,1,2,3 则 AI BA. 0,1,2B. 0

10、,1C.1,0,1D.2, 1,0,1,2A .2C,遮2-3 2B .22 x 2 , B 1,0,1,2,3 .则 AI B 1,0,11 2i2 .已知i是虚数单位，复数 z满足 1 i ,则|z zD.b2.则下列命题为真命3 .已知命题p :任意x 4 ,都有log2 x 2 ；命题q ： a b ,则有a2题的是A. p qB. p ( q)c. ( p) ( q)D. ( p) q【答案】B.解析：p为真命题；命题q是假命题，比如当0 a b或者取a=1, b 2时，则a2 b2不成立4 .某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生.为了了解学生的身体素质，现用分层抽

11、 样的方法从中抽取 16人进行检查，则应从男生中抽取A. 10名学生B. 11名学生C. 12名学生D.无法确定【答案】A.解析：型500得n男10.168005 .已知 ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, a sin A bsin B ,则 ABC一定为A.等腰三角形B.钝角三角形C.锐角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A.解析：由asin A bsin B结合正弦定理得，a2 b2,从而a b .6 .中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为： 有一个人走了 3

12、78里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地.”问此人第5天和第6天共走了A . 24 里B. 6 里C. 18 里D. 12 里 一厂. 一 r r _,，一,、，7 .已知a, b满足a 2M3 , b 3, a b 6,则a在b上的投影为B.1C.3D. 2解析：a在b上的投影为a cosa_b6"br3228.双曲线C： x2 七1(a 0,b 0)的两条渐近线与圆(x 2)2y21相切，则C的离心率为a bx：f(x) 211过点10 ,可排除选项A, D.又f 20,排除Cx20 20 310.已知 a log3 0.3,b

13、 0.3. ,c 0.2 . ,则11 .港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油,则下列说法正确的是A.采用第一种方案划算B.采用第二种方案划算C.两种方案一样D.无法确定【答案】B.解析：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为 n元/升.格.士生 人30m 30n m n:一第一种万案的均价： ，mn；602第二种方案的均价：4002mnmn.200200m nmn所以无论油价如何变化，第二种都更划算.本题可以从以下角度思考：第一种方

14、案是无论价格多少都加固定升数；而第二种相当于价格便宜 时多加油，价格高时少加油 .lnx,x 112 .已知函数f(x) 1，若f(m) f(n),则n m的取值范围是-x 1,x 1 23A. e,3B. 4 2ln 2,3C. 4 2ln 2,e"-1D. 2 2ln 2,3【答案】C.解析：法一：不妨设f(m) f(n) t,由题意可知，函数 yf(x)的图象与直线y t有两个交点,.一 31其中 0 t ,，由 f (m) t ,即 3 m 1 t ,解得 m 2t 2,由 f (n) t ,即 In n t ,解得 n et,J-HM1IwB > p>一t _3

15、t记 g(t) n m e 2t 2 其中 0 t g (t) e 2,，.2i i -当0 t ln2时，g (t) 0,函数g(t)单调递减；一一 3一当ln2 t 5时，g (t) 0,函数g(t)单调递增所 以函数 g(t)的最 小值为：g(ln 2) eln2 21n 2 2 4 21n 2 ；而 g(0) e0 2 3 ,33-g(.e21 3, . 4 2ln 2 g(t) e21 ,即 4 21n 2 1nmie21法二：数形结合，如图可将直线平移与曲线相切，利用导数求得切线， 可得|n m|最小值，而|n m一 一一 .、3取大值为y 0 （取得到）或y （取不到）时 2二、

16、填空题（每题 4分，满分20分，将答案填在答题纸上）2一 13 .函数f（x） lnx x的图象在点1,f（1）处切线方程为 【答案】y 3x 2一一一.1一一八一 一一解析：f (x) 一 2x,则f (1) 3,又f(1) 1,则切线方程为y 3x 2 x 214 .若 sin( 15) § ,则 cos( 105)-2【答案】.3:cos( 105 ) cos( 15 90) sin( 15)-315 .函数f(x) sin(2x -)在区间0,的最小值为34一51x 0,则 2x , sin (2x)-,1 ,可知 f (x)的取小值433 632a-、-5 冗1为f(x)s

17、in6216 .在半径为2的球内有一个内三棱锥 P ABC ,点P, A,B,C都在球面上，且 ABC是边长为3的等边三角形，那么三棱锥 P ABC体积的最大值为解析：如图：CD 2 3 3332在 OCD 中，OD Sc2 cd2 1.D三棱锥P ABC体积的最大时，最长的高为 OD OP 311 o o 3 o 973Vp abc -33 - 33 224三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题17? 21题为必考题，每个试题考生都17.(本小题满分12分)已知正项等差数列an满足a2a5 9 , a3ga420

18、 ,等比数列bn的前n项和S满足Sn2nc ,其中c是常数.（1）求c以及数列an、bn的通项公式;设品anbn,求数列g的前n项和Tn .解：（1） Q数列an为正项等差数列，公差d 0,Q a? a5%a49 ,又 a3ga420,a34, a45 ,可得 d 1 ,即可得 an n 1 ;当 n 1 时，h 2 c ,当n2时，S 12nle 即可得bn 2n 1, n-2,又Qbn为等比数歹U,b12012c ,即可得 c 1 ,bn2n 1 , n N *由题意得cn(n 1)2n 101Tn2g23g22Tn 2g21ng2n1 (n 1)g2n，可得：Tn2 21 222n1 (

19、n1)g2n2 2(1 2 ) (n1)g2nng2n.1 2nTn ng2 .18.（本小题满分12分）为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示:并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示:愿意购买该款手机小愿意购买该款手机总计40岁以下60040岁以上8001000总计1200(1)根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；(2)请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99. 9%的把握认为 愿意购买该款手机”与市民的年龄”有关.2参考公式： K2 n(ac), 其中 n a b cd.(a b)

20、(c d)(a c)(b d)参考数据:_2P(K k。)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828 (1) 4 0.05 2 4 0.09 6 4 0.07 10 4 0.03 14 4 0.01 18= 7.76该款手机的平均使用时间为7.76年.愿意购买该款手机/、愿意购买该款手机总计40岁以下400600100040岁以上8002001000总计120080020002K2333.3 10.8282000 400_200_600_8001200 800 1000 1000可知有99. 9%的把握认为 愿意购买该款手机”与市民的年龄”有关.19

21、 .(本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD的底面 ABCD 为直角梯形，AB/CD , AB BC ,'11'AB 2BC 2CD 2, SAD为正三角形，点 M为线段AB的中点.(1)证明 SM AD ;(2)当SM 1时，求点B到平面SAD的距离.解：（1）取AD的中点P ,连接SP、MP , 由题意可知：AM DM 1MP AD.Q SAD为正三角形SP AD .又 Q SPI MP P, SP, MP 面 SMP,AD 面SMP.Q SM 面SMP, SM AD .（2）由题意可知DM AB,且AM DM 1,AD 应，且 AM 1 ,又Q SM AM 1 ,SM

22、 AM .由（1）知 SM AD ,且 AD I AM = A, AD, AM 面 ABCD ,SM 面 ABCD , 11三棱锥S- ABD的体积为VS_abd 1 SabdSM设点B到平面SAD的距离为h ,1 .- 1，；3 1SSADhh .33 232,320 .(本小题满分12分)1中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆c过a(o, 1)、b(J3,)两点,(1)求椭圆C的方程;1(2)设直线l:y 2 x m,(m 0)与椭圆C交于P, Q两点，求当m取何值时，OPQ的面积最大 (1)由题意可设椭圆C的方程为22_ 1，4 1,代入A 0, 1、B J3.两点得m2n2202m22

23、1-2n2122n2解得n2 1，m2 4得椭圆c：.y214一 一一 1 .一x2. 一 .12(2)将直线 l ： y -x m,(m 0)代入一y1 得：x 4xm 4242整理得：x2 2mx 2m2 2 02m 24 2 m2 28 4 m20得也m 班 _2_由韦达te理得x1x22m, x1 x22m2Xix2VX x1 x2 2 4x1x2 .4m2 4 2m2 2 .8 4m2S OPQ 2 m x1x2m <2 m242m 2m由二次函数可知当 m2 1即m 1时， OPQ的面积的最大21 .(本小题满分12分)已知函数f (x) ax sinx, x 0,其中a为常

24、数. 2(1)若函数f (x)在0,金上是单调函数，求a的取值范围;1 3当a 1时，证明：f(x) -x .6解：(1)求导得 f (x) a cosx , x 0,-, 2. # 当f(x)在0, 一上为单调递减函数时，即 f (x) a cosx, 0恒成立, 2又 Qcosx 0, 1, a, (cosx)min0 .当f (x)在0,上为单调递增函数时，即 f (x) a cosx0恒成立, 2又Q cosx 0 , 1,a(cosx)max1 ;综上所述：f (x)在0,-上为单调递减函数时，a, 0 ;f (x)在0,上为单调递增函数时，a T .2(2)证明：要证f(x), x3 ,只需证ax sin xqx3, 0恒成立, 66人 一.1 3一 ， 一 一1 2 g(x) ax sinx x , x 0, 则 g (x) a cosx -x , 622