51　平面向量的概念与线性运算

1、总课题高三一轮复习-第五章 平面向量总课时第 课时课 题5.1平面向量的概念及线性运算课型复习课 教 学 目 标1.理解平面向量的概念。.2.掌握向量的线性运算教 学重 点向量的线性运算 教 学 难 点同上 学 法 指 导讲练结合 教 学 准 备导学案 导学 步步高一轮复习资料 自主学习 高 考 要 求 平面向量的概念 B向量的线性运算B教 学 过 程第1课时：一、基础知识梳理名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量±平行向量方向相同或相反

2、的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律向量的加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc).向量的减法求两个向量差的运算三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当>0时，a的方向与a的方向相同；当<0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.向量共线定理如果有一个实数，

3、使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.4重要结论： 0P为ABC的_二、基础练习训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.()(3)已知两向量a，b，若|a|1，|b|1，则|ab|2.()(4)ABC中，D是BC中点，则().()(5)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立.()2.(2012·四川改编)设a

4、、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是_.(填序号)ababa2b ab且|a|b|3.在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b， 则_.(用a、b表示) 4设a、b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为_. 5在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则用a，b表示为_6已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m_.三、典型例题分析题型一平面向量的概念辨析例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且a

5、b.其中正确命题的序号是_.变式训练：下列命题 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.a0(为实数)，则必为零. ，为实数，若ab，则a与b共线.其中错误命题的个数为_.题型二平面向量的线性运算例2如图，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，.变式：四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则_.(用a，b表示)第2课时：题型三共线向量定理及应用例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线. 变式1

6、：设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，tR，t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在一条直线上？变式2：如图所示，平行四边形ABCD中，b，a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线变式3：设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值典例赏析(14分)如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.思维启迪：(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三

7、角形中去.(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出manb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解.规范解答解设manb，则manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三点共线，与共线.存在实数t，使得t，即(m1)anbt.(m1)anbtatb. 5分，消去t得，m12n，即m2n1.7分又manbaanb，baab.又C、M、B三点共线，与共线. 10分存在实数t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.14分温馨提醒：(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解

8、.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.一轮复习作业纸16 5.1平面向量的概念及线性运算一、填空题1.下列命题中正确的序号为_.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；有相同起点的两个非零向量不平行.2.已知a2b，5a6b，7a2b，则A、B

9、、C、D四点中一定共线的三点是_.3.已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m_.4.ABC中，AB2，BC3，ABC60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则_.5设向量e1，e2不共线，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，给出下列结论：A，B，C共线；A，B，D共线；B，C，D共线；A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为_.6在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_.(用a，b表示)7在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.8如图所示，在ABC中，D、F分别是BC、AC的中点， a，b.(1)用a、b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线.

10、一轮复习作业纸17 5.1平面向量的概念及线性运算1.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_.2.已知向量a，b是两个非零向量，则在下列三个条件中，能使a、b共线的条件是_.2a3b4e，且a2b3e；存在相异实数、，使·a·b0；x·ay·b0(实数x，y满足xy0).3.设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为_.4.已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR).(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.5.如图所示：C中，点O是

11、BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_.6.如图，在ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设a，b，试用a，b表示.补充1已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点求证：()2如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M、N分别是DC、AB的中点，已知a，b，c，试用a、b、c表示，.3如图所示，平行四边形ABCD中，b，a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线4设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、C、D三点共线；(

12、2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值补充1已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点求证：()证明方法一如图所示，在四边形CDEF中，0.在四边形ABFE中，0.得()()()()0.E、F分别是AD、BC的中点，0，0.2，即()方法二取以A为起点的向量，应用三角形法则求证E为AD的中点，.F是BC的中点，()又，()()()()即()2如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M、N分别是DC、AB的中点，已知a，b，c，试用a、b、c表示，.解abc，c，b，a，abc，2a2bc.3如图所示，平行四边形ABCD中，b，a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线证明在ABD中，因为a，b，所以ba.N点是BD的三等分点，(ba)b，(ba)bab.M为AB中点，a，()ab.由可得：.由共线向量定理知：，又与有公共点C，M、N、C三点共线4设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、