第1章线性系统的状态空间描述

1、讲授教师：贾讲授教师：贾 立立 教授教授线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解 （系统的运动分析）（系统的运动分析） 2x1xt0)(),(0201txtx)(),(1211txtx状态轨 迹)()()(21txtxtxAB状态轨线状态轨线( )( )( )x tAx tBu t状态方程状态方程( )( )x tAx t( )( )( )x tAx tBu t1)1)齐次状态方程的解齐次状态方程的解 幂级数法幂级数法 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法 Axx 设设 的解是的解是 的向量幂级数的向量幂级数式子中，式子中， 都是都是 维向量，则维向量，则幂级数法幂级数法t kktbt

2、btbbtx2210nkbbx,0 1212kktkbtbbtx01( )kkx tAxA bbtb tAxx 102200121!kkbAbbA bbA bk 2012220000112!kkkkx tbbt btbtbAbtAbtAbtk分析：分析：x(t)与时间相关，因此设其为时间的向量幂级数与时间相关，因此设其为时间的向量幂级数且且 ，故，故 00bx 2200002 212112!10!kkk kx tbAb tA b tA b tkIAtA tA txk 2 21201( )0!100!k kk kAtkx tIAtA tA txkA t xe xkkkkkkAtAkttAktAA

3、tIe022!121定义定义那么那么Ate teAt状态转移矩阵状态转移矩阵，记为：，记为：例：已知求例：已知求解：解：0110AAte3322! 31! 21tAtAAtIeAt2200! 21001001tttt00! 3133tt! 4! 21! 5! 3! 5! 3! 42142535342ttttttttttttttcossinsincos 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法 ( )( )0 x tAx tsX sAX sx 0sIA X sx 10X ssIAx 110 x tLsIAx进行反拉氏变换，则有进行反拉氏变换，则有比较幂级数法和拉普拉斯变换法的结果：比较幂级数法和拉普拉斯变换

4、法的结果： ( )0Atx te x 110 x tLsIAx11AsILeAt时间域和频时间域和频域间的关系域间的关系例：已知例：已知 求求解：解： t11220123xxxx321321000ssssAsIssssAsIAsIadjAsI21321112111121222121212ssssssss tttttttteeeeeeeeAsILt22221122222) 状态转移矩阵的特性状态转移矩阵的特性 ( )0Atx te x2x1xt0)(),(0201txtx)(),(1211txtx状态轨 迹)()()(21txtxtxAB状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质 1 I0 2 Att

5、AtkkkkkAtAkttAktAAtIe022!121 3 122121tttttt 4 tt1 tt1说明说明：状态转移具有可逆性状态转移具有可逆性 5 00txtttx 6 011202tttttt说明说明：可以把一个转移过程分为若干个小的转移过程来研究：可以把一个转移过程分为若干个小的转移过程来研究 11AsILt3) 非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解 积分法积分法 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法BuAxx积分法积分法设设 有有BuAxxBueAxxeAtAtAtAtAtAtdexAex exex AxdtAtAtdexeBudt dBuextxetAAt00 dBuexetxttA

6、At00 dButxtt00同理，选同理，选 为初始时刻为初始时刻 0t dButtxtttxtt000 0( )0tx tt xtBud()() ( )( ) ()000ttx tttx tBu tdff ttt=-+-拉氏变换拉氏变换 拉氏变换拉氏变换 0sX sxAX sBU s 110X ssIAxsIABU s 11110 x tLsIAxLsIABU s sF1 sF2BuAxx利用拉氏变换差积定理利用拉氏变换差积定理 112120tLF sFsftfd dBuexetxttAAt00 dButxtt00例：系统的状态方程为例：系统的状态方程为初始状态初始状态 时，输入为单位阶时，输入为单位阶跃响应，求跃响应，求uxx4102