6函数的应用问题

1、江苏省2014届一轮复习数学试题选编6：函数的应用问题一、解答题 某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃,厚度为8 mm;图2是双层中空玻璃,厚度均为4 mm,中间留有厚度为的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为的均匀介质,两侧的温度差为,单位时间内,在单位面积上通过的热量,其中为热传导系数.假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系数为,空气的热传导系数为.)(1)设室内,室外温度均分别为,内层玻璃外侧温度为,外层玻璃内侧温度为,且.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结果用,及表示);(2)为使双层中空玻

2、璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计的大小?图1图2墙墙8T1T2室内室外墙墙x4T1T2室内室外4（第17题） 【答案】解:(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为, 则, (2)由(1)知, 当4%时,解得(mm). 答:当mm时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4% 如图所示,有两条道路与,现要铺设三条下水管道,(其中,分别在,上),若下水管道的总长度为,设,.(1)求关于的函数表达式,并指出的取值范围;(2)已知点处有一个污水总管的接口,点到的距离为,到点的距离为,问下水管道能否经过污水总管的接口点?若能,求出的值,若不能

3、,请说明理由.【答案】 在一个矩形体育馆的一角MAN内(如图所示),用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域,已知B是墙角线AM上的一点,C是墙角线AN上的一点.(1)若BC=a=10,求储存区域三角形ABC面积的最大值;(2)若AB=AC=10,在折线MBCN内选一点D,使DB+DC=a=20,求储存区域四边形DBAC面积的最大值.ABCMND(第17题图)【答案】(1)因为三角形的面积为倍AB·AC,所以当AB=AC时其值才最大,可求得为25 (2)求四边形DBAC面积可分为ABC跟BCD两个三角形来计算,而ABC为定值可先不考虑,进而只考虑三角形BCD的面积变化,以BC为底边,故

4、当D点BC 的距离最长时面积取得最大值.因为DB+DC=a=20总成立,所以点D的轨迹是一个椭圆,B.C是其两交点,结合椭圆的知识可以知道只有当D点在BC的中垂线上时点D到BC的距离才能取得最大值,再结合题意四边形DBAC刚好是一个边长为10的正方形,其面积为100 某人年底花万元买了一套住房,其中首付万元,万元采用商业贷款.贷款的月利率为,按复利计算,每月等额还贷一次,年还清,并从贷款后的次月开始还贷.这个人每月应还贷多少元?为了抑制高房价,国家出台“国五条”,要求卖房时按照差额的20%缴税.如果这个人现在将住房万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元? (参考数据:)【答

5、案】设每月应还贷元,共付款次,则有 , 所以(元) 答:每月应还贷元 卖房人共付给银行元, 利息(元), 缴纳差额税(元), (元). 答:卖房人将获利约元 要制作一个如图的框架(单位:米),要求所围成的总面积为19.5(米2),其中ABCD是一个矩形,EFCD是一个等腰梯形,梯形高h=AB, tan FED=,设AB=x米,BC=y米.()求y关于x的表达式;()如何设计x,y的长度,才能使所用材料最少?【答案】 已知一块半径为的残缺的半圆形材料,O为半圆的圆心,残缺部分位于过点的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如图甲,以为斜边;如图乙,直角顶点在线段上,且

6、另一个顶点在上.要使截出的直角三角形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截得直角三角形面积的最大值.ABOCD（第17题甲图）ABOCD（第17题乙图）E【答案】如图甲,设, 则, 所以 , 当且仅当时取等号, 此时点到的距离为,可以保证点在半圆形材料内部,因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为 ABOCD（第17题甲图）ABOCD（第17题乙图）E 如图乙,设,则, 所以, 设,则, 当时,所以时,即点与点重合时, 的面积最大值为 因为, 所以选择图乙的方案,截得的直角三角形面积最大,最大值为 如图,在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在上设立了A、B两

7、个报名点,满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米.公司拟按以下思路运作:先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A、B两点),然后乘同一艘游轮前往C岛.据统计,每批游客A处需发车2辆,B处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元.设,每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元.写出S关于的函数表达式,并指出的取值范围;问中转点D距离A处多远时,S最小?【答案】解: (1)由题在中,. 由正弦定理知,得 (2),令,得 当时,;当时,当时取得最小值 此时, 中转站距处千米时,运输成本最小 如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边AD为半圆的直径,O为

8、半圆的圆心,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形,其底边.(1)设备,求三角形铁皮的面积;(2)求剪下的铁皮三角形面积的最大值.【答案】(1)设MN交AD交于Q点 MQD=30°,MQ=,OQ=(算出一个得2分) SPMN=MN·AQ=××(1+)= (2)设MOQ=,0,MQ=sin,OQ=cos SPMN=MN·AQ=(1+sin)(1+cos) =(1+sincos+sin+cos) 令sin+cos=t1,SPMN=(t+1+) =,当t=,SPMN的最大值为 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为4米,这种薄板须沿其对角线折

9、叠后使用.如图所示,为长方形薄板,沿AC折叠后,交DC于点P.当ADP的面积最大时最节能,凹多边形的面积最大时制冷效果最好.(1)设AB=x米,用x表示图中DP的长度,并写出x的取值范围;(2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽?(3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?ABCD（第17题）P【答案】解:(1)由题意,.因,故 设,则. 因,故. 由 ,得 , (2)记的面积为,则 , 当且仅当(1,2)时,S1取得最大值 故当薄板长为米,宽为米时,节能效果最好 (3)记的面积为,则 , 于是, 关于的函数在上递增,在上递减. 所以当时,取得最大值 故当薄板长为米,宽为米时,制冷效果

10、最好 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力.试题以常见的图形为载体,再现对基本不等式、导数等的考查.讲评时,应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律,教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理,在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心. 在使用基本不等式应注意验证取等号的条件,使用导数时应谨慎决断最值的取值情况. 如图,建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行

11、高度为3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.【答案】解:(1)在中,令,得.由实际意义和题设条件知.,当且仅当时取等号.炮的最大射程是10千米.(2),炮弹可以击中目标等价于存在,使成立,即关于的方程有正根.由得.此时,(不考虑另一根).当不超过6千米时,炮弹可以击中目标.如图,某广场中间有一块扇形绿地OAB,其中O为扇形所在圆的圆心,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在上选一点C,过C修建与OB平行的小路CD,与OA平行的小路CE,问C应选在何处,才能使得修建的道路CD与CE的总长最大,并说明理由.【答案】 某部门要设计一种如图所示的灯架,用来安装球心为,半径

12、为(米)的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成,其中圆弧形灯托,所在圆的圆心都是、半径都是(米)、圆弧的圆心角都是(弧度);灯杆垂直于地面,杆顶到地面的距离为(米),且;灯脚,是正四棱锥的四条侧棱,正方形的外接圆半径为(米),四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为(弧度).已知灯杆、灯脚的造价都是每米(元),灯托造价是每米(元),其中,都为常数.设该灯架的总造价为(元) .(1)求关于的函数关系式;(2)当取何值时,取得最小值?【答案】 随着机构改革开作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员人(140<<420,且为偶数,每人每年可创利万元. 据评估,在经营条件不变的

13、前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年多创利0.01万元,但公司需付下岗职员每人每年0.4万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?【答案】解答:设裁员x人,可获得的经济效益为y万元,则 依题意 (1)当取到最大值; (2)当取到最大值; 答:当70<a<140,公司应裁员为经济效益取到最大值 当公司应裁员为经济效益取到最大值 如图,两座建筑物的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9和15,从建筑物的顶部看建筑物的视角.(1)求的长度;(2)在线段上取一点点与点不重合),从点看这两座建筑物的视角分别为

14、问点在何处时,最小?第17题图【答案】作,垂足为,则,设, 则 ,化简得,解之得,或(舍) 答:的长度为 设,则, 设,令,因为,得,当时,是减函数;当 时,是增函数, 所以,当时,取得最小值,即取得最小值, 因为恒成立,所以,所以, 因为在上是增函数,所以当时,取得最小值. 答:当为时,取得最小值 第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办,展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD,.a,b为常数且满足.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区(点E,F分别在线段AB,AD上),且该直角三角形AEF的周长为(),如图.设,的面积为.(1)求关于的函数关系式;(

15、2)试确定点E的位置,使得直角三角形地块的面积最大,并求出的最大值.FEbaBDCA【答案】解:(1)设,则,整理,得 , (2) 当时,在递增,故当时,; 当时,在上,递增,在上,递减,故当时,. 在路边安装路灯,灯柱与地面垂直,灯杆与灯柱所在平面与道路垂直,且,路灯采用锥形灯罩,射出的光线如图中阴影部分所示,已知,路宽米,设灯柱高(米),()(1)求灯柱的高(用表示);(2)若灯杆与灯柱所用材料相同,记此用料长度和为,求关于的函数表达式,并求出的最小值. 【答案】 将一张长8cm,宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠,折痕(线段)将纸片分成两部分,面积分别为S1cm2,S2cm2,其中S

16、1S2.记折痕长为lcm.(1)若l=4,求S1的最大值;(2)若S1S2=12,求l的取值范围.【答案】解 如图所示,不妨设纸片为长方形ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中点A在面积为S1的部分内.折痕有下列三种情形:折痕的端点M,N分别在边AB,AD上;折痕的端点M,N分别在边AB,CD上;折痕的端点M,N分别在边AD,BC上.ABCD（情形）MNABCD（情形）MNABCD（情形）MN(1)在情形中MN6,故当l=4时,折痕必定是情形.设AM=xcm,AN=ycm,则x2+y2=16 因为x2+y22xy,当且仅当x=y时取等号,所以S1=xy4,当且仅当x=y=2时取等号.即S1

17、的最大值为4 (2)由题意知,长方形的面积为S=6×8=48. 因为S1S2=12,S1S2,所以S1=16,S2=32. 当折痕是情形时,设AM=xcm,AN=ycm,则xy=16,即y=.由得x8.所以l=,x8 设f(x)=x2+,x>0,则f (x)=2x-=,x>0.故x(,4)4(4,8)8f (x)-0+f(x)646480所以f(x)的取值范围为64,80,从而l的范围是8,4; 当折痕是情形时,设AM=xcm,DN=ycm,则(x+y)×6=16,即y=-x.由得0x.所以l=,0x.所以l的范围为6,; 当折痕是情形时,设BN=xcm,AM=

18、ycm,则(x+y)×8=16,即y=4-x.由得0x4.所以l=,0x4.所以l的取值范围为8,4.综上,l的取值范围为6,4 如图所示,已知边长为米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中米,米.为了合理利用这块钢板,将在五边形内截取一个矩形块,使点在边上.()设米,米,将表示成的函数,求该函数的解析式及定义域;()求矩形面积的最大值.【答案】 近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安

19、装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数). 记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和. (1)试解释的实际意义, 并建立关于的函数关系式;(2)当为多少平方米时, 取得最小值?最小值是多少万元?【答案】解: (1) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用, 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费 由,得 所以 (2)因为 当且仅当,即时取等号 所以当为55平方米时, 取得最小值为59.75万元 (说明:第(2)题用导数可最值

20、的,类似给分) 为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1 000平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) .经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元. (每平方米平均综合费用=).(1)求k的值;(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?【答案】【解】(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面

21、积为10×1 000×5平方米,所有建筑费用为 (k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)×1 000×10,所以, 1270=,解之得:k=50 (2)设小区每幢为n(nN*)层时,每平方米平均综合费用为f (n),由题设可知 f (n) = =+25n+8252+825=1225(元) 当且仅当=25n,即n=8时等号成立 答:该小区每幢建8层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为1 225元 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三