专题八：函数内容分析与教学（二）

1、函数内容分析与教学（二） 胡：老师们，大家好！这一讲，我们继续分析具体函数的有关内容与教学建议。首先分析函数性质的教学。 程：事物的性质总是事物研究的主体。函数的性质是多方面的。它包括：单调性（增减性）、奇偶性、周期性以及最大（小）值、极大（小）值等。义务教育阶段对函数性质的研究是初步的，表现为： 字幕： 1没有明确提出单调性（增减性）的术语，而用“随着x的增大y也增大（或反而减小）”的方式形象化地描述； 2不讨论函数的奇偶性与周期性，但利用观察和讨论一些函数图象具有的对称性暗含了函数的奇偶性； 3对于二次函数，利用函数图象的顶点，体现出二次函数具有最大（小）值的性质。 马：是的，这里体现出从

2、函数的数量特征以及图象的几何特征来刻画具体函数的性质，而不是抽象地、理论化的研究，应当引起重视。 胡：那具体地，一次函数、反比例函数、二次函数的教学应当注意什么？ 程：关于建立函数概念，它们之间有相当的共性：都要从设置丰富的实际情境入手，通过对实例的归纳和抽象形成函数的概念。比如，对于一次函数，可以借用弹簧的长度与所挂物体的关系 （出示PPT1）？ 马：确实如此。对于这些实例还可以在后续学习过程中再挖掘使用。标准也提供了一个很好的案例，教师们不妨在实际教学中试一试。 字幕： 例57 温度的计量。世界上大部分国家都使用摄氏（C），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏（F）。两种计量之间有如下对应：

3、C01020304050F32506886104122（1）在平面直角坐标系中描述相应的点，观察这些点是否在一条直线上。（2）如果两种计量之间的关系是一次函数，请给出该一次函数表达式。（3）求出华氏0度时摄氏是多少度。（4）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？ 程：引入一次函数的概念后，研究其图象和性质，是数学知识和方法的自然延伸。为了引导学生理解一次函数的图象，实施教学时有必要先让学生体会“所有一次函数的图象都是直线”，再给出画图象的基本步骤。问题是怎样做才能让学生体会“所有一次函数的图象都是直线”呢？我们可以通过讨论具体实例加以说明。 字幕： 例 作出一次函数y=2x+1的图象

4、。先让学生通过列表，描点。描出足够多的点，让学生观察这些点形成的图形的形状是什么。如能利用几何画板演示，效果会更好 （出示PPT4）？ 当学生积累若干个具体实例后，就会归纳出一次函数的图象是直线。 马：教学一次函数图象时，要注意重视根据一次函数的图象和解析表达式 y = kx + b (k0)，探索并理解k0和k0时，图象的变化情况和数量关系的变化，以渗透数形结合的思想方法。 胡：标准要求：会利用待定系数法确定一次函数的表达式。如何在教学中体现这一要求？ 马：虽然很多的时候，可以结合具体情境，根据已知条件确定一次函数的表达式；但是待定系数法是分析和解决很多数学问题的通法，具有广泛的应用。所以在

5、此处明确提出，既有必要性，又有可能性；教学过程中应当在让学生在经历若干实例之后，尝试归纳方法的基本思想、操作程序。 胡：在学习一次函数前，已经学习了一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式等知识，他们之间有何联系呢？ 马：大家知道，当函数值为一个确定的值时，求解具体的自变量值就使得这个一次函数成为了一元一次方程；当函数值为一个范围时，求解具体的自变量值就使得这个一次函数成为了一元一次不等式；而二元一次方程可以视为一次函数的另一种理解角度。进一步，一元一次方程、二元一次方程（组）和一元一次不等式的解或解集与一次函数图象上的点有着紧密的联系。 程：除了那上面提到的共同做法以外，反比例函数、二次

6、函数的教学也有一些特殊需要关注的。看下面的案例。 案例反比例函数图象的视频。 程：对于二次函数，标准提出配方法是基本方法，具有较为普遍的适用价值，既具有基本技能的特征，又具有基本方法的特征。而待定系数法、给定不共线三点的坐标确定一个二次函数都是选学内容，但对于提升学生数学能力有着重要的作用。 同时，标准将 “会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴”列为学习内容，强调了二次函数的解析式之一的的重要性，这一形式更为清楚地显示出二次函数中“数”与“形”的相互联系和相互转换，凸显了数形结合的数学思想。 胡：当然，除此以外，函